5.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции,
Литература: [7], гл. 2, §§ 3, 4
[9], гл. 4, § 4.4
Функция
f
(x)
называется бесконечно
малой при x
→ x0,
если
.
Так как согласно определению предела
функции для бесконечно малой функции
,
гдеε
− сколь угодно малое число, то в
окрестности точки x0
эта функция принимает сколь угодно
малое значение.
Из
свойств бесконечно малых функций
отметим, что сумма и произведение
конечного числа бесконечно малых функций
являются бесконечно малыми функциями
(отношение двух бесконечно малых функций
не является, вообще говоря, бесконечно
малой функцией; этот случай называется
неопределенностью вида
).
Произведение ограниченной в окрестности
точкиx0
функции и функции бесконечно малой при
x
→ x0
является бесконечно малой при x
→ x0.
Функция
f
(x)
называется бесконечно
большой при x
→ x0,
если для любого сколь угодно большого
положительного числа М
найдется
δ
- окрестность
точки x0
такая, что в каждой точке из этой
окрестности функция принимает значение,
большее М,
т.е.
.
К бесконечно большим относятся также функции, имеющие односторонний предел равный +∞ или -∞ (т.е. при приближении x к x0 слева или справа).
Бесконечно
большие функции имеют свойства,
аналогичные свойствам бесконечно малых
функций за исключением случаев
неопределенностей вида
и
.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями, определяется теоремами:
1)
если функция f
(x)
−
бесконечно
большая при x
→ x0,
то
функция
является бесконечно малой приx
→ x0;
2)
если функция f
(x)
− бесконечно
малая при x
→ x0,
отличная
от нуля в некоторой окрестности точки
x0
(кроме, быть может, самой точки x0),
то функция
является бесконечно большой приx
→ x0.
5.5. Основные теоремы о пределах
Литература: [7], гл. 2, § 5
[9], гл. 4, § 4.4
Теорема
1.
Предел постоянной
функции при x
→ x0
равен
этой постоянной:
.
Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций при x → x0 существует и равен алгебраической сумме пределов этих функций при x → x0. Для двух функций:
.
Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций при x → x0 существует и равен произведению пределов этих функций при x → x0. Для двух функций:
.
Теорема 4. Предел частного двух функций при x → x0 существует и равен частному пределов этих функций при x → x0, причем предел делителя (знаменателя) не равен 0:
.
5.6. Раскрытие некоторых неопределенностей
Литература: [7], гл. 2
[9], гл. 4, § 4.4
Раскрытие
неопределенности вида
.Один
из случаев, когда встречается эта
неопределенность, это предел отношения
многочленов при x
→ x0,
если число x0
является корнем обоих этих многочленов,
т.е.
и
.
Пример
29.
Вычислить
.
Решение.
Непосредственная подстановка значения
x
= 2 показывает наличие неопределенности
вида
.
Определив корни числителя и знаменателя
и разложив их на множители, после
сокращения вычисляем значение предела:
.
Другой
случай наличия неопределенности вида
связан с наличием иррациональной
функции.
Пример
30.
Вычислить
.
Решение.
Здесь неопределенность вида
.
Для ее раскрытия умножим числитель и
знаменатель на выражение, сопряженное
числителю:
.
Раскрытие
неопределенности вида
.Один
из распространенных случаев, когда
встречается эта неопределенность, это
предел отношения многочленов при x
→
∞:
.
Для раскрытия неопределенности в этом
случае нужно числитель и знаменатель
дроби разделить наxk,
где k
− наибольший из показателей степеней
многочленов числителя и знаменателя.
Пример
31.
Вычислить
.
Решение.
Пример
32.
Вычислить
.
Решение.
Пример
33.
Вычислить
.
Решение.
Можно сделать важный для практики вывод: предел отношения многочленов при x → ∞ равен:
а) нулю, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя;
б) отношению коэффициентов при старших степенях x, если степень многочлена числителя равна степени многочлена знаменателя;
в) бесконечности, если степень многочлена числителя больше степени многочлена знаменателя.
Раскрытие
неопределенности вида
.
Пример
34.
Вычислить
.
Решение.
Здесь имеем неопределенность вида
.
Для ее раскрытия умножим и разделим
данное выражение на сопряженное к нему:
.