2.6. Смешанное произведение трех векторов

Литература: [1]‚ гл. І‚ § 3

[2]‚ § 13;

[9]‚ гл.·3‚ § 3.5

Смешанным произведением трех векторов ,иназывается число, равное векторному произведению векторовискалярно умноженному на вектор:. Обозначается.

Свойства смешанного произведения:

1) смешанное произведение не изменится, если переставить перемножаемые векторы в круговом порядке

;

2) при перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменит только знак

;

3) смешанное произведение компланарных векторов равно 0;

4) модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах: .

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах ,иопределяется по формуле:.

Если векторы ,изаданы в координатной форме, то их смешанное произведение вычисляется при помощи определителя

.

Пример 17. Найти объем пирамиды, имеющей вершины в точках А(5, 5, 6), В(4, 5, 4), С(4, 3, 3), D(2, 2, 2).

Решение. С ребрами пирамиды совпадают векторы . Найдем эти векторы:(-1, 0, -2),(-1, -2, -5),(-3, -3, -4).

(ед³).

Пример 18. Доказать, что точки А(1, 0, 7), В(-1, -1, 2), С(2, -2, 2) D(0, 1, 9) лежат в одной плоскости.

Решение. Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы ,икомпланарны. Найдем эти векторы:

(-2, -1, -5), (1, -2, -5),(-1, 1, 2).

Проверяем условие компланарности трех векторов :

.

Так как смешанное произведение трех векторов равно 0, то они компланарны. Следовательно, точки А, В, С и D лежат в одной плоскости.

3. Аналитическая геометрия на плоскости

3.1. Прямая на плоскости

Литература: [1], гл. II, § 2, п. 1-3, 5, § 3, п. 1

[3], гл. 16-20

[9]‚ гл.·1‚ § 1.1

В декартовой системе координат на плоскости каждая прямая определяется уравнением первой степени (иначе линейным уравнением) и каждое уравнение первой степени определяет прямую.

В системе Oxy общее уравнение прямой − это уравнение вида . Частные случаи:

1) , т. е.,,− прямая проходит через начало координат;

2) , т.е.,,− это уравнение преобразуется к виду, оно определяет прямую параллельную осиОx; аналогично, уравнениеилиопределяет прямую параллельную осиОy;

3) − прямая совпадает с осьюОx; аналогично, − это уравнение прямой, совпадающей с осьюОy.

Если в общем уравнении прямой , то разделив его на, получим уравнение вида, которое называетсяуравнением прямой с угловым коэффициентом. В нем .

Коэффициентk называется угловым коэффициентом, так как он равен тангенсу угла наклона прямой к оси Оx (). Свободный член уравненияb равен ординате точки пересечения прямой с осью Оy и называется величиной смещения прямой вдоль оси Оy.

Прямая на плоскости может быть задана каноническим илипараметрическими уравнениями.

Здесь − координаты точки, через которую проходит прямая,− координаты направляющего вектора прямой.

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через точку , имеет вид.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и, имеет вид.

Уравнение прямой в отрезках , гдеa и b − это величины отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей, т. е. прямая проходит через точки и.

Пусть прямые изаданы уравнениями с угловыми коэффициентамии. Углом между прямойи прямойназывается наименьший угол, на который нужно повернуть прямуюдо ее совпадения с прямой.Угол между прямыми иопределяется по формуле(угол φ – острый).

Для параллельных прямых и. Поэтомуусловие параллельности прямых – равенство их угловых коэффициентов .Условие перпендикулярности прямых .

Пример 19. Даны вершины треугольника А(1, 2), В(3, -2) и С(1, -4). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану ВМ.

Решение. Точка M − средина отрезка AC. Найдем ее координаты:

, .

Составим уравнение медианыВМ (через две точки):

Угловой коэффициент прямой ВМ равен . ПрямаяAD перпендикулярна прямой ВМ, следовательно, . ПерпендикулярAD, уравнение которого нужно составить, проходит через точку А(1, 2) и имеет угловой коэффициент . Поэтому его уравнение имеет видили.