5. Основні теореми про границі.

При обчисленні границь користуються наступними теоремами:

1. Функція не може мати більше однієї границі.

2. Якщо кожна з функцій та має скінченну границю при , то сума, різниця і добуток цих функцій також мають границю, причому:

, (7)

. (8)

Якщо , то і частка цих функцій також має границю, причому (9).

Наслідки! Якщо кожний доданок алгебраїчної суми функцій має границю при , то границя суми існує і дорівнює алгебраїчній сумі границь доданків.

(10)

3. Сталий множник можна винести за знак границі:

(11)

4. Якщо і – натуральне число, то (12); (13)

5. Границя сталої є сама стала (14)

Приклад. 2.

Знайти: а) ; б)

Розв’язання

а) (7), (10), (11), (12) :

б) (9), (10), (11), (12):

6. Розкриття деяких невизначеностей

Нехай треба обчислити границю відношення многочленів .

Можливі випадки: а) – скінченне число; б) .

У випадку а) треба під знаком границі замість х підставити в чисельник і знаменник .

Якщо під знаком границі одержимо стале число А або дріб виду чи , то границею буде, відповідно А, , чи 0..

Якщо під знаком границі одержимо невизначеність виду , то треба чисельник і знаменник розкласти на множники, скоротити дріб, а потім обчислити границю.

У випадку б) треба під знаком границі поділити чисельник і знаменник на , де – найбільше з чисел і , і обчислити границю одержаного виразу.

При цьому: якщо , то границею буде ;

при границею буде або залежно від знака ;

при границя буде дорівнювати 0.

Якщо треба обчислити границю відношення ірраціональних виразів, яке при приймає вигляд , то для розкриття невизначеності треба:

1. чисельник і знаменник домножити на вираз, спряжений до ірраціонального виразу чисельника, або знаменника, або і чисельника і знаменника;

2. розкласти на множники чисельник і знаменник, спростити вираз і перейти до границі.

Приклад 3.

Знайти: а) ; б)

Розв’язання:

а) ;

б)

7. Деякі важливі границі.

а) Перша важлива границя (14)

б) Друга важлива границя (15.1)

(15.2), (15.3)

(15.4).

Примітка. Якщо існує , то при сталому має місце рівність . (16).

Приклад 4. Знайти: а) ; б) ; в) ;

г) д) .

Розв’язання

а) ;

б) ;

в)

;

г)

д)

8. Неперервність та розриви функції

Озн.1. Функція називається неперервною при , якщо:

1) визначена при і в деякому околі ;

2) існує скінченна границя ;

3) , тобто ;

Якщо при хоч одна з умов 1-3 не виконується, то кажуть, що функція в точці має розрив, а точку називають точкою розриву.

Якщо функція визначена при і , то кажуть, що неперервна в точці справа.

Якщо визначена в точці і , то кажуть, що неперервна в точці зліва.

Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то її називають неперервною в інтервалі .

Функція називається неперервною на відрізку , якщо вона неперервна на інтервалі і на його кінцях відповідно зліва та справа.