
- •Фгбоу впо "Орловский государственный институт экономики и торговли»
- •Содержание
- •Правила ТехникИ безопасности при выполнении лабораторных работ
- •Правила оформления и выполнения лабораторных работ
- •Обработка и анализ результатов измерений
- •2. Краткая теория Методы измерения физических величин. Погрешности измерений
- •3Акон распределения случайных погрешностей
- •Среднее арифметическое значение, средняя квадратичная и средняя арифметическая погрешности измеряемой величины
- •Обработка результатов прямых измерений
- •Оценка достоверности результатов измерений
- •Обработка результатов косвенных измерений
- •3. Изучение нониусов
- •4. Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа №2 Определение влажности воздуха
- •2. Краткая теория
- •3. Описание приборов и методов измерения
- •4. Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Давление и плотность насыщенного водяного пара при различных температурах
- •Психрометрическая таблица относительной влажности воздуха
- •Лабораторная работа № 3 изучение законов вращательного движения твёрдого тела
- •2. Краткая теория
- •3. Описание установки. Вывод расчётных формул
- •4. Порядок выполнения работы
- •5. Контрольные вопросы
- •Рекомендуемая литература
3Акон распределения случайных погрешностей
Полностью избежать или исключить совершенно случайные погрешности невозможно, так как факторы, их вызывающие, не поддаются учёту и носят случайный характер. Возникает вопрос: как уменьшить влияние случайных погрешностей на окончательный результат измерения и как оценить точность и достоверность последнего? Ответ на этот вопрос даёт теория вероятностей. Теория вероятностей — это математическая наука, выясняющая закономерности случайных событий (явлений), которые проявляются при действии большого числа случайных факторов.
Случайные
погрешности измерений относятся к
группе непрерывных величин. Непрерывные
величины характеризуются бесчисленным
множеством возможных значений. Вероятность
любого значения непрерывной случайной
величины бесконечно мала. Поэтому, чтобы
выявить распределение вероятностей
для какой-то непрерывной случайной
величины, например, величины
,
рассматривают
ряд интервалов
значений этой величины и подсчитывают
частоты
попадания
значений величины
в
каждый интервал
.
Таблица, в которой приведены интервалы
в порядке их распределения вдоль оси
абсцисс и соответствующие им частоты,
называется статистическим рядом (табл.1).
Таблица 1
Интервалы I |
|
|
. . . . . . . |
|
. . . . . . . |
|
Частоты Р* |
|
|
. . . . . . . |
|
. . . . . . . |
|
Статистический ряд графически представляется в виде ступенчатой кривой, которую называют гистограммой. При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы возможных значений случайной величины, а по оси ординат — частоты или число случаев, когда значение случайной величины попадает в данный интервал. Для большинства интересующих нас случайных погрешностей гистограмма имеет вид, показанный на рис. 1. На этом рисунке высота, а следовательно, и площадь прямоугольника для каждого интервала ошибок пропорциональны числу опытов, в которых данная ошибка наблюдалась.
При
увеличении числа опытов (измерений) и
уменьшении интервала разбиения оси
абсцисс гистограмма теряет свой
ступенчатый характер и стремится
(переходит) к плавной кривой (рис. 2).
Такую кривую называют кривой плотности
распределения для данной случайной
величины, а уравнение, описывающее эту
кривую, называется законом распределения
случайной величины.
Считается,
что случайная величина полностью
определена, если известен закон её
распределения. Этот закон может быть
представлен (задан) в интегральной или
дифференциальной форме. Интегральный
закон распределения случайной величины
обозначается символом
и
называется функцией распределения.
Производная функция от
называется
плотностью вероятности случайной
величины X
или
дифференциальным законом распределения:
.
При
решении многих практических задач нет
необходимости характеризовать случайную
величину исчерпывающим образом.
Достаточно бывает указать только её
некоторые числовые характеристики,
например, её математическое ожидание
(можно
писать
)
и
дисперсию
(можно
писать
).
Для
непрерывной
случайной величины X
с
плотностью вероятности
математическое
ожидание вычисляется по формуле
. (3)
Для непрерывной случайной величины X дисперсия определяется по формуле:
. (4)
Положительный
квадратный корень из дисперсии
обозначается символом
и называется средним квадратическим
отклонением (сокращенно с. к. о.):
. (5)
При конечном числе
опытов
в качестве оценки
принимают
среднее арифметическое наблюденных
(измеренных) значений
,
т. е.
. (6)
Для оценки дисперсии (с. к. о.) используют формулу
.
(7)
Следует иметь в
виду, что среднее арифметическое
случайной величины
само
является случайной величиной, так как
вычисляется на основании ограниченного
числа опытов. Разброс значений величины
характеризуют
средним квадратическим отклонением ,
которое
связало с упомянутым выше
соотношением:
.
(8)
При ограниченном числе опытов в качестве оценки принимают отношение
.
(9)
Согласно закону
больших чисел все три оценки при
увеличении числа опытов приближаются
(сходятся по вероятности) соответственно
к
и
Практика обработки
статистических данных показывает, что
числовые характеристики случайной
величины (
и
)
существенно
зависят от вида предполагаемого закона
распределения рассматриваемой случайной
величины.
Предельная кривая,
к которой в большинстве случаев стремятся
гистограммы случайных погрешностей
измерений физических величин при
неограниченном увеличении числа опытов,
имеет колоколообразный вид и называется
кривой Гаусса (рис. 2). Аналитическое
выражение этой кривой называется законом
распределения Гаусса или законом
нормального распределения. Для случайной
величины
этот закон
можно записать в виде:
.
(10)
где
— плотность
вероятности;
и
—
математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение — параметры
нормального распределения, физический
смысл и способ вычисления которых были
пояснены выше.
При рассмотрении свойств и характеристик распределения случайных погрешностей мы ограничимся только нормальным законом, так как случайные погрешности измерений чаще всего распределяются нормально (по закону Гаусса). Это означает:
1) случайная
погрешность измерения может принимать
любые значения в интервале
2) случайные погрешности, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, равновероятны, то есть встречаются одинаково часто;
3) чем больше по абсолютной величине случайные погрешности, тем они менее вероятны, то есть встречаются реже.