шпори2 / 40-44

44

43 Початок

42 Початок

44. Класична теорія твердих тіл. Динаміка кристалічної ґратки. Коливання лінійних одно- і дво- атомних ланцюжків атомів. Дисперсійна формула для частот коливань. Звукові коливання. Оптичні коливання.

Для того щоб повністю охарактеризувати рух твердого тіла щодо деякої системи відліку S, досить знати закон руху системи S', жорстко зв'язаної з досліджуваним твердим тілом; наприклад, закон руху вільного твердого тіла (тіла, на яке не накладаються зовнішні зв'язки) визначається шістьма скалярними функціями: трьома проекціями радіус-вектора початку системи S' і трьома кутами Эйлера , і .

Закони зміни імпульсу і кінетичного моменту твердого тіла

, (1)

містять у якості невідомих тільки функції є рівняннями руху вільного твердого тіла.

(2)

Ця формула є частиною кінетичного моменту, що перетворюється в нуль, якщо = 0 (у зв'язку з цим М можна назвати кінетичним моментом обертання твердого тіла).

Якщо тіло рухається в однорідному полі тяжіння, то торба зовнішніх сил і їхній момент відповідно рівні

, (3)

Звідси видно, що сума моментів зовнішніх сил, що діють на тіло в однорідному полі тяжіння, дорівнює моментові суми зовнішніх сил, "прикладених" до центра мас.

43. Лінійні коливання. Коливання атомів кристалічної ґратки. Головні координати. Теплоємність кристала (Закон Дюлонга-Пті). Гармонічний осцилятор.

Якщо рух механічної системи з досить малими швидкостями в досить малій просторовій області біля положень рівноваги точок системи. Якщо при цьому диссипативные сили малі, то система буде робити малі коливання; якщо ж диссипативные сили значні, то буде мати місце аперіодичний рух. Теорія малих коливань широко застосовується для вивчення як механічних, так і немеханічних систем.

Кінетичну і потенціальну енергії системи, а також її диссипативную функцію можна розкласти в положенні стійкої рівноваги в ряд по ступенях відхилення від цього положення і ступеням швидкості . З точністю до величин другого порядку малості включно ці розклади мають вигляд

, , (1)

Використовуючи (1), знайдемо наближене рівняння Лагранжа, справедливе в малій околиці положення стійкої рівноваги:

(2)

Рівняння (2) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами. Якщо коефіцієнт b₁₁ дорівнює нулеві або порівняно малий, то це рівняння описує коливання системи, які називаються лінійними. Стаціонарність сил і зв'язків приводить не тільки до сталості коефіцієнтів рівняння (2), але і до його однорідності; тому описувані цим рівнянням коливання називають власними (або вільними).

Як незалежні координати можна узяти величини . Координати називаються головними (або нормальними) координатами. Відповідно гармонійні коливання з власними частотами системи називаються головними (або нормальними) коливаннями. Очевидно, що координати задовільняють рівнянням .

Ця система являє собою рівняння Лагранжа в головних координатах.

42. Рівняння Лагранжа, функція Лагранжа. Приклади. Рух заряду в електромагнітному полі.

Реакції ідеальних голономных зв'язків є лінійними формами щодо рівняння градієнтів функцій f_а ( = 1, 2, …, ), що визначає рівняння зв'язків. Рівняння руху механічної системи з голономними ідеальними зв'язками, тобто рівняння Лагранжа з реакціями зв'язків або рівняння Лагранжа першого роду,

(i = 1, 2, , N)

(1)

( = 1, 2, …, ).

Тут сили F_i є всі радіуси-вектори точок r_i(t) і множника Лагранжа ( = 1, 2, … , ). Реакції зв'язків визначаються в результаті рішення рівнянь (1) і, отже, залежать від заданих сил.

Рівняння Лагранжа з реакціями зв'язків дають можливість знайти і положення точок системи, і реакції зв'язків як функції часу. Однак на практиці часто не потрібна настільки "докладна" інформація про механічну систему, а потрібно знайти лише закон руху точок по зв'язках. Для рішення таких задач необхідні рівняння руху, що у якості невідомих містять тільки незалежні координати. З іншої сторони ці рівняння повинні цілком враховувати вплив зв'язків на систему. Такі рівняння існують і називаються рівняннями Лагранжа в незалежних координатах (або рівняннями Лагранжа другого роду).

Узагальнено-потенційні сили, що можуть бути задані за допомогою скалярної функції U, що залежить не тільки від положень точок і часу, але і від їх швидкостей (така функція називається узагальненим потенціалом).

При наявності узагальнено-потенційних і диссипативных сил рівняння Лагранжа в незалежних координатах можна записати у виді

(j = 1, 2, … , s) (2)

де = Т – U - різниця кінетичної енергії й узагальненого потенціалу, а Q^d_j - узагальнені диссипативные сили. Підкреслимо, що і всі Q^d_j є функціями узагальнених координат і узагальнених швидкостей функцією Лагранжа або лагранжианом. Вона є неоднорідною квадратичною формою щодо узагальнених швидкостей:

(3)

43 Продовження

При порівняно невисоких температурах атоми кристала роблять лінійні коливання біля вузлів кристалічної решітки, тобто біля положень стійкої рівноваги. Тому енергія атомів кристала буде рівна:

(3)

Повну енергію кристала можна представити як суму енергій 3N незалежних осцилляторов. Енергія Е в середньому рівнорозподілена по всім осцилляторам

(4)

Середня енергія кристала запишеться у виді , а теплоємність із кристала, тобто відношення приросту середньої енергії до приросту температури, буде рівна с=3kN (закон Дюлонга-Пті).

41

40 Початок

40 Продовження

41. Загальні теореми динаміки (теорема про зміну кількості руху, моменту кількості руху та повної механічної енергії)

1. Теорема зміни кількості руху.

2. Теорема зміни моменту кількості руху.

3. Теорема зміни кінетичної енергії.

4. Теорема зміни повної механічної енергії.

Інтеграли руху – це такі фізичні величини, які є функціями від положення, часу, швидкостей і при реальному русі не змінюються з часом.

При N=1

- інтеграли руху

-потенціальні сили; - гіроскопічні сили; - дисипативні сили

1. Т.

2. Т.

3. Т.

4. Т.

; ; гіроскопічні сили роботи не виконують

1. Т

2. Т

3. Т

4. Т

40. Силові поля. Рівняння руху. Початкові умови. Задача Кеплера-Ньютона.

Силове поле – це буде таке відображення точок , у множину силових векторів.

х-береться з області, де зосереджене поле, v-береться з множини швидкостей. t-береться з області зміни аргументів.

Потенціальні силові поля:

Стаціонарні і нестаціонарні.

Елементарна робота dA сили F на переміщенні dr.

Стаціонарне потенціальне поле

- умови стаціонарності

rot F = 0 – необхідна і достатня умова стаціонарності потенціального поля.

Нестаціонарне потенціальне поле

rot F(x,y,z,t)=0 – необх. і дост. умова потенціальності поля.

F(x,y,z,t)=-grad U(x,y,z,t)

Приклад потенц. сил:

1. Центральні сили – сила, лінія дії якої під час руху матеріальної точки весь час проходить через нерухому точку, яка називається центром сили.

F(r)=Ф(r)n_r

Ф(r)>0 -відштовхування

Ф(r)<0 – притягання

2. Гіроскопічні сили – це сили, які залежать лінійно від швид. руху частинки і направлені перпендикулярно до цієї швидкості.

3. Дисипативні сили – сили які діють з боку середовища на рухому в цьому середовищі точку, і завжди напрямлені проти шв. руху точки в цьому середовищі.

Рівняння руху

- р-ння руху під дією дисипативної сили.

- р-ння руху під дією сили тяжіння та опору.

- р-ння руху під дією гравітаційної сили.

- р-ння руху під дією сили між пластинками конденсатора.

- р-ння руху під дією магнітного поля.

- р-ння руху під дією електромагнітного поля.

Початкові умови

Задача Кеплера-Ньютона – або задача про рух матеріальної точки, в центральносиметричному полі, коли сила обернено пропорційна квадрату відстані до центра сили., α>0 – притягання, α<0 – відштовхування.

Розглянемо частинки під дією конкретної сили.

- сила тяжіння

- Кулонівська сила

Якщо , то потенціал буде: U()=-(α/)

- траєкторія руху.

«+» - притягання

«-» - відштовхування

>1 – гіпербола,  - ексцентриситет кривої.

=1 – парабола

0<<1 – еліпс

=0 – коло

Закони Кеплера

2. Кожна планета рухається по уліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться сонце.

3. Секторна швидкість є величина стала.