шпори2 / 15-21

16 початок

15 Початок

17 Початок

16. Електроємність відокремленого провідника. Ємність конденсаторів: плоского, сферичного та циліндрич­ного. Енергія електричного поля. Об'ємна густина енергії електрично­го поля.

Нехай маємо електризований відокрем­лений провідник в од­норідному сере­до­вищі. Заряд q розподілиться на його поверхні пев­ним способом і вона в усіх точках набуде деякого потенціалу φ. Якщо заряд на провіднику збільшити в п раз, то й потенціал у кожній точці поверхні його збільшиться в стільки ж разів. Дослідами встановлено, що від­ношення величини заряду q провідника до відповідного зна­чення потенціалу φ в точках його поверхні є сталим:

q/φ =соnst. Це відношення називають електроємністю відокремленого про­відника (або просто ємністю):

С=q /φ.

Електроємність залежить від геометрич­них розмірів і форми про­відника, розта­шування навколо нього інших провідни­ків, діелек­тричних властивостей середо­ви­ща. Електроємність не залежить від ма­теріалу провідника, наявності в ньому порожнин та від величини.

КОНДЕНСАТОРИ. Електроємність відокремленого провідника мала. Збіль­шувати електроємність за рахунок роз­мірів провідника незручно. Наприклад, щоб дістати електроємність 1 мкф, тре­ба було б взяти провідник кулястої фор­ми з радіусом 9 км. В електриці та ра­ді­отехніці, де доводиться користуватися великими електроємностями, застосову­ють систему провідників — конденсато­ри. Конденсатор складається з двох про­відників-обкладок, відокрем­лених про­шарком діелектрика. Наближаючи об­кладки і розміщуючи між ними ізоля­ці­йний прошарок з високою діелектрич­ною про­никністю можна створити кон­денсатори великої ємності. Такий кон­денсатор дає можливість нагромаджува­ти на обкладках великі заряди при неви­соких напругах і малих розмірах прила­ду. Зазначимо, що електричне поле кон­ден­са­­тора майже повністю локалізоване у вузькому зазорі між його обкладками і тому на нього не впливають навколишні тіла. Ємність конденсатора не змінюєть­ся. Його об­кладки мають заряди однако­вої величини, але протилежні за знаком.

Як показують досліди, відношення абсолютної величини заряду до різниці потенціалів обкладок залишається стал­им: q/( φ₁- φ₂)= const.

Це відношення називається взаємною електроємністю або просто ємністю

15. Електростатичне поле. Основні характеристики електростатичного по­ля та зв'язок між ними. Теорема Остроградського–Гауса в інтеграль­ній та диференціальних формах.

Електростатичне поле, електричне поле нерухомих електричних зарядів, що здійснює взаємодію між ними. Як і змінне електричне поле, Е. п. характеризується напруженістю електричного поля Е : відношенням сили, що діє на заряд, до величини заряду

Припускається, що заряди утримуються в різних точках простору силами не електростатичного походження природа яких в рамках електростатики не уточнюється. Наприклад, в ел.ст. досліджується розподіл зарядів на поверхні провідника, створене ними ел.поле, діючі сили, але не розглядається чому ці заряди не покидають провідник.

Зрозуміло. Що нерухомих елементарних зарядів не існує,а тому і не існує постійних полів.Але в більшості явищ , що вивчає шо вивчає класична теорія електрики спостерігається не поле окремого елементарного заряду, а суперпозиція полів багатьох зарядів. до цього потрібно додати , що напруженість електричного поля визначається як середня величина по деякому фізично малому об’єкту і фізично малому відрізку часу.Флуктуації середнього значення напруженості досить малі.Тому в моделі постійних полів ідеалізацією є не постійність поля , а нерухомість зарядів що його породжують.

Напруженість електричного поля

Властивості електричного поля вивча­ють за допомогою проб­ного точкового по­зи­тивного заряду. Пробний заряд мусить бути досить малим. Для кількіс­ного порівняння різних точок електрич­ного поля, створеного тим самим зарядом, вводять ряд фізичних ве­личин. Однією з таких величин є напруже­ність електричного поля. Напруженість Е у даній точці електростатичного поля чисельно до­рівнює силі, з якою поле діє на одиничний позитивний пробний за­ряд, вміщений у цю точку поля. Якщо на пробний заряд q₀, вміще­ний у певну точку поля, діє сила F, за означенням напруженість Е у даній точці поля E=F/q₀

Напруженість — величина векторна і являє собою силову характе­ристику поля. В СІ напруженість електричного поля вимірюють у ньютонах на кулон (Н/Кл) або вольтах на метр(В/м).

17. Магн. поле постійного струму у вакуумі. Індукція ц напруженість магн поля. Закон Біо-Савара-Лапла­са. Потік вектора магн. Індукції. Теорема Гауса для магнітного поля.

Як зазначалось, магнітне поле, що ство­рюється рухомими елек­тричними заря­да­ми (або струмами), є векторним. Для кількісної характеристики магнітного по­ля струму вводять фізичну величину, яку на­зивають напруженістю магнітно­го поля H. Напруженістю магнітного поля називають фізичну величину, пропорційну відношенню сили, що діє на пробний елемент струму, внесений у дану точку магнітного поля, до величи­ни цього елемента стру­му:

Історично назва напруженості магніт­но­го поля закріпилась за вектором H, який не є чисто польовою характер­ри­стик­кою магніт­ного поля, а враховує матеріальні властивості середовища, в якому існує поле. Тому для силової характеристики магнітного поля у ва­­­­­­­ку­умі вводять інший вектор В, який називають індукцією магніт­ного поля В= μ μ₀Н. Тоді

Закон Біо — Савара — Лапласа.

Закон Біо-Савара-Лапласа - фізичний закон для визначення модуля вектора магнітної індукції в будь-якій точці магнітного поля, породжуваного постійним електричним струмом на деякій ділянці. Було встановлено експериментально в 1820 році Біо і Саваом. Лаплас проаналізував даний вираз і показав, що з його допомогою шляхом інтегрування, зокрема, можна обчислити магнітне поле рухомого точкового заряду, якщо вважати рух однієї зарядженої частинки струмом.

У скалярній формі закон Біо — Сава­ра — Лапласа записують так:

Закон Біо — Савара—Лаплаеа є одним із основних експеримен­тальних законів електромагнітних явищ і він, лежить в основі класичної електродинаміки. Цей закон дає змогу розрахувати індукцію магнітних полів струмів.

16 продовження

15 продовження

17продовження

конденсатора, тобто

C =q/( φ₁- φ₂)=q/U

Електроємність конденсатора залежить від форми обкладок, їх розмірів, розмі­щення і діелектричних властивостей се­редовища між ними.

Розглянемо деякі типи конденсаторів. Залежно від форми обкла­док конденсат­то­ри бувають плоскі, циліндричні, сфер­ич­ні.

1. Плоский конденсатор — це система двох металевих, пара­лельних пластин (відокремлених діелектриком), розміще­них на близькій відстані одна від одної. Знайдемо ємність такого конден­сатора. С=(ε₀εS)/d

2. Циліндричний конденсатор – це си­с­тема 2 порожнистих металевих коак­сі­а­ль­них циліндрів, вставлених один в одно­­го, простір між якими заповнений діелектриками. С=(2πε₀εrh)/d.

3. Сферичний конденсатор – складаєть­ся з 2 концентричних сферичних обкла­док, простір між якими заповнений ді­еле­кт­риком. С=(4πε₀εr₁r₂)/ (r₁ -r₂).

Енергія зарядженого конденсатора виражається формулами

Які виводяться з урахуванням виразів для зв’язку роботи та напруги

Для ємності плоского конденсатора. Об’ємна густина енергії електричного поля (енергія поля в одиниці об’єму) напруги Е виражається формулою:

Основним завданням електростатики є знаходження величини і напряму векто­ра напруженості Е в кожній точці поля за заданим розподілом у просторі та величиною зарядів.

Теорема Остроградського—Гауса по­в'я­зує потік вектора напруженості елек­тро­статичного поля через довільну зам­кнену поверхню з зарядом, який охо­плюється поверхнею. Введемо поняття по­току. Нехай дано однорід­не поле напруженістю Е. Розмістимо в цьому полі плоску поверхню ΔS, нормаль до якої n утворює кут α з вектором Е (рис.1.). Величину ΔN_E = EΔS cos а = =E_nΔS називають потоком вектора Е через поверхню ΔS .

Рис (1.)

Потік може бути додатним або від'ємним залежно від знаку проек­ції Е_п, який визначається знаком соs α.

Якщо поле неоднорідне і поверхня не плоска, то уявно її розбивають на еле­менти d8, які можна наближено вважа­ти плоскими, а поле в її межах — одно­рід­ним. Тоді елементарний потік векто­ра Е: dN_E = Е_п ds а повний потік через поверх­ню S

Потік вектора Е через довільну замкнену поверхню ΔS= інтегралу цього вектора по довільній замкненій поверхні.

Теорема Остроградського–Гауса в ди­ференціальній формі має такий вигляд:

або

Теорема Гауса встановлює математичний зв’язок між потоком напруженості крізь замкнену поверхню і зарядом , що знаходиться в об’ємі , обмеженим цією поверхнею..

- Коли q₀ знаходиться в середині об’єму обмеженим S

Коли q₀ знаходиться поза об’ємом обмеженим S

18 Початок

19 Початок

20 Початок

18. Циркуляція вектора індукції ма­гніт­ного поля. Закон повного стру­му. Сила Лоренца.

У електростатиці було встановлено, що робота при переміщенні одиничного пробно­го заряду в електричному полі нерухомого за­ряду не залежить від фо­рми шляху і по довільному замкненому кон­туру дорівнює нулю. Такі поля нази­вають потенціальними. Ма­тематична умо­ва потенціальності поля записува­лась в інтегральній формі у вигляді рів­ності нулю циркуляції вектора Е, , або в диференціальній формі rotE =0. Ця умова вказувала на те, що силові лінії електростатичного поля незамкнені: початок вони беруть на позитивних зарядах і закінчуються на негативних або прямують у не скін­ченність. Маг­нітні поля створюють­ся ру­хомими електричними зарядами або стру­мами. Циркуляція вектора індукції магнітного поля визначається так:

Якщо маємо велику кількість провідни­ків зі струмами і лише частина з них охо­плюється контуром інтегрування, то циркуляція вектора В визначається ал­геб­раїчною сумою тіль­ки тих струмів, які охоплюються контуром. За принципом суперпозиції . Отже,

Закон повного струму в інтегральній формі.

де

індексом к – позначено тільки ті струми, які охоплюються конту­ром інтегрування.

— относительная магнитная проницаемость(у вакуумі =1)

— магнитная постоянная

Закон повного струму в диференціальній формі.

;

є сумою всіх струмів з урахуванням їхніх на­прямів, які охоплюються замкненим контуром інтегрування. За­кон, який виражається написаними рівностями називають – законом повного струму, або теоремою про циркуляцію вектора індукції магнітного поля.

В електричному полі Е на заряд q незалежно від того, рухається він чи перебуває у стані спокою діє сила F_e=qE. Як показують досліди, електричне і магнітне поле діють незалежно. Тому в електромагнітному полі або при сумісній дії електричного і магнітного полів результуюча сила F_л=F_e+F_M, тобто F_л=q(E+[vˆB])

де силу F_л називають силою Лоренца.

19. Електромагнітна індукція. Закон електромагнітної індукції фарадея в ін­тегральній та диференціальній фор­мах. Правило Лоренцо.

Тільки в 1831 р. М. Фарадей помітив, що коли замкнути струм в одній ко­тушці, то в другій, сусідній з нею, ко­туш­ці, замкнутій на гальванометр, ви­ни­кає корот­кочасний струм. На різних дослідах М. Фарадей показав, що при вся­ких змінах магнітного поля в облас­ті, обмеженій контуром провідника, в останньому виникає електрорушійна сила індукції. Це явище Фарадей назвав електромагнітною індукцією, а наведе­ний струм — індукційним.

В явищі електромагнітної індукції істот­не значення має не зміна сили навідного струму І₁ ,а зміна його магнітного поля. Щоб переконатися в цьому, замість котушки А, беруть постійний магніт (рис. 2). Індукційний струм виникає у випадках відносного переміщення пос­тійного магніту й котушки.

Рис. 1 Рис. 2

Усі попередні досліди показують, що ЕРС електромагнітної ін­дукції виникає завжди тоді, коли змінюється потік ліній магнітної індукції Ф через площу, обмежену контуром К₂ (рис. 1), неза­лежно від того, чим зумовлена ця зміна потоку індукції.

ЗАКОН ЛЕНЦА

У різних дослідах з електромагнітної ін­дук­ції напрям індукційного струму не­од­на­ковий. З цього приводу М. Фарадей писав, що законо­мірність, якій підпо­ряд­кований напрям збудженого струму за допо­могою електромагнітної індук­ції, дуже проста, хоч і важко її описати. Цю закономірність пояснив у 1834 р. Е.Х. Ленц, керуючись ідеєю збереження матерії та руху, яка з часів М.В. Ломо­но­сова традиційно розвивалася.

Закон Ленца стверджує: напрям індук­цій­но­го струму завжди такий, що його власне магнітне поле протидіє тій зміні магнітного потоку, в результаті якої він сам виникає.

Закон Ленца розкриває взаємозв'язок між індукційним струмом І_і , зумовле­ним ним магнітним потоком Ф_і і зміною ΔФ магнітного потоку деякого зовнішнього поля.

Закон Ленца визначає протидію, в процесі долання якої енергія з одного

20. Система рівнянь Максвела в інте­гральній та диференціальній фор­мі. Фіз.. зміст окремих рівнянь М-ла.

Інтегральній формі система рівнянь Максвела записується так:

У диференціальній формі:

Доповнюючи рівняння:

Перше рівняння Максвелла являє собою узагальнення закону Біо—Савара—Лап­ла­са і є більш загальною формою закону повно­го струму, який відображає той експериментальний факт, що дже­релами вихрового магнітного поля можуть бути струми провідності і струми зміщення.

Друге рівняння Максвелла є математич­ним записом експеримен­тального зако­ну електромагнітної індукції Фарадея. Узагальнений фізичний зміст його полягає в тому, що всяка зміна в часі магніт­ного поля приводить до збуджен­ня вихрового електричного поля.

Третє рівняння Максвелла відображає експериментальний факт відсутності в природі магнітних зарядів, тобто від­сут­ність джерел магнітного поля подібних до джерел електричного поля (зарядів).

Четверте рівняння Максвелла є уза­гальненням на основі теоре­ми Остро­градського—Гауса закону Кулона і фізично вказує на існування в природі джерел електричного поля у вигляді електрич­них зарядів, розподілених у просторі з об'ємною густиною ρ. Як видно, рівняння Максвелла не симе­трич­ні відносно електричного і маг­нітного полів. Це зумовлено наявністю в природі джерел електричного поля (електричних зарядів) і відсутністю подібних джерел магнітного поля (магнітних зарядів, монополів).

19 Продовження

виду перетворюється в інший, і збереження руху. Пояснимо це на таких прикладах. Якщо полюс N постійного магніту наближати до замкнутої котуш­ки, то магніт і котушка відштовхуються (рис. 2). Це пояснюється тим, що на ближчому кінці котушки виникає однойменний полюс магнітного поля індукованого струму. З віддаленням магніту від котушки між ними спостерігається притягання. Електро­­­­маг­ніт­на індукція дає можливість перетворювати інші форми енергії в електричну енергію. На цьому явищі базується вся сучасна електро- і радіотехніка.

У 1845 Нейман дав математичне визначення закону електромагнітної індукції.

Виведемо закон диф формі.

Запишемо з-н ел маг інд Фарадея у вигляді.

(1), де L–контур, S - поверхня натягнута на контур

Ф –потік вектора індукції магн поля. Враховані визначення

Перетворимо ліву частину(1) по формулі Стокса В результаті отримаємо(2)

Причому похідна tвнесена під знак інтеграла на тих підставах , що площа інтегрування не залежить від часу. Так як S довільна то із (2) випливає Це рівняння описує закон породження електричного поля в деякій точці за рахунок зміни індукції магнітного поля в тій же точці.Поле Е – часто називають індукційним.

Виведемо закон інт. формі.

(3)

Перший доданок у правій частині враховує породження електричного поля електричними зарядами, а другий породження поля по з-ну електромагнітної індукції Фарадея.

21 Початок

21.Електромагнітні хвилі, як наслідок рівнянь Максвела. Хвильове рівнян­ня. Плоскі Е-М хвилі у вакуумі. Енер­гія електричної хвилі. Потік енергії. Век­тор Умова-Пойтінга.

Швидкість поширення в просторі сталої фази називають фазовою швидкістю у електромагнітної хвилі. Фаза хвилі E=(z-vt); B=B(z-vt),(*) в усіх точках площини г = г₀ + vt має однакове значення і цю площину нази­вають площиною сталої фази хвилі, або фронтом хвилі. Вектори полів E і В в усіх точках цієї площини мають певні сталі значення. Якщо величині г₀ надавати різних числових значень, то одержимо сім'ю паралельних площин, перпендикулярних до осі г, що розмі­щені на різних відстанях від початку відліку осі z. На кожній з цих площин вектори Е і В мають сталі значення, які в загальному можуть відрізнятись при переході від площини до площини. Спів­відношення ж між Е і В визначається рівнянням Максвелла.

Якщо вектори хвилі мають однакову величину в усіх точках довіль­ної площини, перпендикулярної до напряму поширення хвилі, то таку електро­маг­ніт­ну хвилю називають плоскою. Отже, розв'язок (*) описують плоску електро­магнітну хвилю.

Для розв'язків задач макроскопічної електродинаміки систему рівнянь Макс­велла доповнюють співвідношеннями, які виражають закон збереження енергії. На основі цих співвідношень вста­нов.­лю­ють можливість поширення електро­магнітної енергії у просторі. Як відомо, енергію електричного поля визначають за формулою магнітного поля —. Якщо в об­меженому замкненому об'ємі V є електромагнітне поле, то його енергію визначають як суму електричної і магнітної складових:

Вектор Умова - Пойтінга

divП=-dw/dt (**) де — об'ємна густина електромагнітної енергії, а П = [Е,Н] називають вектором Умова — Пойнтінга. З формули (**) вид­но, що divП дорівнює зміні електромагнітної енергії в одиниці об'єму за одиницю часу.

21 Продовження

Модуль вектора Умова — Пойнтінга визначає потік електромагнітної енер­гії за одиницю часу через одиницю поверхні, перпендикулярної до напряму поширення енергії:

Дж/с*м²