30. Понятие и задачи кра. Парная и множественная регрессии.

Корреляционно-регрессионный анализ заключается в построении и анализе статистической модели в виде уравнения регрессии (уравнения корреляционной связи) приближенно выражающий зависимость результативного признака от одного или нескольких факторных признаков и в оценке степени тесноты связи м\у ними.

Задачами КРА явл-ся:

• Обнаружение корреляц-ой зависимости и выявления формы связи.

• Установление количеств-ых оценок тесноты связи, характериз-их силу влияния факторн признаков на результативные.

При изучении взаимосвязей выделяют следующие основные этапы:

• качественный анализ явления, в процессе кот-го устанавл-ся причинно-следственные связи м\у явлениями. Из большого кол-ва факторн признаков отбираются самые существенные.

• построение моделей связи. Выбирается определенный вид матем ф-ии, наилучшим образом отображающий характер изучаемой связи. Эта задача решается с помощью регрессионного анализа.

Матем функция, отображающая форму корреляционной зависим-ти наз-ся уравн-ем регрессии.

• интерпретация полученных результатов. Оценивается теснота связи м\у признаками (эта задача решается с помощью корреляционного анализа).

Парная регрессия характеризует связь м\у двумя признаками: факторным и результативным. Аналитически связь м\у ними описывается ур-ми прямой, гиперболы, параболы и т.д.

• Если результативный признак с увеличением факторного признака равномерно возрастает или убывает, то такая зависимость явл-ся линейной и выражается ур-ием прямой:

Где y_x – теоретич значения результ-го признака, получ-го по ур-ию регрессии. a₀ и a₁ параметры прямой, x – значение факторного признака.

Параметры ур-ия прямой (a₀ и a₁) определяются путем решения систем нормальных ур-ий на основе метода наименьших квадратов. Суть данного метода заключается в нахождении параметров (a₀ и a₁), при кот-ых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических будет min.

Система нормальных ур-ий для нахождения параметров линейной парной регрессии имеет вид:

n – объем исследуемой совокупности.

В уравнении регрессии параметр a₁ наз-ся коэфф регрессии. Он показывает на сколько единиц изменится значение результативного признака при увеличении факторного признака на одну единицу.

• Если результативный признак с увеличением факторного признака возрастает (убывает) небесконечно, а стремиться к конечному пределу, то для анализа такого признака применяется ур-ие гиперболы:

Для нахождения параметров этого ур-ия использ-ся след система нормальных ур-ий:

• Если с увеличением факторного признака результативный признак растет, но до определенной величины, а затем с ростом x y снижается, то такая зависимость описывается ур-ием параболы 2-го порядка.

Для определения параметров этого ур-ия использ-ся след система нормальных ур-ий:

Количественно оценить влияние различных факторов на результативный, определить форму и тесноту связи м\у результативным признаком y и факторными признаками x₁, x₂ , … , x_k можно методами множественной регрессии.

Среди многофакторных регрессионных моделей выделяют линейные (относительно независимых переменных) и нелинейные. Наиболее простыми для построения, анализа и экономической интерпретации являются многофакторные линейные модели, которые содержат независимые переменные только в первой степени:

Где а₀ - свободный член, –коэфф регрессии, – факторные признаки.

Если связь между результативным признаком и анализируемыми факторами нелинейна, то выбранная для ее описания нелинейная многофакторная модель (степенная, показательная и т.д.) может быть сведена к линейной путем линеаризации.

Параметры уравнения множественной регрессии, как и парной, рассчитываются методом наименьших квадратов, при этом решается система нормальных уравнений с (к + 1) неизвестным:

Где x_ij –значение j-го факторного признака в i-ом наблюдении, y_i - значение результативного признака в i-ом наблюдении.

Как правило, прежде чем найти параметры уравнения множественной регрессии, определяют и анализируют парные коэффициенты корреляции. При этом систему нормальных уравнений можно видоизменить таким образом, чтобы при вычислении параметров регрессии использовать уже найденные парные коэффициенты корреляции. Для этого в уравнении регрессии заменим переменные у, х₁, х₂, ..., х_к переменными t, полученными следующим образом:

Эта процедура называется стандартизацией переменных. В результате осуществляется переход от натурального масштаба переменных х_ij к центрированным и нормированным отклонениям t_ij.В стандартизированном масштабе среднее значение признака равно 0, а среднее квадратическое отклонение равно 1, т.е. = 0,

При переходе к стандартизированному масштабу переменных уравнение множественной регрессии принимает вид

В этом уравнении β - коэффициенты представляют собой стандартизированные коэффициенты множественной корреляции.

Стандартизированные коэффициенты множественной регрессии также вычисляют методом наименьших квадратов, который приводит к системе нормальных уравнений

После построения регрессионной модели с помощью корреляционного анализа, осуществляют проверку адекватности полученной модели.

Проверка адекватности моделей начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии с помощью t - критерия Стьюдента.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью расчета F-критерия и величины средней ошибки аппроксимации

Где – линейное отклонение абсол-ых величин фактич-их и выравненных данных.

Значение средней ошибки не должна превышать 12 – 15 %.

После проверки адекватности установлении точности и надежности построенной модели, ее необходимо проанализировать. Для этого использ-ся след показатели:

• Частный коэффициент эластичности.

Где – коэфф регрессии при соответствующем факторном признаке

– ср. знач соответствующего факторного признака

– ср. знач результативного признака

Коэфф эластичности показывает на сколько % в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на 1%.

• Для определения тесноты связи м\у признаками при линейной форме ур-ия исполь-ся показатель линейный коэффициент корреляции.

По этому показателю можно сделать следующие выводы:

а) о направлении связи (если 0 < r < 1 – связь прямая, если -1 < r < 0 – связь обратная)

б) о тесноте связи м\у признаками.

• Квадрат линейного коэффициента корреляции (линейн коэфф детерминации) показывает, на сколько % вариация результат-го признака обусловлено вариацией факторного признака.

• Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости вычисляются множественные коэфф корреляции и частные коэфф корреляции.