5. Введение в математический анализ

5.1 Понятие функции

Литература: [7], гл. I, §§ 1-9

[9], гл. 4, § 4.1

Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому элементу x из некоторого числового множества D соответствует вполне определенное значение y из другого множества E. Величина x называется аргументом или независимой переменной, а множество D − областью определения функции. Множество E называется множеством значений функции. Функция может быть задана таблицей, графически, аналитически. Графиком функцииназывается множество точек плоскостиOxy, координаты которых удовлетворяют уравнению .

Основными элементарными функциями называются следующие аналитически заданные функции:

1) степенная функция , где− действительное число;

2) показательная функция ,,;

3) логарифмическая функция ,,;

4) тригонометрические функции ,,,;

5) обратные тригонометрические функции ,,.

Сложные функции или суперпозиции функций − это элементарные функции, аргумент которых в свою очередь представляет собой функции. Этот аргумент называется промежуточной функцией.

Например, . Здесь аргументом тригонометрической функцииявляется степенная функция.

Элементарными функциями называются функции, полученные из основных элементарных функций посредством конечного числа арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления) и имеющих конечное число суперпозиций.

Например, или. Элементарные функции задаются одной формулой.

Пример неэлементарной функции

.

5.2. Числовые последовательности и их пределы

Литература: [7], гл. 2, § 1

[9], гл. 4, § 4.2

Числовой последовательностью называется функция, аргументом которой являются натуральные числа (1, 2, 3, 4,…). Каждое из значений такой функции называется членом числовой последовательности. Последовательность обозначается , где− общий (n-й) член последовательности.

Число называетсяпределом числовой последовательности, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует такой член последовательности с номером N, что неравенство выполняется для всех членов последовательности, у которых номер. Обозначениеилипри.

Геометрический смысл предела числовой последовательности: если число −предел числовой последовательности, то начиная с некоторого номера N все члены этой последовательности принимают значение в промежутке (такой промежуток называетсяε-окрестностью точки ).

Пример 26. Доказать, что .

Решение. Зададимся сколь угодно малым положительным числом ε. Составим неравенство для данной последовательности:

.

Итак, если за номер N взять целую часть полученного числа , то при всехвыполняется неравенство, а это означает, чтоесть предел данной последовательности.

Например, если ε = 0,03, то .

5.3. Предел функции

Литература: [7], гл. 2, § 2

[9], гл. 4, § 4.4

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x₀. В самой этой точке функция может быть определена или не определена. Число называется пределом функции при x → x₀, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует положительное число δ такое, что неравенство выполняется для всехx, удовлетворяющих условию . Обозначение.

Геометрический смысл предела функции в точке: если число предел числовой последовательности, то для любой ε-окрестности точки найдетсяδ-окрестность точки x₀ такая, что для всех x≠.x₀ из этой δ-окрестности соответствующие значения функции f (x) попадают в ε-окрестность точки (точки графика функцииy = f (x) лежат внутри полосы, ограниченной прямыми y =А + ε и y =А – ε).

Если неравенство выполняется лишь при всех x таких, что и , то число называется пределом функции приx → x₀ справа (обозначается ). Если неравенствовыполняется прии ,то− предел функции приx → x₀ слева ().

Пример 27. Доказать, что .

Решение. Пусть ε − сколь угодно малое число. Составим неравенство и определим, при каких значениях x оно выполняется: .Следовательно, при выполняется условие существования предела, равного 2.

Число называетсяпределом функции при x → ∞, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует положительное число М такое, что неравенство выполняется для всехx, удовлетворяющих условию. Обозначение.

Пример 28. Доказать, что .

Решение. Пусть ε − сколь угодно малое положительное число.

.

Значит, при ,т.е. .