3. Пример 1. Показать, что линейная функция обратима. Найти обратную к ней функцию.

Функция принимает каждое свое значение только при одном значении аргумента, поскольку линейное уравнениеимеет только один корень (рис.6). Значит, эта функция имеет обратную функцию , которая определена на , так как - множеством значений функции (рис.7). Обратная функция произвольному числу ставит в соответствие число , которое определяется условием (рис.7). Выразив из этого равенства , получаем . Значит, для каждого имеем , то есть .

Обозначив аргумент обратной функции буквой х, а зависимую переменную буквой , то есть, поменяв переменные местами, получим . Итак, обратной функцией к линейной функции будет функция , которая также является линейной.

Замечание. При решении задач можно обозначать произвольное значение аргумента обратной функции буквой , а не , как это для ясности сделано в разобранных примерах.

4. Пусть обратимая функция, заданная формулой. На основании определения обратной функции можно сформулировать порядок действий для нахождения функции, обратной к функции .

• Из равенства выразить через , то есть решить уравнение относительно неизвестной .

• В полученной формуле обратной функции обозначить аргумент функции буквой х, а зависимую переменную - буквой , то есть, поменять переменные местами.

5. Теорема. Если функция является возрастающей (или убывающей), то она обратима.

Пусть для определенности функция является возрастающей. Возьмем два различных значения аргумента, меньшее обозначим через , большее - через , то есть . Из этого неравенства в силу определения возрастающей функции следует, что , а значит . Поэтому разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции и, следовательно, функция обратима. Для убывающей функции доказательство аналогично.

Отметим, что любая линейная функция обратима, если , поскольку является либо возрастающей, либо убывающей функцией, в зависимости от знака коэффициента . Обратима также возрастающая функция .

Если функция задана формулой и нам неизвестен ее график, то определить, будет ли функция обратимой можно только путем исследования количества корней уравнения . Если при некотором значении их два или более, то функция не является обратимой.

6. Если известен график обратимой функции, то график обратной функции можно построить путем преобразования графика функции . Следующая теорема определяет вид этого преобразования.

Теорема. График функции и график обратной к ней функции симметричны относительно прямой .

Пусть точка с координатами принадлежит графику функции , то есть . Тогда, по определению обратной функции . Это означает, что точка с координатами принадлежит графику обратной функции (рис. 11).

Докажем, что точки и симметричны относительно прямой . Для определенности рассмотрим случай, когда точка лежит в первом координатном угле и . Проведем через точки и прямые, перпендикулярные осям координат (рис.8). Прямоугольник является квадратом, так как имеет равные смежные стороны:. Вершины квадрата , точки и , имеют координаты и , соответственно, и, значит, принадлежат прямой (рис.9). Поскольку диагонали квадрата перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, то точки и симметричны относительно диагонали , а, следовательно, и относительно прямой .

Таким образом, мы доказали, что точка плоскости, симметричная точке графика функции относительно прямой , принадлежат графику обратной функции . Аналогично доказывается, что верно и обратное утверждение: точка, симметричная точке графика обратной функции относительно прямой , принадлежат графику функции . Значит, графики этих функций симметричны. Теорема доказана.