Методичка по математике.1 курс.1 семестр.ФЭИС
.pdf161. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой принадлежат оси абсцисс и симметричны относительно начала координат, если:
а) 2c =10; 2b = 8;
б) 2a =16; ε = 54 ;
в) 2c =12; ε = 56 ;
г) ее фокусы лежат на оси Оу, расстояние между ними равно 20, а действительная ось равна 16;
д) уравнение асимптот y = ± 34 x , расстояние между директрисами
равно 12,8.
162. Установить, какие кривые задаются следующими уравнениями:
а) 16x2 − 25y2 + 32x −100y + 84 = 0; |
б) 5x2 −9y2 −30x +18y −9 = 0 ; |
||||
|
|
|
|
|
|
в) x = 9 − 2 |
y2 + 4y + 8 |
; |
г) y = −3 x2 +1. |
163. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
а) парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ox, и её параметр p = 3 ;
б) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку A(4;−8);
в) она симметрична относительно оси Ох и проходит через точку
А(6; –2).
164. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в точке A(1;− 2), если парабола расположена:
а) симметрично относительно прямой x −1 = 0 и проходит через точку
B(2;0);
б) симметрично относительно прямой y + 2 = 0 и проходит через точку
B(2;0).
165. Установить, какая линия определяется уравнением, и изобразить эти линии на чертеже:
а) y |
2 |
+10x + 2y = 0 ; |
б) y = − |
1 |
x |
2 |
+ 2x −7 ; |
||||
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 2x2 + 5y2 + 8x −10y −17 = 0 ; |
г) x2 −8x + 2y +18 = 0; |
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
д) x = −4 + 3 |
|
; |
е) y = 7 − |
|
|
x2 − 6x +13 ; |
|||||
y + 5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ж) x = 5 − |
|
y2 + 4y −12 ; |
|
|
|
|
|||||||
|
з) |
y = −5 + |
−3x − 21 |
; |
|
||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
и) |
y =1− |
|
−6x − x2 ; |
к) |
x = −2 + |
−5 − 6y − y2 |
. |
||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
Задания для индивидуальной работы
166.Найти уравнение окружности, если концы одного из ее диаметров находятся в точках A(3;9), B (7;3).
167.Найти уравнения касательных, проведенных из точки M(0;3) к ок-
ружности x2 + y2 − 6x + 4y −12 = 0 .
Ответ: y = 3; y = 158 x + 3 .
168. Записать уравнение окружности, если:
а) она проходит через правый фокус гиперболы 57x2 − 64y2 = 3648 и ее центр в точке А(2; 8);
б) она проходит через левый фокус эллипса 13x2 + 49y2 = 837 и ее
центр в точке А(1; 8); в) она проходит через точку В(3; 4) и ее центр в вершине параболы
y2 = 41 (x + 7);
г) она проходит через фокусы гиперболы 4x2 −5y2 = 20 и ее центр в
точке А(0; –6).
169. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
а) малая ось равна 24, расстояние между фокусами равно 10; б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет равен 35 ;
в) расстояние между директрисами равно 32, эксцентриситет равен
0,5; |
|
|
|
|
|
|
г) малая полуось равна 7 и |
один из фокусов |
|
|
находится в точке |
||
F (13; 0); |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|||
д) эллипс проходит через точки |
A(−3; 0), B 1; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) эллипс проходит через точку A(0; − 11) и ε = 56 ;
ж) большая ось равна 30 и ε = 1517 .
170. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
а) его полуоси равны, соответственно, 7 и 2; б) его малая ось равна 16, а эксцентриситет равен 0,6;
в) расстояние между его директрисами равно 10 32 , а эксцентриситет равен 0,6.
42
171. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и
нижнюю вершину эллипса x2 + y2 =1. 25 16
172. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε = 0,5, фокус F(3;0) и уравнение соответствующей директрисы:
x + y −1= 0.
173. На эллипсе найти точку, расстояние до которой от правого фокуса в четыре раза меньше расстояния до левого фокуса, если уравнение эл-
липса 16x2 + 25y2 = 400.
174. Составить каноническое уравнение гиперболы, если: а) действительная полуось a = 4, эксцентриситет ε =1,25;
б) ее асимптоты заданы уравнениями y = ± 2x и расстояние между фо-
кусами равно 10; в) расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами
равно 10; г) действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между
фокусом и центром пополам; д) действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку
A(9;− 4);
е) точки P (−5;2) и Q (25;1) принадлежат гиперболе;
ж) мнимая полуось равна 4 и один из фокусов находится в точке
F (–11; 0);
з) уравнения асимптот гиперболы y = ±x32 и ε = 153 ;
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
||
и) гипербола проходит через точки |
32 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
и B |
8; 0 |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
3 |
; 1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
к) уравнения асимптот гиперболы y = ±x |
|
17 |
|
|
и 2c =18. |
|
|
||||||
|
8 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
175. Составить уравнение гиперболы, зная, что:
а) расстояние между вершинами равно 24, а фокусы находятся в точ-
ках F1(−10;2) и F2(16;2) ;
б) эксцентриситет равен 54 , один из фокусов находится в точке F(5;0)
и уравнение соответствующей директрисы 5x −16 = 0.
176. Точка M1(1;− 2) лежит на гиперболе, фокус которой находится в точке F(−2;2) , а соответствующая директриса дана уравнением 2x − y −1= 0 . Составить уравнение этой гиперболы.
43
177. |
Дан эллипс |
x2 |
+ |
y2 |
=1. Найти уравнение гиперболы, вершины ко- |
|
15 |
6 |
|||||
|
|
|
|
торой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса. 178. Составить каноническое уравнение параболы, если:
а) F (0;2) – фокус, O (0;0) – вершина параболы;
б) она симметрична относительно оси Ox и проходит через точки
O (0;0) и M (1;− 4);
в) она симметрична относительно оси Oy и проходит через точки
O (0;0) и N (6;− 2);
г) уравнение директрисы параболы x =13; д) уравнение директрисы параболы y = 4;
е) уравнение директрисы параболы y = −3 ;
ж) она симметрична относительно оси Оу и проходит через точку
А(4; –10).
179.Струя воды фонтана, имеющая форму параболы, достигает наибольшей высоты 4м на расстоянии 0,5м от вертикали, проходящей через точку О выхода струи. Найти высоту струи над горизонталью Ox на расстоянии 0,75м от точки О.
180.Составить уравнение параболы, если её вершина в точке A(2;1) и
уравнение директрисы 2x − y + 2 = 0 .
181.Осевое сечение зеркала-прожектора имеет форму параболы. Определить положение фокуса, если диаметр зеркала 80 см, а глубина 40 см.
182.Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить их на чертеже.
а) x2 + y2 − 4x + 6y + 4 = 0 ; |
б) 2x2 + 5y2 + 8x −10y −17 = 0 ; |
|||||||||||||||||
в) x2 − 6y2 −12x + 36y − 48 = 0; |
г) x2 −8x + 2y +18 = 0; |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) y = −1+ |
x2 − 4x −5 ; |
е) x = 9 − 2 y2 + 4y + 8 ; |
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
з) x = −5 + 2 |
|
|
|
|
|
|||||
ж) y = −7 + |
|
−x2 + 6x +16 ; |
|
8 + 2y − y2 ; |
||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
и) y = 3 − 4 |
x −1 |
; |
к) x = 2 − |
6 − 2y |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
м) y = 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
л) x = −5 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
x2 |
+ 25 . |
|
|
|||||
−y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
183. Составить уравнение линии, каждая точка которой:
а) отстоит от прямой x = −7 на расстоянии в три раза меньшем, чем от точки А(3; 1);
б) отстоит от прямой x = 2 на расстоянии в пять раз большем, чем от точки А(4; –3);
в) отстоит от прямой x = −1 на расстоянии в четыре раза большем, чем от точки А(1; 5).
44
г) отношение расстояний от точки М до точек А(3; –5) и В(4; 1) равно
0,25.
|
|
Ответы. 155. а) (x −3)2 + |
(y +1)2 = 5; б) x2 + y2 = 4. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
156. а) |
|
(x − 2) |
2 |
+ |
(y + 4) |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
+ (y −3) |
2 |
= |
25 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
36 ; б) x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
158. |
|
(x −1)2 |
|
|
+ |
(y + 2)2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
159. а) |
|
|
x2 |
+ |
|
|
y |
2 |
=1; б) |
|
x2 |
+ |
|
|
y2 |
=1; в) |
|
x2 |
|
|
+ |
y |
2 |
|
=1; г) |
x2 |
|
+ |
y2 |
=1; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
25 |
|
|
|
9 |
25 |
16 |
169 |
|
25 |
|
5 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
д) |
|
x |
2 |
|
+ |
|
|
|
y2 |
|
|
|
=1; е) |
x2 |
|
+ |
|
y2 |
|
|
=1; ж) |
x2 |
|
|
|
+ |
|
|
y2 |
|
=1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
16 3 |
|
|
20 |
|
|
15 |
|
|
41 16 |
|
41 25 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
161. а) |
|
|
x2 |
|
− |
|
y |
2 |
=1; б) |
|
x |
2 |
|
− |
|
y2 |
|
=1; в) |
x2 |
|
− |
|
y |
2 |
|
=1; г) − |
x2 |
|
+ |
y2 |
=1; д) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9 |
|
16 |
64 |
|
36 |
|
25 |
|
|
|
11 |
|
36 |
|
64 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
− |
|
|
y2 |
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16 25 |
|
9 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 Плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
Общее |
уравнение |
|
плоскости |
имеет |
|
|
вид |
Ax + By +Cz + D = 0, где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= (A;B;C) называют нормальным вектором плоскости, причем выпол- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
няется условие A2 + B2 +C2 ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Существуют различные способы задания плоскости, выпишем соот- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ветствующие им уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1. A(x − x |
0 |
|
) + B(y − y |
0 |
) +C(z − z ) = 0 |
– |
уравнение плоскости с извест- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и точкой M0(x0;y0;z0 ), принад- |
||||||||||||||||||
ным нормальным вектором n |
= (A;B;C) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лежащей плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2. |
|
x |
|
+ |
y |
|
+ z |
=1 – уравнение плоскости в «отрезках», где а, b, с – вели- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
чины |
|
|
отрезков, |
отсекаемых |
|
плоскостью |
|
|
на |
осях координат, a ≠ 0, |
b ≠ 0, c ≠ 0.
3. |
|
x − x1 |
y − y1 |
z − z1 |
|
= 0 – уравнение плоскости, проходящей че- |
|
|
|||||
|
x2 − x1 |
y2 − y1 |
z2 − z1 |
|
||
|
|
x3 − x1 |
y3 − y1 |
z3 − z1 |
|
|
рез три заданные точки Mi (xi ;yi ;zi ), (i =1,2,3) .
Рассмотрим плоскости α: A1x +B1y +C1z +D1 = 0 и β: A2x +B2y +C2z +D2 = 0 .
45
Углом между двумя плоскостями α и β |
называется угол между их |
||||||||||||||||||||||||
нормальными векторами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1A2 + B1B2 +C1C2 |
|
|
|
|
||||||||||||
cosϕ |
= |
|
n1 |
|
n2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
A 2 + B 2 +C 2 |
A 2 |
+ B 2 |
+C 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
Условие перпендикулярности плоскостей α и β : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n1 n2 = 0 или A1A2 + B1B2 +C1C2 = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Условие параллельности плоскостей α и β : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
= |
B1 |
= C1 |
≠ D1 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
D |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Расстояние от точки M1(x1;y1;z1) |
до плоскости Ax + By +Cz + D = 0 вы- |
||||||||||||||||||||||||
числяется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
d = |
| Ax1 |
+ By1 +Cz1 + |
D | |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 +C2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Задания для аудиторной работы |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
184. Построить плоскости, заданные уравнениями: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) 5x + 2y + 3z −15 = 0; |
|
|
б) 3x + 2y − 6 = 0 ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
в) 3x −9 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) 3x − z = 0. |
|
|
|
|
|
||||||
185. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через: |
|
||||||||||||||||||||||||
а) точку C(1; 2; 2) параллельно плоскости xOz; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
б) точку M0(3;0;1) и ось Ox; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y + z −7 = 0 |
|
|||||||||||||
в) точку M0(1;2;3) перпендикулярно |
к плоскостям |
и |
|||||||||||||||||||||||
3x + 2y −12z + 5 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) точку M0(1;1;1) параллельно векторам a1 = (1;2;0), a2 = (0;1;3); |
|
||||||||||||||||||||||||
д) начало координат и точки M1(1;0;2), M2(0;0;3); |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
е) точки M1(1;0;1), M2(0;2;3), M3(0;2;1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
186. Найти угол между плоскостями x − 2y + 2z −3 = 0 и 3x − 4y + 5 = 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||
187. Вычислить |
расстояние |
|
между |
параллельными плоскостями |
|||||||||||||||||||||
3x + 6y + 2z −15 = 0 и 3x + 6y + 2z +13 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
188. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1;0;2), |
|||||||||||||||||||||||||
перпендикулярно |
|
|
к |
|
|
двум |
плоскостям: |
2x − y + 3z −1= 0 |
и |
3x + 6y + 3z −5 = 0 .
189. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:
а) x − y + 3z +1= 0; 2x − y + 5z − 2 = 0 ;
б) 2x + y + 2z + 4 = 0; 4x + 2y + 4z + 8 = 0;
190. Найти координаты точки Q , симметричной точке P (−3;1;−9) относительно плоскости 4x −3y − z −7 = 0 .
46
Задания для индивидуальной работы
191. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через: а) точку M (7;−3;5) и параллельна плоскости xOz;
б) точку M (−3;1;− 2) и ось Oz ;
в) точки M1(4;0;− 2), M2 (5;1;7) и параллельна оси Ox ;
г) точку M (2;1;−1) и имеет нормальный вектор n = (1;− 2;3);
д) точку M (3;4;−5) и параллельно векторам a = (3;1;−1), b = (1;− 2;1);
е) точки M1 (3; −1; 4), M2 (5; 2; 6), M3 (2; 3; −3).
192. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через: а) точку А(–3; 1; –2) и ось Ох; б) точку А(–3; 1; –2) и ось Оу;
в) начало координат и точки M(2; 1; 2) и N (1; –2; 3);
г) точку M(2; –3; 5) параллельно плоскости 3x + y − 4z +1= 0.
д) точки M1 (1; 1; 1) и M2 (2;3;4), перпендикулярно плоскости
2x −7y + 5z + 9 = 0;
е) точку M (7;−5;1) и отсекает на осях координат равные положитель-
ные отрезки;
ж) точки А(3; –1; 2) и В(2; 1; ) параллельно вектору a = (5; − 2; −1). 193. Даны точки M1 (3; 0; 4) и M2 (5; 6; 9). Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M1 перпендикулярно к вектору M1M2 .
194.Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки M1(1;−1;−2) и M2(3;1;1) перпендикулярно плоскости x − 2y + 3z −5 = 0 .
195.Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок c = −5 и перпендикулярной к вектору n = (−2;1;3).
196.Составить уравнение плоскости, походящей через точку N (2; –1; 1) перпендикулярно к линии пересечения двух плоскостей: 3x − y − z +1= 0
и x + y + 2z +1= 0.
197. Найти косинусы углов между двумя плоскостями:
а) 2x + y − 2z + 6 = 0 ; 2x − 2y + z + 8 = 0 ;
б) 2x − 2y + z + 2 = 0 ; x + y + z −5 = 0;
в) x − 2y + 2z −3 = 0; 3x − 4y + 5 = 0 .
198. Выяснить, при каком значении k следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:
а) 3x −5y + kz −3 = 0; x + 3y + 2z + 5 = 0 ;
б) 7x − 2y − z = 0; kx + y −3z −1= 0;
в) x − 4y + z −1= 0; 2x + ky +10z −3 = 0 .
47
199. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:
а) 3x + 2y − z + 2 = 0 ; 6x + 4y − 2z +1= 0;
б) x −3z + 2 = 0; 2x − 6z −7 = 0 ;
в) 3x + y −5z −12 = 0; 2x + 6z −3 = 0;
г) 2x −3y + z + 8 = 0 ; 4x − 6y −3z −7 = 0 ; д) 5x + 2y −3z −5 = 0; 10x + 4y − 6z + 5 = 0 ; е) 3x + 7y + z + 4 = 0; 9x + 21y + 3z +12 = 0 .
200. Найти расстояние между параллельными плоскостями:
а) x − 2y − 2z + 7 = 0 ; 2x − 4y − 4z +17 = 0 ; б) 6x + 2y − 4z +15 = 0 ; 9x + 3y − 6z +10 = 0 ; в) 3x − 6y + 2z + 35 = 0; 3x − 6y + 2z −7 = 0 .
201.Вычислить объем куба, две грани которого лежат в плоскостях
4x −3y −12z −10 = 0 и 4x + 3y −12z + 3 = 0 .
202.Составить уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, гранями которых служат плоскости:
а) 3x − y + 7z − 4 = 0 ; 5x + 3y −5z + 2 = 0; б) 2x − y + 5z + 3 = 0 ; 2x −10y + 4z − 2 = 0 ; в) 5x − 2y + 5z −3 = 0; 2x + y −7z + 2 = 0 .
Ответы.185. а) y = 2; б) y = 0 ; в) 2x + 3y + z −11= 0 ; г) 2x + y − 2 = 0 .
189. а) пересек.;б) совп. 194. 4x − y − 2z −9 = 0 . 195. −2x + y + 3z +15 = 0 .
197. а) 0; б) 3 13 . 200. а) 21 ; б) 2 25126 .
13 Прямая в пространстве. Прямая и плоскость
Существуют различные способы задания прямой в пространстве, выпишем соответствующие им уравнения:
1.A1x + B1y +C1z + D1 = 0, – общие уравнения прямой в пространстве:
A2x + B2y +C2z + D2 = 0
прямая в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей.
2. |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= z − z0 |
– канонические уравнения прямой в про- |
|
m |
n |
|||||
|
|
p |
|
странстве с направляющим вектором s = (m,n,p) и точкой (x0,y0,z0 ) , лежащей на прямой.
48
|
x = x0 + mt, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
|
|
|
+ nt, |
– параметрические уравнения прямой в пространстве, |
|||||||||
y = y0 |
|||||||||||||||
|
z = z |
+ pt, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где s = (m,n,p) |
– направляющий вектор, t – параметр. |
||||||||||||||
4. |
|
x − x1 |
|
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
– уравнения прямой в пространстве, про- |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
2 |
− x |
|
y |
2 |
− y |
1 |
|
z |
− z |
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
ходящей через две заданные точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2 ). Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
L : |
x − x1 |
= |
y − y1 |
= z − z1 |
; L : |
x − x2 |
= |
y − y2 |
= z − z2 . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
1 |
m1 |
|
n1 |
p1 |
2 |
m2 |
|
n2 |
p2 |
|
|
|
|
Тогда величина угла между ними определяется как величина угла между |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
их направляющими векторами и может быть найдена по формуле: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m m + n n |
+ p p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
cosϕ = cos(s ,s |
2 |
) = |
|
1 |
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
s |
|
|
s |
|
|
|
|
m 2 + n 2 |
+ p 2 m |
2 + n 2 |
+ p |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Условие параллельности прямых L |
и L |
: |
m1 |
= |
n1 |
= |
|
p1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Условие перпендикулярности прямых L1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и L2 : m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Угол |
между |
прямой |
|
|
L : |
|
|
x − x0 |
|
= |
|
y − y0 |
= z − z0 |
|
|
|
|
|
и |
плоскостью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
α : Ax + By +Cz + D = 0 определяется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
| Am + Bn +Cp | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 + B2 +C2 |
m2 + n2 + p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Условие параллельности прямой L и плоскости α : Am + Bn +Cp = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Условие перпендикулярности прямой L и плоскости α : |
A |
|
= B |
= C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
p |
||
|
Расстояние от точки M |
|
|
до прямой |
|
L : |
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
= z − z0 |
|
находят |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
по формуле: d = |
| |
M0M1 ×s | |
, где s = (m,n,p) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| s | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Расстояние между скрещивающимися прямыми |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L : |
x − x1 |
= |
y − y1 |
|
= z − z1 |
и L : |
|
x − x2 |
|
= |
y − y2 |
= z − z2 |
|
можно найти по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
m1 |
|
|
n1 |
|
|
p1 |
|
|
|
2 |
|
|
m2 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
формуле: d = |
|
(M1M2, s1, s2 ) |
|
, где M = (x ,y ,z ),M |
|
|
(x |
; y |
|
|
; z ). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| s1 ×s2 | |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
Рассмотрим в пространстве плоскость α : Ax + By +Cz + D = 0 и пря-
x = x0 + mt;
мую L , заданную параметрическими уравнениями L : y = y0 + nt;
z = z0 + pt.
Чтобы определить взаимное расположение плоскости α и прямой L ,
рассмотрим уравнение: |
A(x0 + mt )+ B (y0 + nt )+C (z0 + pt )+ D = 0. |
|
Отсюда: |
|
|
t (Am + Bn +Cp)= −(Ax0 + By0 +Cz0 + D). |
(4) |
1. Если Am + Bn +Cp ≠ 0, то уравнение (4) имеет единственное решение, а, значит, прямая пересекает плоскость в одной точке. При этом,
t = |
−(Ax0 |
+ By0 +Cx0 |
+ D) |
и |
координаты |
точки |
пересечения |
Am + Bn +Cp |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
(x0 + mt; y0 + nt; z0 + pt ). |
|
|
|
|
|||
2. Если |
Am + Bn +Cp = 0 и |
Ax0 + By0 +Cz0 + D = 0, то |
уравнение (4) |
имеет бесконечно много решений, а следовательно, прямая лежит в плоскости.
3. Если Am + Bn +Cp = 0 и Ax0 + By0 +Cz0 + D ≠ 0 , то уравнение (4) не имеет решений, а значит, прямая параллельна плоскости.
Задания для аудиторной работы
203. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через: а) точку M0(2;0;3) параллельно вектору a = (3;− 2;− 2);
б) точку A(1;2;3) параллельно оси Ox;
в) точки M1(1;2;3) и M2(4;4;5) .
204. Привести к каноническому виду общее уравнение прямой
x − 2y + 3z − 4 = 0;3x + 2y −5z − 4 = 0.
205. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точ-
ку M1(2;3;−5) |
3x − y + 2z + 2 = 0; |
|
параллельно прямой |
+ 3y − 2z + 3 = 0. |
|
|
x |
206. Установить взаимное расположение двух прямых:
а)
б)
x − 2 |
= |
y |
= z +1 |
4 |
|
||
3 |
−2 |
2x −3z + 2 = 0;
2y − z − 6 = 0
x = 5 −8t;
иy = 4 − 6t;z = 3 + 4t;
x −12z + 49 = 0;
и4y −37z +148 = 0.
50