шпори2 / 45-49

45 Початок

46 Початок

47 Початок

45. Рівняння Гамільтона. Варіаційні принципи механіки (принцип Гамільтона-Остроградського).Функція Гамільтона

Функція Гамільтона визначається через узагальнені координати і узагальнені імпульси виходячи з функції Лагранжа наступним чином.

Узагальнені імпульси визначаються, як

. Функція Гамільтона визначається згідно з

. Після цього всі узагальнені швидкості d виражаються через узагальнені імпульси й координати.

За своєю суттю функція Гамільтона є енергією системи, вираженою через координати й імпульси.

У випадку стаціонарних зв'язків і потенційних зовнішніх сил

, тобто функція Гамільтона є сумою потенційної і кінетичної енергій, але при цьому кінетична енергія повинна бути виражена через імпульси, а не через швидкості.

Канонічні рівняння Гамільтона. Рівняння еволюції динамічної системи записуються в Гамільтоновій механіці у вигляді

, . Ці рівняння називаються канонічними рівняннями Гамільтона. Вони повністю визначають еволюцію системи з часом у тому сенсі, що знаючи значення узагальнених координат і швидкостей в певний початковий момент часу, можна визначити їхні значення в будь-який наступний момент часу, розв'язуючи дану систему рівнянь.

Функція Гамільтона для заряду в електромагнітному полі. Загалом сила Лоренца не є потенційною силою, оскільки залежить від швидкості руху заряду. Проте її можна включити в Гамільтонову механіку записавши функцію Гамільтона зарядженої частки в наступній формі:

де e -- заряд частки, -- електростатичний потенціал, -- векторний потенціал.

Функція Гамільтона в теорії відносності. В релятивітському випадку функція Гамільтона для вільної частинки має вигляд

Використання у квантовій механіці. У квантовій механіці оператор енергії будується із класичної функції Гамільтона заміною узагальнених імпульсів pi на

оператори імпульсу, де -- приведенна стала Планка. Такий оператор називається гамільтоніаном, а процедура переходу від функції Гамільтона до гамільтоніану називається процедурою квантування. Гамільтоніан є головним оператором у квантовій механіці, оскільки входить в головне рівняння квантової механіки --рівняння Шредінгера.

46. Фізичний зміст хвильової функції. Рівняння Шредінгера. Стаціонарні стани. Приклади рівняння Шредінгера (потенціальна яма, лінійний гармонічний осцилятор, атом водню).

Рівняння Шредінгера

Рівняння Шредінгера - основне рівняння нерелятивістської квантової механіки, яке визначає закон еволюції квантової системи з часом.

, де ψ - хвильова функція, - гамільтоніан, i - уявна одиниця, - приведена стала Планка.

[ред.] Властивості

Рівняння Шредінгера - лінійне рівняння, а тому для його розв'язків справедливий принцип суперпозиції - одне із основних тверджень квантової механіки, надзвичайно важливий для її розуміння.

Рівняння Шредінгера нерелятивістське, тобто справедливе лише для часток, швидкість яких набагато менша за швидкість світла. Загальніше рівняння Дірака переходить у рівняння Шредінгера при малих швидкостях, однак існують певні релятивістські поправки, якими не можна нехтувати ніколи, зокрема члени, які описують взаємодію квантової системи із магнітним полем.

Комплексно спряжене рівняння

, співпадає з рівнянням Шредінгера, якщо замінити t на -t, а хвильову функцію на ψ ^* . Це факт відображає зворотність процесів у квантовій механіці.

[ред.] Детермінізм

Для визначення хвильової функції будь-якої квантовомеханічної системи необхідно розв'язати рівняння Шредінгера із початковими умовами

, де - певне початкове значення хвильової функції.

Дана умова цілком аналогічна постановці основної задачі класичної механіки: знання початкових умов і рівняння руху повністю визначає поведінку системи в наступні моменти часу. Цей принцип називаються квантовим детермінізмом.

Формальний розв'язок рівняння Шредінгера

. В реальному експерименті приготувати квантовомеханічну систему у стані із відомою початковою хвильовою функцією буває важко. У випадку, коли це складно, використовується інший підхід (див. матриця густини).

Потенціальна яма

Перейти до: навігація, пошук

Потенціа́льна я́ма — скінченна область простору, в якій потенціальна енергія частинки менша, ніж зовні.

Потенціальна яма зазвичай характеризується шириною й глибиною (або висотою). Точка з найнижчим значенням потенціальної енергії називається дном ями.

Якщо повна енергія частинки менша за висоту потенціальної ями, то частинка здійснює в ямі коливання, частота яких визначається формою та розмірами ями.

Точки, де повна енергія частинки дорівнює потенціальній енергії називаються точками повороту. На рисунку праворуч ці точки позначені x₁ та x₂.

Потенціальна яма утворюється внаслідок існування сил притягання.

Для виходу з ями частинка повинна отримати енергію.

[ред.] Квантова механіка

Рух квантово-механічної частинки в потенціальній ямі має певні особливості в порівнянні з класичним рухом.

Енергія квантово-механічної частинки в потенціальній ямі може набирати лише певних фіксованих дискретних значень.

Найнижчий енергетичний рівень має енергію вищу за енергію дна ями.

Квантово-механічна частинка локалізується не в будь-які ямі. Дуже мілкі ями не можуть її утримати.

[ред.] Значення

Задача про рух частинки в потенціальній ямі є однією з найважливіших у фізиці. Глибина та форма ями визначають частоти коливань частинок, які проявляються в оптичних спектрах. Існування потенціальних ям для частинок обмежує їхню

47. Лінійний гармонічний осцилятор, власні функції і власні значення енергії.

Гармонічний осцилятор

Лінійний гармонічний осцилятор - частинка, яка здійснює коливання уздовж прямої лінії за законом

x=Asinω₀t=Asin2πν₀t (1)

Опис гармонічного осцилятора рівнянням Шредінгера безпосе­редньо стосується визначення коливальних рухів частинок у вузлах кристалічної ґратки речовини.

d²Ψ(x)/dx²+2m/h²(E-mω² x²/2) Ψ(x)=0

Отже, з рівняння Шредінгера випливає, що енергія гармонічно­го осцилятора квантується: його енергетичний спектр є сукупніс­тю рівновідцалених рівнів, відстань між якими дорівнює Avq. За­значимо, що результат, знайдений з рівняння Шредінгера, хоч і подібний, проте відрізняється від раніше запропонованої формули Планка, за якою енергія осцилятора

Формула Планка, як і класична механіка, беззастережно ствер­джувала, що найменша енергія осцилятора дорівнює нулю, що ча­стинка може перебувати в стані рівноваги та спокою. На цій під­ставі в класичній фізиці передбачалося, що при температурі абсо­лютного нуля частинки в кристалічних ґратках стануть нерухоми­ми — «замерзнуть». Насправді згідно з формулою (6) енергія осцилятора виражається «половинчастим» числом квантів і в найнижчому енергетичному стані (при п = 0) дорівнює не нулю, а скінченній величині

E₀=1hν₀/2

. Саме така його енергія залишається при температурі абсолютного нуля. Тому Eq називають нульовою енергією. За сушеними по­глядами вона зумовлюється нульовими коливаннями частинок кристалічної ґратки, проте ці коливання не належать до тепло­вих рухів.

46 Продовження

, дифузію, для активації якої необхідно, щоб частинки отримувати певну енергію внаслідок взаємодії із тепловим рухом інших частинок.

Атом водню

.

Протон оточений електронною хмарою

Атом водню — найпростіший із атомів хімічних елементів.

Він складається з позитивно зарядженого ядра, яке для основного ізотопа є просто протоном, і одного електрона.

Квантовомеханічна задача про дозволені енергетичні стани атома водню розв'язується точно. Зважаючи на цю обставину, хвильові функції, отримані як власні функції цієї задачі є базовими для розгляду решти елементів періодичної таблиці. Саме тому атом водню має велике значення для фізики й хімії.

[ред.] Гамільтоніан

До складу атома водню входить ядро з масою M і зарядом +e та електрон із зарядом -e. Взаємодія між ними — кулонівське притягання.

Гамільтоніан атома водню має вигляд ^[1]

, де  — радіус-вектор ядра, а  — радіус-вектор електрона.

При переході до системи координат, зв'язаної з центром мас, гамільтоніан розбивається на два незалежні доданки.

де M_c = M + m — сумарна маса електрона й ядра,  —

приведена маса електрона,  — радіус-вектор центра мас,  — вектор, який сполучає ядро з електроном.

Перший член у гамільтоніані описує поступальний рух атома водню, як цілого. Надалі його не розглядатимемо.

У сферичній системі координат гамільтоніан відносного руху електрона навколо ядра записується у вигляді:

,

де  — оператор квадрату кутового моменту.

Гамільтоніан комутує із оператором квадрату кутового моменту, а тому має спільні з ним власні функції.

[ред.] Власні функції і дозволені значення енергії

Власні функції гамільтоніана мають вигляд:

,

де , a₀ — радіус Бора,  — поліноми Лагера,  — сферичні гармоніки.

Функції характеризуються трьома цілими квантовими числами

n = 1,2,3… — основне квантове число.

l = 0..n-1 — орбітальне квантове число.

m = -l..l — магнітне квантове число.

Крім того, електронні хвильові функції характеризуються ще одним квантовим числом — спіном, який з'являється при врахуванні релятивістських ефектів. Спінове квантове число приймає значення . Власні значення гамільтоніана дорівнюють

, де еВ — константа (α — стала тонкої структури). Власні значення гамільтоніана відповідають можливим значення енергії атома водню. Вони залежать тільки від основного квантового числа n. Кожен із енергетичних рівнів атома водню, крім першого, вироджений. Одному значеню енергії відповідає n² можливих функцій, з врахуванням спіну 2n². ^[2]

48 Початок

49 Початок

41

48. Атом водню. Енергетичний спектр атома водню.

Атом водню — найпростіший із атомів хімічних елементів. Він складається з позитивно зарядженого ядра, яке для основного ізотопа є просто протоном, і одного електрона.

Квантовомеханічна задача про дозволені енергетичні стани атома водню розв'язується точно. Зважаючи на цю обставину, хвильові функції, отримані як власні функції цієї задачі є базовими для розгляду решти елементів періодичної таблиці. Саме тому атом водню має велике значення для фізики й хімії. До складу атома водню входить ядро з масою M і зарядом +e та електрон із зарядом -e. Взаємодія між ними — кулонівське притягання.

Гамільтоніан атома водню має вигляд ^[1]

,де  — радіус-вектор ядра, а  — радіус-вектор електрона.

При переході до системи координат, зв'язаної з центром мас, гамільтоніан розбивається на два незалежні доданки.

, де M_c = M + m — сумарна маса електрона й ядра,  — приведена маса електрона,  — радіус-вектор центра мас,  — вектор, який сполучає ядро з електроном.

Перший член у гамільтоніані описує поступальний рух атома водню, як цілого. Надалі його не розглядатимемо.

У сферичній системі координат гамільтоніан відносного руху електрона навколо ядра записується у вигляді:

, де  — оператор квадрату кутового моменту.

Гамільтоніан комутує із оператором квадрату кутового моменту, а тому має спільні з ним власні функції.

Власні функції гамільтоніана мають вигляд:

,де , a₀ — радіус Бора,  — поліноми Лагера,  — сферичні гармоніки.

Функції характеризуються трьома цілими квантовими числами

n = 1,2,3… — основне квантове число.

l = 0..n-1 — орбітальне квантове число.

m = -l..l — магнітне квантове число.

Крім того, електронні хвильові функції характеризуються ще одним квантовим числом — спіном, який з'являється при врахуванні релятивістських ефектів. Спінове квантове число приймає значення .

Власні значення гамільтоніана дорівнюють

, де еВ — константа (α — стала тонкої структури).

Власні значення гамільтоніана відповідають можливим значення енергії атома водню. Вони залежать тільки від основного квантового числа n. Кожен із енергетичних рівнів атома водню, крім першого, вироджений. Одному значеню енергії відповідає n² можливих функцій, з врахуванням спіну 2n². ^[2]

В основному стані хвильова функція атома водню має вигляд:

, де Z = 1 — зарядове число для ядра атома водню.

Спектр атома водню Обчислення значень енергій стаціонарних станів атома називається квантуванням. На основі своєї теорії Нільс Бор запропонував правило квантування, за яким можна визначити всі енергії для атома водню. На сьогодні це правило становить лиш суто історичний інтерес, оскільки методами квантової механіки нині можна обчислити енергії стаціонарних станів для будь-якої атомної системи. Для атома водню емпірично було знайдено вираз для термів:

Tn = Z2R/n2, (1)

En = chTn = chZ2R/n2 (2)

де R – стала (Ридберґа), Z - заряд ядра, для водню 1; n називають головним квантовим числом, яке позначає енергетичний рівень. Зі збільшенням n енергетичні рівні зближуються, і при n ® ¥ спектр атома можна вважати неперервним, а, отже, і застосовувати класичну механіку. Це твердження було названо Бором принципом відповідності (коли дискретній системі ставимо у відповідність неперервну).

Нехай електрон обертається навколо ядра з кутовою частотою w по коловій орбіті радіуса r. Тоді за 2 законом Ньютона mw2r = Fk = Ze2/r2, звідки w = Ze2/(Lr), де L = mwr2 – момент імпульсу електрона.Оскільки повна енергія електрона дорівнює E = Ekin + Epot = mw2r2 - Ze2/r = - Ze2/2r, то частота обертання матиме вигляд w = -2E/L (3).

З іншого боку, енергії атома водню мають вигляд (2), звідки випливає, що при переході на інший енергетичний рівень величина Enn2 = const, тобто є сталою. Диференціюючи це співвідношення, матимемо: DEnn2 +2EnnDn = 0 або DEn/En + 2Dn/n = 0. За другим постулатом Бора DEn = hw/2p,[5] звідси w = -(4pE/hn) Dn

49. Квантова теорія твердого тіла: рух електрона в періодичному полі. Зонна структура спектра енергії (випадок майже вільних електронів).

Наближення майже вільних електронів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Наближення майже вільних електронів - метод у квантовій теорії твердого тіла, в якому заданий кристалічною ґраткою періодичний потенціал вважається малим збуренням щодо вільного руху валентних електронів.

Наближення майже вільних електронів передбачає виникнення вузьких заборонених зон внаслідок Бреґґівської дифракції електронів на кристалічній ґратці.

[ред.] Математичне формулювання

Гамільтоніан, що описує рух електрона в потенціальному полі ядер атомів у наближенні середнього поля задається формулою

,

де - приведена стала Планка, m - маса електрона, - періодичний потенціал. що враховує взаємодію електрона з кристалічною ґраткою й іншими електронами.

Хвильову функцію електрона, що повинна задовільняти теоремі Блоха, можна шукати у вигляді розкладу в ряд Фур'є

,

де - хвильовий вектор, - вектор оберненої ґратки.

Якщо потенціал малий за величиною в порівняні з кінетичною енергією електрона, то рух електронів можна вважати майже вільним. Енергія електрона задається формулою

,

Ця формула справедлива усюди в зоні Брілюена, окрім того випадку, коли хвильова функція поступального руху електрона інтерферуватиме із хвилею, розсіяною на періодичному потенціалі. Така ситуація складається тоді, коли . В цій області хвильових векторів використовується двохвильове наближення, згідно з яким амплітуди прямої й розсіяної хвилі визначаються системою рівнянь.

,

,

де - коефіцієнти розкладу періодичного потенціалу в ряд Фур'є.

Ця система рівнять має нетривіальний розв'язок при виконанні умови

,

що задає закон дисперсії електронних станів на границі зони Брілюена. Безпосередньо на границі ()

.

41. Загальні теореми динаміки (теорема про зміну кількості руху, моменту кількості руху та повної механічної енергії)

1. Теорема зміни кількості руху.

2. Теорема зміни моменту кількості руху.

3. Теорема зміни кінетичної енергії.

4. Теорема зміни повної механічної енергії.

Інтеграли руху – це такі фізичні величини, які є функціями від положення, часу, швидкостей і при реальному русі не змінюються з часом.

При N=1

- інтеграли руху

-потенціальні сили; - гіроскопічні сили; - дисипативні сили

1. Т.

2. Т.

3. Т.

4. Т.

; ; гіроскопічні сили роботи не виконують

1. Т

2. Т

3. Т

4. Т