4.3. Прямая в пространстве

Литература: [1], гл. II, § 2, п. 3, 6, §3, п. 1

[4], гл. 12, §§ 66-68

[9]‚ гл.·3‚ § 3.7

Прямая в пространстве рассматривается как линия пересечения двух плоскостей и поэтому может быть задана системой уравнений:

Эта система уравнений называется общим уравнением прямой в пространстве.

Параметрические уравнения прямой в пространстве (когда координаты точек прямой задаются как функции одной и той же переменной t, называемой параметром точки) имеют вид:

Здесь ,,− координаты фиксированной точки, через которую проходит прямая,,,− координаты направляющего вектора(любого вектора, параллельного прямой).

Каноническое уравнение прямой в пространстве

это символическое уравнение, получаемое из параметрического исключением параметра t.

Если прямая проходит через две заданные точки и, то в качестве ее направляющего вектораможно взять вектор. Тогдауравнение прямой, проходящей через две заданные точки, имеет вид

.

Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами и . Поэтому он может быть вычислен с помощью скалярного произведения векторов по формуле

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности их направляющих векторов:

−условие параллельности,

−условие перпендикулярности.

Пример 23. .Лежат ли прямые и ,,в одной плоскости? Если да, то составить уравнение этой плоскости.

Решение. Исходя из геометрического смысла величин, входящих в каноническое и параметрические уравнения прямых заключаем, что первая прямая проходит через точкуи имеет направляющий вектор, вторая прямая проходит через точкуи имеет направляющий вектор. Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы,, икомпланарные, т.е. если их смешанное произведение равно нулю:

.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки одинаковы. Значит, прямые лежат в одной плоскости. Для составления уравнения этой плоскости находим ее нормальный вектор как векторное произведение векторов и:

.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору, следующее:

или .

4.3. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Литература: [9]‚ гл.·3‚ § 3.8

Вопросы взаимного расположения плоскости и прямойсводятся, в основном, к установлению взаимного расположения нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой .

Углом между прямой и плоскостью называется наименьший угол между прямой и ее проекцией на плоскость:

.

Условие параллельности прямой и плоскости определяется условием перпендикулярности векторов и :

.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости определяется условием параллельности векторов и :

.

Пример 24. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости.

Решение. Так как искомая прямая перпендикулярна заданной плоскости, то нормальный векторплоскости одновременно служит направляющим вектором прямой, т.е. .

Подставляя в каноническое уравнение прямой координаты точки и направляющего вектора , получим

.

Пример 25. Найти точку, симметричную точке , относительно прямой, проходящей через точкии.

Решение. Через точкуP проведем плоскость α, перпендикулярную прямой M₁M₂. Точка O − точка их пересечения. Точка N − искомая точка. Ввиду симметрии PO = ON.

Каноническое уравнение прямой M₁M₂:

.

Откуда .

Перейдем к параметрическим уравнениям этой прямой: ,,.

Уравнение плоскости с нормальным вектором и проходящей через точкуимеет видили.

Координаты точки О пересечения плоскости α с прямой M₁M₂ находим решением системы уравнений:

Отсюда или. Следовательно, значение параметра. Тогда координаты точкиО:

.

Точка О − срединная для отрезка . Поэтому

.

Из этих формул определяем координаты искомой точки N:

,

,

.

Итак, .