2.3. Деление отрезка в данном отношении

Литература: [1]‚ гл. I‚ § 2

[2]‚ § 7

Точка М делит отрезок АВ в отношении λ, если выполняется равенство .

Если ,,, то

, ,.

Особый интерес представляет случай, когда точка М делит отрезок АВ пополам. Тогда =1 и координаты середины отрезка вычисляются по формулам

, ,.

Пример 12. Отрезок прямой с концами в точках А(3, 2) и В(12, 8) разделен на три равных части. Определить координаты точек деления.

Решение.

Для точки С из условия имеем, что. Тогда

, .

Точка D − средина отрезка СВ. Поэтому

, .

2.4. Скалярное произведение двух векторов

Литература: [1]‚ гл. І‚ § 3

[2]‚ § 6

[9]‚ гл.·3‚ § 3.3

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

1) (коммутативность);

2) (дистрибутивность);

3) , еслиили, или перпендикулярно ;

4) .

Первые три свойства показывают, что скалярное умножение суммы векторов на другую сумму можно производить по обычному правилу умножения многочленов.

Найдем выражение скалярного произведения векторов ив декартовых координатах. Для этого запишем разложение векторов и в базисе,,и с учетом свойства скалярного произведения получим

Учитывая, что

получим

Таким образом, скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Скалярное произведение векторов используется при решении ряда задач:

1) нахождение угла между векторами и :

;

2) вычисление проекции одного вектора на направление другого вектора:

;

3) проверка перпендикулярности двух векторов:

׀ , т.е. ;

4) вычисление работы постоянной силы вдоль прямолинейного участка пути (вектор перемещения):

.

Пример 13. Даны векторы и. Найти проекцию векторана направление вектора.

Решение. Вначале найдем координаты вектора :

.

Затем, используя скалярное произведение, вычислим проекцию вектора на направление вектора:

.

Пример 14. Даны вершины четырехугольника А(1, 2, 3), В(7, 3, 2), С(-3, 0, 6) и D(9, 2, 4) Доказать, что его диагонали АС и ВD взаимно перпендикулярны.

Решение. Определим координаты векторов 'и :

, .

Проверяем условие перпендикулярности ненулевых векторов :

.

Так как скалярное произведение векторов 'и равно 0, они взаимно перпендикулярны.

Пример 15. Даны вершины треугольника А(3, 2, -3), В(5, 1, -1) и С(1, -2, 1). Найти внутренний угол при вершине А.

Решение. Искомый угол φ есть угол между векторами 'и . Найдем координаты этих векторов:

,

.

Используя скалярное произведение, находим угол φ:

,

.

2.5. Векторное произведение двух векторов

Литература: [1]‚ гл. I‚ § 3

[2]‚ § 12

[9]‚ гл.·3‚ § 3.4

Векторным произведение вектора на векторназывается такой вектор, который удовлетворяет следующим условиям:

1) модуль вектораравен произведению модулей векторовина синус угла между ними

,

т.е. модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах;

2) вектор перпендикулярен векторами;

3) вектор направлен так, что с конца векторакратчайший поворот отквиден происходящим против часовой стрелки.

Свойства векторного произведения:

1) векторное произведение некоммутативно (неперестановочно), при этом ;

2) для векторного произведения выполняется дистрибутивный (распределительный) закон ;

3) , где− любое действительное число;

4) , если векторыиколлинеарны или по крайней мере один из сомножителей является нулевым вектором.

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов (но порядок следования множителей ввиду некоммутативности векторного произведения меняться не должен).

Найдем векторное произведение векторов ив декартовых координатах.

.

Учитывая, что ,

,

,

получим

.

Векторное произведение используется при решении ряда задач.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах иравна модулю их векторного произведения, а площадь треугольника, построенного на векторахи, равна.

Пример 16. Вычислить площадь параллелограмма, три вершины которого находятся в точках А(4, 3, 2), В(2, 3, 4) и С(1, 1, 1).

Решение. Данный параллелограмм построен на векторах

и .

Его площадь равна модулю векторного произведения . Находим векторное произведение

.

Следовательно, площадь параллелограмма равна

(ед²).