Обратная функция

1. Рассмотрим две функции, и , графики которых изображены, соответственно, на рисунках 1 и 2. Функция обладает следующим свойством: каждое свое значение функция принимает только при одном значении аргумента. То есть, если , то уравнение имеет единственное решение . В геометрической интерпретации это означает, что параллельная оси абсцисс прямая пересекает график функции  ровно в одной точке.

Определение 1. Если функция каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то эта функция называется обратимой. Иначе можно сказать, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции .

Функция таким свойством не обладает. Например, отмеченное на рисунке 2 значение функции принимается при разных значениях аргумента, и , то есть и . Другими словами, уравнение имеет при данном значении два корня. Прямая, параллельная оси абсцисс, может пересечь график этой функции  более чем в одной точке.

Свойство функции принимать каждое свое значение только при одном значении аргумента, то есть быть обратимой, позволяет определить новую функцию. А именно функцию, которая ставит в соответствие значению то единственное значение , при котором . То есть ставит числу в соответствие единственный корень уравнения . Назовем эту функцию обратной к функции и обозначим буквой . Таким образом, .

Отметим, что в отличие от функции , для функции задать таким же способом обратную функцию не удастся, поскольку уравнение может иметь несколько корней. Дадим определение обратной фукции.

Определение 2. Пусть задана обратимая функция . Функция , определенная на множестве , и ставящая в соответствие числу число ), такое, что , называется обратной к функции .

2. Найдем обратную функцию к функции . Область определения функции , отрезок , обозначим буквой , то есть . Множество значений функции составляет отрезок , обозначенный буквой , то есть

Функция числу из промежутка ставит в соответствие корень квадратный из этого числа, например, . Функция является обратимой, поскольку разным значениям ее аргумента соответствуют разные значения функции.

Обратная функция определена на промежутке и произвольному числу ставит в соответствие число , которое определяется условием , то есть равенством (рис.4). Выражаем из этого равенства , возведя обе части равенства в квадрат, . Таким образом, функция произвольному числу ставит в соответствие число , равное . Значит, для каждого имеем , то есть .

Независимой переменной, то есть аргументом обратной функции , является переменная , а зависимой - переменная . То есть, в сравнении с функцией , переменные поменялись ролями. Если теперь переменные обозначить традиционным образом, а именно, буквой х - аргумент функции , а зависимую переменную – буквой , то функция примет вид . Таким образом, мы нашли, что квадратичная функция , заданная на отрезке , является обратной к функции .. Множество значений обратной функции - отрезок .

График обратной функции мы можем изобразить в той же системе координат, что и график . Для этого отрезок , составляющий область определения функции нужно отложить на оси ординат, поскольку на этой оси располагаются значения аргумента функции. Точки графика функции имеют координаты , при этом (рис.5).

На рисунке 5 показано, что области определения и множества значений функций «меняются местами»: и .