После выполнения алгоритма переменная max будет содержать значение максимального элемента, а переменная к – его порядковый номер. Если их несколько ,то запомнится первый из них. Если же использовать условие a[i]≥max, то запомнится последний максимум.

14.3. Сортировка вставками (включениями)

Ранее была сформулирована общая постановка задачи сортировки и рассмотрены методы сортировки выбором. Теперь рассмотрим алгоритмы сортировки при помощи вставки.

Метод 1. Линейная (простая) вставка

Данный метод основан на последовательной вставке элементов в упорядоченный рабочий массив. Линейная вставка чаще всего используется тогда, динамически вносят изменения в массив, все элементы которого известны и который все время должен быть упорядоченным.

Алгоритм линейной вставки следующий. Первый элемент исходного массива помещается в первую позицию рабочего массива. Следующий элемент исходного массива сравнивается с первым. Если этот элемент больше, он помещается во вторую позицию рабочего массива. Если этот элемент меньше, то первый элемент сдвигается на вторую позицию, а новый элемент помещается на первую. Далее все выбираемые из исходного массива элементы последовательно сравниваются с элементами рабочего массива, начиная с первого, до тех пор, пока не встретится элемент больше добавляемого. Тогда этот элемент и все последующие за ним элементы рабочего массива смещаются на одну позицию, освобождая место для нового элемента.

Таким образом, каждый новый элемент a[i] будем вставлять на подходящее место в уже упорядоченную совокупность a[1], a[2],…a[i-1]. И это место определяется последовательными сравнениями элемента a[i] с упорядоченными элемен-

тами a[1], ..., a[i-1].

Такой метод сортировки и называли сортировкой простыми вставками. Он, как и выбор требует порядка (N2-N)/2 операций сравнения.

Метод 2. Центрированная и двоичная вставки

Центральный элемент этого массива часто называют медианой, которая разбивает массив на две ветви – нисходящую (левую) и восходящую (правую).

Алгоритм центрированной вставки можно сформулировать так.

В позицию, расположенную в середине рабочего массива, помешается первый элемент (он и будет медианой). Нисходящая и восходящая ветви имеют указатели, которые показывают на ближайшие к началу и концу занятые позиции. После загрузки первого элемента в центральную позицию оба указателя совпадают и показывают на него. Следующий элемент исходного массива сравнивается с медианой. Если новый элемент меньше, то он размещается на нисходящей ветви, в противном случае – на восходящей ветви. Кроме того, соответствующий конце-

195

вой указатель продвигается на единицу вниз (нисходящая ветвь) или на единицу вверх (восходящая ветвь).

Каждый последующий элемент исходного массива сравнивается вначале с медианой, а затем с элементами на соответствующей ветви до тех пор, пока не займет нужную позицию.

Метод 3. Двоичная (бинарная) вставка

Здесь для поиска места для вставки элемента a[i] используется алгоритм двоичного (бинарного) поиска. Он сравнивается, вначале с элементом [i/2]. Затем, если он меньше сравнивается с элементом [i/4], а если больше: – с [i/2] + [i/4| и т.д. до тех пор, пока для него не найдется место. Все элементы рабочего массива, начиная с позиции вставки и ниже, сдвигаются на одну позицию, освобождая место для i-го элемента.

Количество операций сравнения будет порядка N*log2 (N).

Вариант алгоритма двоичной вставки Начало цикла (выполнять для i от 2 до N) R=i;

L=1

Начало цикла: выполнять пока L<R;

k=(L+R)/2; если a[k] > a[i]

тогда

L=k+1;

иначе

R=k;

все

конец цикла k=R;

x=a[i];

Начало цикла (выполнять для m от i до k+1 шаг –1) a[m]= a[m-1];

конец цикла a[k]=x;

все

конец цикла

Цикл «пока L<R» – цикл поиска места вставки. Он основан на методе двоичного поиска.

Цикл «для m от i до k+1 шаг -1» сдвигает элементы для освобождения места вставки.

Пример. Пусть есть последовательность чисел {0, 1, 9, 2, 4, 3, 6, 5}. Сортировать будем по убыванию

196

Изначально рабочий массив пуст. Размещаем в нем 1. Для простоты будем записывать всю совокупность, а элемент, который вставляем, будет подчеркнут.

Существующий массив отделен вертикальной линией.

Для вставки элемента в нужное место все элементы, стоящие за ним, сдвигаем до позиции, которую занимал вставляемый на данном шаге элемент.

14.4. Двоичный поиск

Приведем пример из жизни [1]. Возникла следующая ситуация. В отделение милиции аэропорта поступило сообщение о том, что некто пытается пронести в самолет бомбу. Известно, что он пока находится в здании аэропорта. Поставлена задача: как можно быстрее определить, у кого из пассажиров находится бомба. Самое простое, но и самое продолжительное по времени решение – это последовательная проверка всех пассажиров, которые находятся в здании.

В такой ситуации лучше поступить так. Размещаем всех пассажиров в две комнаты. Например, служебная собака, реагирующая на взрывчатку сможет указать, в какой из комнат находится бомба. В результате такого действия количество «подозреваемых» уменьшится вдвое. С «подозреваемыми» поступим аналогичным образом: разведем их по двум комнатам и опять количество «подозреваемых» сократится вдвое. Продолжаем поступать так, пока не найдем бомбу. Графически это можно отобразить так:

Пассажир Х

197

Элемент в массиве отсутствует. Алгоритм имеет следующий вид: flag = «ложь»;

L=1;

R=N

Начало цикла: выполнять пока (L ≤ R) и (flag = =«ложь»); m=(R+L)/2;

если a[m] = = X]

тогда

flag = «истина»;

иначе

если a[m]> X

тогда

L=m+1;

иначе

R=m+1;

все

все

конец цикла

Если (flag= = true) то

Можно несколько упростить алгоритм, если, как и в случае линейного поиска, добавить элемент X в исходный массив.

L=1;

R=N+1

A[N+1]=X

Начало цикла: выполнять пока (L≤R); m=(R+L)/2;

если a[m] = = X]

тогда

flag = «истина»;

иначе

если a[m]> X

тогда

L=m+1;

иначе

R=m+1;

199