Программа курса высшей математики (I семестр)

Тема 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1. Матрицы, действия над ними. Нулевая, квадратная, диагональная и единичная матрицы. Определители матриц второго и третьего порядка, их свойства. Определители более высокого порядка.

2. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.

Обратная матрица. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным способом.

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

3. Векторные и скалярные величины. Вектор как направленный отрезок. Равенство векторов, понятие свободного вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций.

Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Теорема о линейной зависимости векторов. Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису.

Различные способы задания вектора в пространстве. Задача о делении вектора в данном отношении.

4. Скалярное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей. Механический смысл скалярного произведения. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов.

5. Векторное произведение двух векторов, его свойства и выражение через координаты сомножителей. Геометрический и механический смысл векторного произведения.

6. Смешанное произведение трех векторов, его геометрический смысл, свойства и выражение через координаты сомножителей. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов.

7. Поверхность. Уравнение поверхности. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

8. Прямая в пространстве трех измерений. Векторное, параметрические и каноническое уравнения прямой. Прямая в пространстве как линия пересечения плоскостей. Общие уравнения прямой. Переход от общих уравнений прямой к каноническим. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пересечение прямой с плоскостью.

9. Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, через две точки, уравнение прямой в отрезках. Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

10. Кривые второго порядка. Вывод канонических уравнений, исследование формы по уравнению Эксцентриситет и директрисы эллипса, гиперболы и параболы. Асимптоты гиперболы.

11. Задача преобразования координат. Параллельный перенос и поворот координатной системы. Упрощение уравнений некоторых кривых при помощи преобразования координат.