3.2. Кривые второго порядка

Литература: [1], гл. III, § 2, п. 1-3

[3], гл. V, §§ 34-36

[9], гл. 1, §§ 1.2-1.5

Линии, которые определяются уравнением второй степени относительно текущих координат, называются линиями (кривыми) второго порядка. К линиям второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Окружность ─ это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

Уравнение определяет окружность радиуса R с центром в точке С(x₀, y₀). Если центр окружности совпадает с началом координат, то ее уравнение принимает вид .

Эллипс ─это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначается 2a) и большая, чем расстояние между фокусами.

Если фокусы эллипса находятся на осиOx на равных расстояниях от начала координат в точках и , то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

.

Здесь a – большая, b – малая полуоси эллипса. Величины a, b и с связаны соотношением .

Форму эллипса (меру его сжатия) характеризует эксцентриситет ε (0< ε <1).

Гипербола ─это геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначается 2a) и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы с фокусами в точках и имеет вид:

,

где a – действительная, b – мнимая

полуоси гиперболы. Величины a, b и с

связаны соотношением и .

Эксцентриситет гиперболы ε (ε >1). Гипербола имеет две асимптоты (прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от произвольной точки М гиперболы до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М вдоль кривой от начала координат).

Парабола ─это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая (p>0), а фокусом − точка , где p – параметр параболы, то каноническое уравнение параболы имеет вид:

.

Пример 20. Путем параллельного переноса системы координат привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую.

Решение. Приведем уравнение кривой к каноническому виду. Для этого выделим вначале полные квадраты:

, .

Разделив обе части уравнения на 4, получим

.

Сделаем замену , . Тем самым мы выполним параллельный перенос системы координат в точку О₁, которая в «старой» системе координат Оxy имеет координаты (1, -2).

В«новой» системе координатО₁x₁y₁ уравнение кривой имеет вид:

.

Это каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью a=2 и мнимой полуосью b=1, график которой представлен на рисунке 3.1.

4. Аналитическая геометрия в пространстве

4.1. Плоскость в пространстве

Литература: [1], гл. II, § 1, п. 2, 4, 5, § 3, п. 2, 4, 6

[3], гл. 12, §§ 63-65

[9]‚ гл.·3‚ § 3.6

В декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость определяется уравнением первой степени (линейным уравнением) и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий не равный нулю вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Уравнение определяет плоскость, проходящую через точку ,перпендикулярно вектору . Если раскрыть скобки в этом уравнении и ввести обозначение , то получитсяобщее уравнение плоскости . КоэффициентыА, В, С при неизвестных в общем уравнении плоскости − это координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Рассмотрим частные случаи расположения плоскостей.

1. Коэффициент и уравнение плоскости имеет вид. Очевидным решением такого уравнения является нулевое решение (,,). Значит, это уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2. Коэффициент и уравнение плоскости имеет вид. Так как проекция нормального вектора на ось Ох равна 0, то это возможно, если плоскость параллельна оси Ох.

Аналогично, если коэффициент и уравнение плоскости имеет вид, то эта плоскость параллельна осиОy. Если уравнение имеет вид , т.е. коэффициент приравен 0, то это уравнение плоскости, параллельной осиОz. Вывод: отсутствие в уравнении какой-либо переменной свидетельствует о том, что эта плоскость параллельна оси, соответствующей этой переменной.

3. Коэффициенты ,и уравнение имеет вид. Плоскость параллельна осямОх и Оy и, следовательно, параллельна плоскости Охy.

4. Коэффициенты ,,и уравнение имеет вид. Плоскость параллельна плоскостиОхy (так как ,). Кроме того, она проходит через точку(так как). Значит уравнение(или) определяет саму плоскостьОхy.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,иимеет вид:

.

Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,и:

.

Раскрыв определитель и выполнив преобразования, получим уравнение плоскости в отрезках

.

Здесь a, b, c − отрезки, отсекаемых плоскостью от координатных осей.

Угол между плоскостями и− это угол между их нормальными векторами и . Поэтому он может быть вычислен с помощью скалярного произведения векторов по формуле

.

Очевидно, если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные. Отсюда вытекает условие параллельности плоскостей:

.

Аналогично, условие перпендикулярности плоскостей − это равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов:

.

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

.

Пример 21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости .

Решение. Обозначим данную плоскость α и искомую плоскость β.

Первый способ. Нормальный вектор плоскости α и вектор параллельны плоскости β. Перпендикулярный им вектор дает их векторное произведение:

Этот вектор можно взять в качестве нормального вектора плоскости β:

.

В уравнении плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору в качестве точки можно взять любую из точек или .Возьмем .Тогда уравнение искомой плоскости β имеет вид или. Плоскостьβ параллельна оси Оz (т.к. в ее уравнении коэффициент ).

Второй способ. Возьмем произвольную точку , принадлежащую плоскостиβ. Тогда векторы ,икомпланарные. Значит, их смешанное произведение равно 0:

.

Раскрыв этот определитель, получаем уравнение искомой плоскости . Откуда.

Пример 22. Убедиться, что плоскости ипараллельны, найти расстояние между ними.

Нормальные векторы этих плоскостей иколлинеарные, так как их координаты пропорциональны .Значит, плоскости параллельные.

Выберем произвольную фиксированную точку на первой плоскости. Две ее координаты будем считать нулевыми и , а третью найдем из уравнения плоскости, подставив в него значения первых двух: . Откуда .Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от точки до второй плоскости, определяемое по формуле:

(ед).