23-11-2015_20-04-52 / для студентов гл.7-10

Глава 7. Прямые и плоскости в пространстве.

В планиметрии (курс геометрии в 7 - 9 классах) изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Теперь Вы начинаете знакомиться с элементами стереометрии (от греческих слов стереос – «объёмный, пространственный» и метрео – «измерять, рассматривать») – разделом геометрии, в котором изучаются свойства геометрических фигур (тел) в пространстве.

§ 1. Изображение пространственных фигур на плоскости.

Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Для обозначения точек будем использовать прописные (заглавные) буквы латинского алфавита: А, В, С,…, прямые будем обозначать малыми («строчными») буквами латинского алфавита: a,b,c… или двумя большими латинскими буквами АВ, СD,…, соответствующие двум точкам прямой. (Иногда ставят скобки (АВ) – прямая, проходящая через точку A и точку B). Плоскости обычно обозначают греческими буквами α, β, γ, … или тремя буквами АВС, (АВС) – плоскость, определяемая тремя точками А,В и С, не лежащими на одной прямой. Изображают плоскости в виде параллелограмма (плоскость α) или некоторой области (плоскость β).

α

β

Как правило, изображением пространственной фигуры на плоскости служит её проекция на ту или иную плоскость. Выбирают то изображение, которое создаёт правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для её исследования.

При параллельном проектировании (именно такое проектирование используют в общеобразовательных курсах стереометрии) сохраняются отношение параллельности и отношение «лежать между»; сохранение последнего отношения означает, что при изображении сохраняется пропорциональность отрезков.

Из свойств параллельного проектирования следуют основные правила изображения пространственных фигур на плоскости:

–параллельные отрезки изображаются параллельными отрезками;

–отрезки, не являющиеся параллельными, изображаются не параллельными;

–сохраняется отношение «лежать между», т.е. если на оригинале точка делила ребро

куба пополам, то и изображение данной точки будет серединой изображения данного ребра;

– углы и длины при изображении не сохраняются.

Из вышеперечисленного следует, что:

– параллелограмм (в том числе квадрат, ромб, прямоугольник) изображается произвольным параллелограммом;

1

–трапеция изображается трапецией;

–треугольник (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный, равнобедренный, равносторонний) изображается произвольным треугольником;

–окружность изображается эллипсом.

При этом невидимые части (линии) фигур изображаются пунктирными (штриховыми) линиями.

Некоторые фигуры хорошо Вам известны: пирамида, прямоугольный параллелепипед, куб, шар, цилиндр, конус.

Вот некоторые изображения:

Конус

R – радиус конуса l l – образующая конуса

R

2

Вопросы и задачи

601.Изобразите пятиугольную призму и покажите, как её можно составить из треугольных призм.

602.Изобразите прямую треугольную призму, на верхнее основание которой поставлена наклонная призма с таким же основанием так, что основания совпадают.

603.Изобразите четырехугольную призму, не являющуюся параллелепипедом.

604.Верно ли утверждение, что понятия «правильная четырехугольная призма» и «куб» совпадают?

605.Изобразите какой-нибудь многогранник, составленный из прямоугольного параллелепипеда и треугольной призмы.

606.а) На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1, его пересечения с плоскостью, проходящей через точки A,D1 и C (с плоскостью AD1C) и отдельно пересечение плоскости AD1C и граней AA1D1D, CC1D1D и ABCD. Проанализируйте этот чертёж.

607.Изобразите треугольную призму ABCA1B1C1 и её сечение плоскостью A1BC (пересечение призмы этой плоскостью).

608.Может ли сечение куба быть треугольником? четырехугольником? семиугольником?

609.Можете ли вы определить, глядя на изображение тетраэдра, правильный ли тетраэдр изображён?

610.Изобразите треугольную и четырехугольную призмы и объясните, как их можно сложить из тетраэдров.

611.Существуют ли тетраэдры, у которых:

а) все грани – остроугольные треугольники; б) три грани – прямоугольные треугольники, а одна – остроугольный;

в) три грани – тупоугольные треугольники, а одна – остроугольный?

3

Если да, объясните почему (как бы вы стали изготовлять их модели)

612.Внутрь тетраэдра помещена треугольная призма так, что вершины её верхнего основания лежат на боковых рёбрах тетраэдра, одна из вершин нижнего основания лежит на медиане нижнего основания тетраэдра, а стороны её основания параллельны сторонам основания тетраэдра. Нарисуйте эту конструкцию.

613.Изобразите правильный тетраэдр SABC и перпендикуляр, опущенный из вершины A на сторону BC.

614.Покажите, пользуясь чертежом или моделью, как можно сложить из тетраэдров пирамиду:

а) четырёхугольную; б) пятиугольную.

615.Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны друг другу. Что вы можете сказать о её гранях и углах граней?

616.Объясните, пользуясь моделью куба, как разбить куб на правильные четырехугольные пирамиды.

617.На какое минимальное число пирамид можно разбить треугольную призму?

618.Прямоугольный параллелепипед расположен внутри правильной четырёхугольной пирамиды так, что вершины его верхнего основания лежат на боковых рёбрах пирамиды, а вершины нижнего основания – в плоскости основания пирамиды. Нарисуйте эту конструкцию.

619.Дан тетраэдр SABC, M - середина ребра BC. Изобразите этот тетраэдр и то, что получится при пересечении его с плоскостью, проходящей через точки S, A, M (сечение тетраэдра плоскостью SAM).

620.Дан тетраэдр SABC, M - середина SC, N - середина ребра SA, K - середина ребра SB. Изобразите этот тетраэдр и то, что получится при пересечении его с плоскостью, проходящей через точки M, N, K(сечение тетраэдра плоскостью MNK).

621.Через середины трёх рёбер правильного тетраэдра, идущих из одной вершины, проводят плоскость. Четырьмя такими плоскостями от исходного тетраэдра отсекают меньшие тетраэдры. Нарисуйте оставшийся многогранник. Знаком ли он вам?

622.Может ли сечение тетраэдра быть пятиугольником?

623.Нарисуйте сечение четырёхугольной пирамиды, которое является:

а) треугольником; б) четырёхугольником.

624.Рассматриваются два многогранника с одинаковым числом вершин: призма и пирамида. Может ли это число быть четным? нечётным? У какого из этих многогранников больше граней, рёбер?

625.Приведите пример фигуры, которую нельзя отнести ни к многогранникам, ни к телам вращения.

626.Назовите все возможные случаи взаимного расположения сферы и прямой; сферы и плоскости. Сделайте рисунки.

4

627.Тетраэдр расположен так, что три его вершины лежат на сфере, а четвёртая – в центре сферы. Сделайте рисунок.

628.Треугольная призма расположена так, что все её вершины лежат на сфере. Сделайте рисунок.

629.Сколько общих точек может иметь прямая и поверхность цилиндра? Сделайте рисунки.

630.Цилиндр и шар расположены так, что основания цилиндра являются сечениями шара. Сделайте рисунок.

631.Сколько общих точек может иметь конус и прямая?

632.Четырехугольная пирамида и конус расположены так, что их вершины совпадают,

авсе вершины основания пирамиды лежат на окружности основания конуса. Сделайте рисунок.

633.Четырехугольная пирамида и конус расположены так, что их вершины совпадают,

аокружность основания конуса вписана в основание пирамиды. Сделайте рисунок.

634.Конус и шар расположены так, что основание конуса является каким-то сечением шара, а вершина конуса лежит на сфере. Сделайте рисунок.

635.Треугольник ABC с тупым углом при вершине B вращается вокруг прямой AC. Нарисуйте получающуюся фигуру.

636.Треугольник ABC с тупым углом при вершине B вращается вокруг прямой AB. Нарисуйте получающуюся фигуру.

637.Прямоугольная трапеция ABCD вращается вокруг прямой, содержащей сторону AB, являющейся высотой трапеции. Нарисуйте получающуюся фигуру. Объясните, как будет выглядеть развертка.

§ 2. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

. Основные аксиомы стереометрии и следствия из них.

Как и планиметрия, стереометрия изучается в том же структурном плане: формулируются аксиомы (утверждения, принимаемые без доказательства ввиду их очевидности), теоремы (утверждения, которые доказываются с опорой на аксиомы, определения и ранее изученные теоремы) и определения.

Сформулируем три аксиомы, выражающие основные свойства плоскостей в пространстве.

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (т.е. плоскости имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей).

Следствием этих аксиом являются следующие теоремы (доказательства этих теорем и всех последующих опускаем):

5

643.В тетраэдре DABC укажите все пары скрещивающихся прямых, на которых лежат его рёбра.

644.В пространстве даны три попарно пересекающиеся прямые. Изобразите возможные случаи их взаимного расположения.

645.Прямая с пересекает, по крайней мере, одну из двух пересекающихся прямых а, b. Как могут располагаться относительно друг друга эти три прямые? Сделайте рисунки.

646.Даны две параллельные прямые а и b. Как может быть расположена по отношению

кним третья прямая c? Сделайте рисунки.

647.Даны две скрещивающиеся прямые а и b. Как может быть расположена по отношению к ним третья прямая c? Сделайте рисунки.

648.Отметьте верные утверждения:

а) прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

б) существует единственная прямая, параллельная данной плоскости и проходящая через точку, не принадлежащую этой плоскости.

в) существует бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости.

г) через одну из двух параллельных прямых можно провести бесконечное множество плоскостей, параллельных другой прямой.

д) существует единственная плоскость, параллельная данной прямой и проходящая через точку, не принадлежащую этой прямой.

е) существует бесконечное множество плоскостей, параллельных данной прямой и проходящих через точку, не принадлежащую этой прямой.

649.Используя признак параллельности прямой и плоскости, укажите несколько пар параллельных прямой и плоскости в четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1.

650.Докажите, что в кубе ABCDA1B1C1D1 прямая AB1 параллельна плоскости грани

DD1CC1.

651.Прямые а и b скрещиваются. Можно ли провести через одну из них плоскость, параллельную другой? Обоснуйте свой ответ.

652.Отметьте верные утверждения

а) через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

б) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

в) если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

г) если одна из двух данных плоскостей параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

д) если плоскость пересекает две данные плоскости по параллельным прямым, то эти плоскости параллельны.

е) если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

ж) если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны.

9

653.Используя признак параллельности плоскостей, укажите параллельные плоскости в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1.

654.PABC – правильный тетраэдр, точка М – центр грани АВС, К – середина ребра АВ.

Постройте сечения тетраэдра плоскостями:

а) APM; б) KPM.

Постройте общий отрезок этих сечений.

655.Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через: а) две вершины и точку на ребре, не содержащем эти вершины;

б) вершину и две точки на рёбрах, не проходящих через эту вершину; в) три точки на трёх рёбрах, выходящих из одной вершины; г) середины трёх рёбер, не выходящих из одной вершины.

656.В четырёхугольной пирамиде все рёбра равны. Докажите, что её сечение, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания, является прямоугольным треугольником.

657.Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку на боковом ребре и две точки на рёбрах основания, не смежных с этим боковым ребром.

658.Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через две точки на скрещивающихся рёбрах верхнего и нижнего оснований и точку на ребре:

а) пересекающимся с ними; б) пересекающимся только с одним из этих рёбер.

659.Постройте сечение четырёхугольной пирамиды плоскостью, проходящей через три точки на боковых рёбрах.

Вкаждом из нижеследующих заданий найдите площадь построенного сечения, учитывая, что все рёбра всех данных многогранников равны 1.

660.Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через: а) середины рёбер АА1, ВВ1, В1С1;

б) середины рёбер ВВ1, DD1 и вершину А; в) середину ребра C1D1 и вершины А, С;

г) середины рёбер АА1, СС1 и точку М на ребре АВ такую, что АМ = 0,75.

661.Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через: а) середины рёбер ВВ1, СС1, А1В1; б) середины рёбер АА1, СС1 и вершину В;

в) середину ребра СC1 и вершины А1, В;

г) середины рёбер АА1, СС1 и точку М на ребре ВВ1 такую, что ВМ = 0,25.

662.Постройте сечение правильной треугольной пирамиды DABC плоскостью, проходящей через:

а) середины рёбер АВ, ВС и СD; б) середины рёбер AD, BD и ВС.

663.Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды MABCD плоскостью, проходящей через:

а) середину ребра МА и вершины В и С; б) середину ребра МС и вершины А и В; в) середины рёбер AD, ВC и MD.

10