Истоки математического анализа^*1

ПО СТРАНАМ И ВЕКАМ НЕСЕТСЯ КОННИЦА,

КОТОРАЯ КРУШИТ И РАЗРУШАЕТ,

НО ДВИГАТЕЛЬ ИСТОРИИ – БЕССОННИЦА

У ТЕХ, КТО ПОЗНАЕТ И СОЧИНЯЕТ.

И. ГУБЕМАН

Архимед погрузился в ванну – и достоянием человечества стало знание о выталкивающей силе. Ньютону «упало на голову яблоко» – и был открыт закон всемирного тяготения. Перечень этих забавных историй можно продолжить. Но они не прольют свет на мучительный, а иногда и трагический поиск истины, в котором озарение, счастливый миг удачи даруются не каждому. Человечество сохраняет обычно имена тех, кто триумфально завершил поиск предшественников, не фиксируя, порой, в исторической памяти этапы достижения великой цели. Забытыми остаются имена «отважных», не доживших до победного часа. Их опыт – опыт взлетов и заблуждений – мог бы научить нас многому.

Последнюю треть XVII века можно считать временем возникновения нового этапа в создании математической науки. Он впитал в себя множество различных идей прошлого, появлявшихся порой спонтанно, но давших в совокупности мощный импульс развитию математики. Именно тогда появились сочинение И.Ньютона“Метод флюксий”и работа, принесшая ему всемирную славу,–“Математические начала натуральной философии”.

И. Ньютон

Журнальные статьи Г.Лейбни­ца позволили приблизить идеи Ньютона к тому классическому пониманию, которое мы находим теперь во всех учебниках мира.

Г. Лейбниц, являясь страстным приверженцем идей Петра I, искал пути сближения с ним, чтобы “направить его на истинное служение для совершенствования человечества – это больше, чем выиграть сотню сражений...”

Г. Лейбниц

С именем И. Ньютона связана целая эпоха в развитии науки. Его достижения в физике и математике впечатляющи. Он родился в Англии в год начала гражданской войны. Прожив долгую жизнь, был свидетелем переломных событий в истории страны: казни Карла I, правления Кромвеля, реставрации Стюартов, “бескровной славной революции” и умер при обретавшем силу конституциональном режиме.

Именно тогда определился на столетия магистральный путь развития математики и ее приложений. Почти все выдающиеся математики последующего времени внесли вклад в совершенствование новой системы знаний. Теперь она лежит в основе многих фундаментальных теорий. Иногда кажется, что возможности ЭВМ сделают эту науку архаичной, сохранив за ней лишь историческую ценность. Новые математические теории взрывают наши традиционные представления о математике и ее возможностях. Но мы по-прежнему пристально всматриваемся вглубь веков, постигая великие идеи мыслителей прошлого. Так трудами многих ученых складывается и совершенствуетсяматематический анализ.

Русский историк В.И. Герье в середине XIX века отзывался о Г. Лейбнице следующим образом: “Из всех великих людей Запада он стоит ближе всех к России”. Г. Лейбниц, по его словам, может “послужить примером для западных людей”.

Со времен Лейбница и по настоящие дни на Западе более занимаются опасениями насчет возрастающего могущества России, чем интересуются ее успехами в образовании и цивилизации, хотя так тесно связаны и общечеловеческие интересы.” Это, пожалуй, повод для размышления нашим современникам.

Математический анализ вовсе не есть совершенно законченная наука, как иногда склонны его представлять, с раз и навсегда найденными принципами, из которых только остается извлекать дальнейшие следствия.

Рассматривая основы математического анализа, мы будем совершать отдельные экскурсы в прошлое, анализируя сомнения, споры и даже ошибки великих умов, задумываясь над драматизмом развития идей, драматизмом, который не ощущается при“рафинированном”построении учебного материала.

Один из творцов математического анализа – французский математик Даламбер – в “Очерке о происхождении наук” всечеловеческие знания разделил сообразно трем главным составляющим мыслительной деятельности: памяти, рассудку, воображению. История воскрешает память, философия проистекает из рассудка, поэзия рождается из воображения. Нет сомнения в том, что вдохновенный труд создателей математического анализа соединил глубочайший интеллект с исторической памятью, философским рассудком и поэтическим воображением.

Математический ана­лиз ничем не отличается от всякой другой науки, имеет свой ход идей, движущийся не только поступательно, но и кругообразно, с возвращением к группе прежних идей, правда, всегда в новом освещении.

Н.Н. Лузин

Аксиоматический метод в математике