23-11-2015_20-04-52 / для студентов гл.7-10

863.Укажите, во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в 2 раза; в 3 раза.

864.Объём шара увеличили в 8 раз. Укажите, как изменилась площадь ограничивающей его сферы.

865.Известно, что объём одного шара в 125 раз больше объёма другого шара. Найдите отношение радиусов этих шаров.

866.Объясните, верно ли, что объём шара радиуса 2 см больше 33 см³.

867.Радиус сферы равен 2 см. Укажите, больше или меньше 49 см2 её площадь.

868.Радиус Земли будем считать равным 6 тыс. км. Определите площадь земной поверхности.

869.Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвёртую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луна и Земли, считая их шарами.

870.Вода покрывает приблизительно земной поверхности. Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша? (Радиус Земли считать равным 6375 км.)

871.Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

872.Найдите площадь поверхности полушара радиуса 1см.

873.Металлический цилиндр, осевое сечение которого квадрат со стороной 1, переплавили в шар. Укажите, какая у этого шара площадь поверхности.

874.Радиусы двух чугунных шаров 10 см и 5 см. Эти шары перелили в один шар. Определите его радиус.

875.Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

876.В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько см изменится уровень воды в мензурке?

877.Диаметры трёх шаров составляют 6 см, 8 см и 10 см. Найдите диаметр шара, объём которого равен сумме объёмов этих шаров.

878.Объём шара равен . Найдите:

а) площадь его сферы; б) объём цилиндра, имеющего такую же площадь поверхности и такого, что его осевое сечение квадрат;

в) объём куба, имеющего такую же площадь поверхности. Сравните объёмы шара, цилиндра и куба.

879.Ответьте, могут ли объём шара и площадь его сферы одновременно выражаться рациональными числами.

880.Цилиндр вписан в шар. Радиус шара 5, образующая цилиндра 6. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

881.Шар вписан в куб. Ребро куба равно 1. Найдите объём шара.

41

882.Ребро куба равно а. Найдите радиусы вписанного в куб и описанного около него шаров.

883.Шар вписан в цилиндр. Радиус шара 2. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

884.Шар вписан в конус. Радиус основания конуса 8, образующая 10. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

885.Конус вписан в шар. Радиус шара 6, радиус основания конуса 5. Найдите отношение объёмов конуса и шара.

886.Шар и цилиндр имеют равные объёмы, а диаметр шара равен диаметру основания

цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара. H = , где Н – высота цилиндра, R – радиус шара.

887.Найдите отношение объёмов вписанного в куб и описанного около куба шаров.

888.Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 6 и 12. Найдите радиус описанной около параллелепипеда сферы.

889.Высота правильной шестиугольной призмы равна 8 см, диагональ боковой грани – 13 см. Найдите радиус описанного около призмы шара.

890.Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, из которых одна вписана, а другая описана относительно равностороннего цилиндра.

891.Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, из которых одна вписана, а другая описана относительно равностороннего конуса.

892.Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, из которых одна вписана, а вторая описана относительно правильного тетраэдра (правильного четырёхгранника).

893.Найдите отношение объёмов цилиндра, шара и конуса, если диаметры оснований цилиндра, конуса и их высоты равны диаметру шара.

42

Глава 10. Векторы и координаты.

§ 1. Векторы.

. Векторы. Основные понятия. Правила действия с векторами.

Основные понятия, связанные с векторами, в стереометрии те же, что и в планиметрии.

Определение. Вектором называется направленный отрезок, т.е. вектор однозначно определяется направлением и длиной.

Любая точка пространства может рассматриваться как нулевой вектор. Определение. Длиной вектора называется расстояние от начала вектора до его конца Определение. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на

одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть

сонаправленными или противоположно направленными.

Теорема. Если векторы и коллинеарны и вектор – ненулевой, то существует число k такое, что .

Определение. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены.

Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Определение. Векторы называются взаимно перпендикулярными

(ортогональными), если угол между ними равен 90°.

К известным правилам сложения векторов (правила треугольника, параллелограмма, многоугольника (или ломаной)) в пространстве добавляется правило параллелепипеда: .

D

A

B

O C

Правила сложения векторов:

;

;

.

43

Вычитание векторов . Правила умножения вектора на число:

β · (λ · ) = (β · λ) ·;

1 · = ;

-1 · = ;

(β + λ)· = β · + λ · ;

λ · () = λ · + λ · .

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить единственным образом по двум неколлинеарным векторам.

; числа x, y называют коэффициентами разложения.

. Компланарные векторы.

Определение. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости. Другими словами, векторы компланарны, если при откладывании их от одной точки они будут лежать в одной плоскости.

Очевидно, что любые два вектора компланарны; три вектора, два из которых коллинеарны, также компланарны.

A1

A

B C

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

.

. Скалярное произведение векторов. Основные формулы.

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле , где φ – угол между векторами и . Законы скалярного произведения:

;

;

44

–Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

–Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Длина вектора :

.

Скалярное произведение векторов и :

.

Косинус угла между векторами и :

.

Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов и

:

.

Условие коллинеарности векторов и :

.

Расстояние между точками М1 и М2 :

|M1M2| = .

Пусть С (x; y; z) - середина отрезка M1M2. Тогда координаты точки С:

; ; .

Вопросы и задачи

894.Точки М и К – середины рёбер В1С1 и А1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 соответственно. Укажите все пары:

а) сонаправленных векторов; б) противоположно направленных векторов; в) равных векторов.

895.На плоскости даны векторы и . Построить векторы: 3, + , .

896.ABCD – параллелограмм, , . Выразить через и векторы , , , .

46

897.Упростите выражение: а) ; б)

; в) ; г)

.

898.Даны точки А, В, С и D. Представьте вектор в виде алгебраической суммы следующих векторов: а) , , ; б), , ; в) , , .

899.Упростите выражение: а)

;б);в).

900.Упростите: а) ; б).

901.Докажите, что в параллелепипедеABCDA1B1C1D1 + = 2.

902.Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трёх векторов компланарны: а) ; б) , , ; в) ; г), ?

903.Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. а) Разложите вектор по векторам

. б) Разложите вектор по векторам , и .

904.Докажите, что если М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а О – произвольная точка пространства, то .

905. Даны точки А (3; -1; 0), В (0; 0; -7), С (2; 0; 0), D(- 4; 0; 3), E (0; -1; 0), F(1; 2; 3), G (0; 5; -7), H (-; ; 0). Какие из этих точек лежат на: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Oxy; д) плоскости Оyz; е) плоскости Оxz?

906.Найдите координаты проекций точек А (2; -3; 5), В (3; -5; ) и С

() на: а) координатные плоскости Оxz, Oxy и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Оz.

907.Даны координаты четырёх вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и А1 (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.

908. В кубе ABCDA1B1C1D1 D (0; 0; 0), C (2; 0; 0), A1 (0; 2; 2). Найдите координаты остальных вершин куба.

909.Даны точки А (1; 4; -3), В (-1; 0; -2). Найдите координаты вектора и его длину.

910.Даны три точки А (1; 0; 2), В (-1; -1; 0), С (1; 2; 0). Найти векторы , ,, .

911.Даны три точки А (2; 1; 0), В (-1; 3; 1), С (-1; 3; -4). Найти векторы ,, .

912.Даны векторы (5; 1; -1) и (9; 0; -4). Найти вектор и его длину.

913.Даны векторы (5; 0; 1) и (-7; 4; -2). Найти вектор и его длину.

914.Запишите координаты векторов: , , , , , .

915.Даны векторы , , , . Запишите разложения этих векторов по координатным векторам , , .

47

916.Даны векторы и . Найти векторы ; ; ; .

917.Даны векторы и . Найти векторы ; ; ; .

918.Даны векторы , , и . Найдите координаты векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

919.Даны векторы (5; -1; 1), (-2; 1; 0), (0; 0,2; 0) и (). Найдите координаты векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж)

; з) 2; и) -3; к) -6; л) ; м) 0,2.

920.Даны векторы , и . Найдите координаты векторов и .

921.Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам: , , , , , ).

922.Коллинеарны ли векторы: а) и ; б) и ;

в) и ; г) и ; д) и

?

923.Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарны: а) и ; б) и .

924.Даны два вектора и . Найти x и z, если || .

925.Даны два вектора и . Найти k и m, если || .

926.Определить, при каких значениях х векторы (х³ - 1)· и 2х являются сонаправленными, если .

927.Определить, при каких значениях m векторы (m² - m - 2)· и m³· противоположно направлены, если .

928.Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (3; -1; 4), В (0; -2; 5) и

С(1; 2; 2). Найти четвёртую вершину параллелограмма.

929.Даны три последовательные вершины параллелограмма: А (2; 3; 4), В (1; -3; 7) и

С(4; 3; 7). Найти четвёртую вершину параллелограмма.

930.Даны точки А (3; -1; 2), В (1; 2; -1), С (-1; 1; -3) и D (3; -5; 3). Доказать, что ABCD –

трапеция.

931.Найти такое число m, при котором векторы ,

и являются компланарными.

932.Установить, являются ли компланарными следующие векторы:

а) (2; 3; -1); (1; -1; 3); (1; 9; -11);

48

б) (3; -2; 1); (2; 1; 2); (3; -1; -2);

в) (2; -1; 2); (1; 2; -3); (3; -4; 7).

933.Компланарны ли векторы: а) , и ; б) , и ; в)

, и ; г) , и ; д) ,

и (-1; 2; 4); е) , и ?

934.Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между векторами: а) и ; б) и ;

в) и ; г) и ; д) и ; е) и ; ж) и ; з) и .

935.Даны векторы (1; -1; 2), (-1; 1; 1) и (5; 6; 2). Вычислите , , , , .

936.Даны векторы (3; -1; 1), (-5; 1; 0) и (-1; -2; 1).Выясните, какой угол (острый,

прямой или тупой между векторами: а) и ; б) и ; в) и .

937.Даны векторы и . При каком значении mвекторы и перпендикулярны?

938.Даны точки А (0; 1; 2), В (; 1; 2), С (; 2; 1) и D (0; 2; 1). Докажите, что ABCD –

квадрат.

939.Вычислите углы между вектором и координатными векторами.

940.Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; -1) и С (1; 2; -1). Вычислите угол между векторами и

.

941.Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А (1; -1; 3), В (3; -1; 1) и С (-1; 1; 3).

942.Найти , если || = 3; || = 4 и угол между и равен .

943.Найти , если || = 1; || = 2 и угол между и равен .

944.Найти , если || = 2; || = 3 и вектор

.

945.Найти , если || = 3; || = 4; угол между и равен .

946.Найти угол между векторами и .

947.Дан треугольник с вершинами в точках А (3; -2; 1), В (3; 0; 2) и С (1; 2; 5). Найти угол, образованный медианой BD и стороной АС.

948.Даны вектора и . Найти угол, образованный векторами и .

949.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если векторы и составляют угол 30° и .

950.Найти площадь треугольника с вершинами А (2; 3; 1), В (4; 4; 0) и С (3; 1; -1).

951.Точки А (4; -3; 7), В (5; 3; 8) и D (10; -4; 6) являются вершинами ромба ABCD. Найти длину диагонали АС.

49

50