шпори2 / 45-49

49 Продовження

48 Продовження

У проміжку енергій між і електронних рівнів немає, чим визначається існування вузької

Вважаючи для зручності Dn>0, отримуємо мінімальну частоту при Dn =1. Це так звана основна частота, яка має дорівнювати частоті (3), отриманої з класичної механіки. Після прирівнювання отримуємо таке:

L = nh/2p (4)

Тобто бачимо, що в теорії Бора момент імпульсу, як і енергія, є дискретний і квантується. Оскільки mw2r = Lr/w = Ze2/r2, то з (4) матимемо:

(mwr2)2 = Ze2rm = (nh/2p)2, звідки

r = n2(h/2p)2/(Ze2m) (5)

En = -Ze2/2r = -2p2(Ze2)2m/h2n2 (6)

Дана теорія у загальному випадку справедлива лише для достатньо великих значень n, коли діє принцип відповідності, проте, оскільки у нашому розгляді електрон у стаціонарному стані рухається по строго визначеній коловій орбіті, як матеріальна точка в класичній механіці, то можна вважати форсули (5)-(6) чинними і за малих значень n. Уведення Z означає, що дана теорія діє для усіх воднеподібних атомів (які мають один електрон навколо ядра), проте тільки для водню пораховано терми, і застосувати це правило квантування для інших атомів ми не можемо. Зокрема при Z=n=1 матимемо

rB = (h/2p)2/(me2) = 0,528·10-8 cm (7)

E = e/ rB2 = 51,5·108 В/см (8) де rB – борівський радіус – радіус орбіти електрона в нормальному стані атома водню, Е – напруженість поля ядра на першій борівській орбіті атома водню, її порядок є характерним для напруженостей внутрішьонатомних електричних полей.

Оптичні переходи Згідно з положеннями квантової механіки (див. Золоте правило Фермі) при випромінюванні чи поглинанні світла квантовомеханічною системою повинен виконуватися закон збереження енергії. Наприклад, при випромінюванні кванта світла, енергія атома водню змінюється на величину , де ω — циклічна частота світла. Але енергія атома водню може мати лише конкретні значення, визначені вище. Таким чином, атом водню в найнижчому основному стані не може випромінювати світло, бо не може зменшити своєї енергії. Якщо атом водню перебуває в першому збудженому стані, то при випромінюванні він може перейти лише в основний стан. При цьому енергія випроміненого фотона дорівнює різниці E₁ − E₀. І так далі, атом у другому збудженому стані може перейти лише в основновний стан і перший збуджений, тощо. При поглинанні світла атомом водню відбуваються схожі процеси. Атом в основному стані має енергію E₀ і може перейти в стани з енергією E_n. При цьому поглинаються виключно лише ті фонони, які мають енергії . Таким чином спектр поглинання й спектр випромінювання атома водню складається із серії тонких ліній, які згущаються до певної частоти, а на вищих частотах переходить у неперервний, оскільки високоенергетичні збудження відповідають іонізації атома, при якій електрон, що відривається від ядра, може мати довільну енергію.

Тонка структура

Тонка структура рівнів з n =2. Ліворуч — нерозщеплений рівень, який виникає в нерелятивістській теорії

Приведений розрахунок енергетичного спектру атома водню ґрунтувався на рівнянні Шредінгера, яке має той недолік, що воно не є Лоренц-інваріантним, а, отже, не узгоджується з теорією відносності. Релятивістським аналогом рівняння Шредінгера є рівняння Дірака. Суттєва відмінність рівняння Дірака від рівняння Шредінгера в тому, що рівняння Дірака вводить поняття спіна. Таким чином, крім наведених вище квантових чисел n, l, m, атом водню характеризується ще й спіном. Кількісні поправки, які вносить у енергетичний спектр атома водню релятивістський розгляд, невеликі, бо середня швидкість електрона у атомі водню мала порівняно із швидкістю світла. Однак, є суттєва якісна відмінність у оптичних спектрах. Ретельне вивчення оптичних спектрів показало, що лінії спектру розщеплюються на невеличкі серії. Це розщеплення отримало назву тонкої структури.

Як відомо, при врахуванні спіна, власні стани квантовомеханічних систем краще характеризувати не орбітальним квантовим числом l, а квантовим числом повного моменту j. Енергія власних станів атома водню приблизно дорівнює

,

де  — універсальна стала, яка отримала назву сталої тонкої структури. Стала тонкої структури мала величина, а отже релятивістські поправки, яку пропорційні сталій тонкої структури в квадраті, є дуже малими. Однак, енергетичні рівні із певним n розщеплюються на кілька рівнів із різними j. Кожен такий рівень усе ще 2(2j+1) разів вироджений.Наприклад, основний стан має l = 0, j = s = 1/2. Цей стан позначається 1S_1/2 ^[3]. Він двократно вироджений і два можливі стани відповідають різним проекціям спіна .Перший збуджений стан розщеплюється на два:Стан 2P_3/2, для якого j = 3/2, l = 1. Цей стан чотирикратно вироджений. Стани 2S_1/2 (j= 1/2, l = 0) і 2P_1/2 (j = 1/2, l=1), кожен із яких теж двократно вироджений. Лембів зсув Приведений вище опис оптичних переходів у атомі водню не враховував квантової природи світла. При квантовомеханічному розгляді фотони описуються рівняннями, аналогічними рівнянню квантового гармонічного осцилятора. Важливим фізичним наслідком квантового розгляду світла є існування нульових коливань навіть у тому випадку, коли кількість фотонів дорівнює нулю. Взаємодія квантовомеханічних систем із нульовими коливаннями призводить до спонтанного випромінювання, до невеличкого зсуву положення енергетичних рівнів і до скінченної ширини оптичних ліній.

Для атома водню це має наступні наслідки. Атом не може існувати нескінченно довго в збудженому стані. Рано чи пізно відбувається спонтанний перехід до основного стану з випромінюванням фотона.