Лисенко В.І.

«Вища математика»

І КУРС

Опорні конспекти лекцій

Лекція №17-18. Границя та неперервність.

Література:

1. Гусак А.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов. В 2 т. Т.1. – Минск: ТетраСистемс, 2007 – 544с. (76-91 с.).

2. Каплан И.А., Пустынников В.И. Практикум по высшей математике: в 2.Т., Т.1.: – М.: Эксмо, 2008. – 576 с. (с. 213-219, 293-315).

3. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч.І. – К.: Кондор, 2006. –588с. (с. 278 - 329).

4. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум: Навчальний посібник: К.: Центр навч. Літератури, 2005 – 536с. (с. 137-160).

Основні теоретичні положення

1. Функція.

Нехай задані дві непорожні множини та .

Озн.1. Якщо кожному значенню змінної , ставиться у відповідність за деяким законом єдине значення , то кажуть, що на множині задана функція (1).

Функція задана формулою (1) називається явною, а функція задана формулою (2) називається неявною (рівняння не розв’язане відносно у).

Множина Х називається областю визначення функції і позначається . Множина всіх значень у, які приймає при , називається областю (множиною) значень функції і позначається . При цьому х називається незалежною змінною або аргументом, а у – функцією.

2. Деякі класи функцій.

Обмежені функції. Функція , визначена на множині Х, називається обмеженою, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Наприклад: , .

Монотонні функції. Функцію називають зростаючою на проміжку , якщо більшому значенню аргумента з цього проміжку відповідає більше значення функції. Записують: , , тоді і навпаки. Наприклад зростає при .

Якщо ж при , то функцію називають неспадною.

Парні та непарні функц1ї.

Функція називається парною (непарною), якщо її область визначення симетрична відносно точки і (). Наприклад , – парні, а , – непарні.

Періодичні функції

Функція називається періодичною, якщо існує таке число , що для всіх виконується умова . Наприклад ; – найменший період. –загальний період.

3. Основні елементарні функції.

1. Степенева функція: , .

2. Показникова функція: , , .

3. Логарифмічна функція: , , .

4. Тригонометрична функція: , , , .

5. Обернені тригонометричні функції: : , , , .

Елементарними називають функції, які одержують з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа арифметичних дій.

До елементарних функцій відносяться гіперболічні функції, які визначаються так:

Гіперболічний синус: ;

Гіперболічний косинус: ;

Гіперболічний тангенс: ;

Гіперболічний котангенс: .

Увага! Самостійно повторити властивості і графіки основних елементарних функцій (1-5).

4. Границя функції.

Нехай функція визначена в деякому околі точки , за виключенням, можливо самої точки .

Озн.2. Число А називають границею функції в точці , якщо для довільного числа знайдеться число , яке залежить від , таке, що для всіх х, які задовольняють нерівність виконується нерівність . Символічно записують (3)

Увага! Користуючись рис.1, поясніть, чому за –окіл точки , обрано менший з відрізків і .

Рис 1.

Якщо , то функція називається нескінченно великою при .

Якщо , то функція називається нескінченно малою при .

Якщо і , то пишуть , якщо ж то пишуть .

Числа (4) та (5) називають відповідно границею функції зліва в точці і границею функції справа в точці .

Якщо , то замість пишуть , а замість пишуть .

Числа (4) і (5) називають односторонніми границями.

Для існування границі функції при необхідно і достатньо, щоб (6).

Приклад 1.

Довести що

Розв’язання.

Для розв’язання задачі треба для довільного знайти -окіл точки . Тобто

(3): (*)

Розв’яжемо нерівність (*) відносно .

Значить .