5.7. Замечательные пределы
Литература: [7], гл. 2, §§ 6, 7.
[9], гл. 4, § 4.5
Первый
замечательный предел
имеет вид
.
Первый замечательный предел встречается
при вычислении пределов выражений,
содержащих тригонометрические функции.
На практике удобно использовать более
общую формулу:
,
где
α(x)
– бесконечно малая функция при x
→ x0,
т.е.
.
Пример
35.
Вычислить
.
Решение.
.
Пример
36.
Вычислить
.
Решение.
Здесь неопределенность вида
,
но наличие тригонометрической функции
свидетельствует, что этот случай можно
свести к неопределенности вида
и, в конечном счете, к первому замечательному
пределу.
.
Второй
замечательный предел имеет
вид
,
где
− иррациональное число (число Эйлера,
=2,718281…).
На практике используют более общую
формулу:
,
где
α(x)
– бесконечно малая функция при x
→ x0,
т.е.
.
Пример
37.
Вычислить
.
Решение.
.
5.8. Непрерывность функций. Точки разрыва и их классификация
Литература: [5], гл. 2, §§ 9, 10.
[9], гл. 4, § 4.7
Пусть функция f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности.
Функция
f
(x)
называется непрерывной
в точке
x0,
если существует предел этой функции
при x
→ x0,
который равен значению функции в этой
точке, т.е.
.
Если
обозначить x
= x0
+ ∆x,
где ∆x
− приращение аргумента, то ∆y
= f
(x)
− f
(x0)
есть приращение функции в точке x0
и из определения непрерывности следует,
что
.
Поэтому можно дать другое определение
непрерывности функции.
Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента ∆x соответствует бесконечно малое приращение функции ∆y.
Так
как предел функции
существует, если существуют пределы
этой функции приx
→ x0
слева и справа и эти пределы равны между
собой и равны
,
то можно дать третье определение
непрерывности функции в точке.
Функция
f
(x)
называется непрерывной
в точке
x0,
если существуют ее односторонние пределы
при x
→ x0
слева и справа, которые равны между
собой и равны значению функции в этой
точке, т.е.
.
Функция f (x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Перечислим некоторые свойства функций непрерывных на промежутке:
1)
если функция f
(x)
непрерывна на замкнутом промежутке, то
она является ограниченной на этом
промежутке, т.е. для этой функции
существует положительное число М
такое, что для всех точек промежутка
выполняется неравенство
;
2) если функция f (x) непрерывна на замкнутом промежутке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего на этом промежутке значений.
Элементарные функции непрерывны во всей области их определения.
Если функция не является непрерывной в некоторой точке, она называется разрывной в этой точке. В зависимости от того, какое условие непрерывности нарушается, различают следующие типы точек разрыва:
1) если существуют конечные односторонние пределы при x → x0 слева и справа, которые не равны между собой, то эта точка называется точкой конечного разрыва или точкой разрыва первого рода;
2) если существуют конечные односторонние пределы при x → x0 слева и справа, которые равны между собой, но не равны значению функции в точке x → x0 то эта точка называется точкой устранимого разрыва;
3) если хотя бы один из односторонних пределов при x → x0 слева или справа, равен бесконечности, то эта точка называется точкой бесконечного разрыва или точкой разрыва второго рода.
Пример
38.
Исследовать на непрерывность функцию
.
Решение. Это элементарная функция. Значит, она непрерывна в своей области определения, т.е. при всех x, кроме точки x0 = 3. Вычислим пределы заданной функции при x → 3 слева и справа:
,
.
Один из односторонних пределов равен бесконечности. Следовательно, x0 = 3 – точка разрыва функции второго рода (точка бесконечного разрыва).
Пример
39.
Исследовать на непрерывность функцию
.
Решение. Это элементарная функция. Значит, она непрерывна в своей области определения, т.е. при всех x, кроме точки x0 = 0. Вычислим пределы заданной функции при x → 0 слева и справа:
(первый
замечательный предел).
Значит, оба предела конечные и равны между собой. Следовательно, точка x0 = 0 есть точка устранимого разрыва. Разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке x0 = 0, положив f (0) = 1.
Пример 40. Исследовать на непрерывность функцию
Решение. Эта функция не является элементарной. Она непрерывна на промежутках (-∞; 0), (0; 2) и (2; +∞). Непрерывность может нарушаться в точках x1 = 0 и x2 = 2. Исследуем каждую из них в отдельности.
,
.
О
ба
предела конечные, но не равны между
собой. Следовательно, точкаx1
= 0 − точка
разрыва первого рода
(точка конечного разрыва).
,
,
.
Итак,
.
Значит, точка x2 = 2 – точка непрерывности функции.
Д
Рис.
5.1