§4. Уравнения Максвелла для системы зарядов в вакууме.

Связь между напряженностью и индукцией поля с одной стороны и плотностью зарядов и токов с другой в вакууме выражается в системой уравнений 1-го порядка в частных производных называемых уравнениями Максвелла.

Впервые полная система уравнений была написана Максвеллом в виде уравнений для электромагнитного поля в веществе. Уравнения для электромагнитного поля в вакууме – частный случай при .

Система уравнений Максвелла играет роль исходных положений теории электромагнитного поля. Исторически она появилась как абстрактное обобщение эмпирических законов электромагнетизма: закона Кулона, закона полного тока, закона электромагнитной индукции Фарадея.

Запишем уравнения Максвелла в вакууме

Уравнения (1) – (2) непосредственно применимы для изучения систем, состоящих из полей и зарядов в пустоте. Они неприменимы, если заряды расположены на телах, токи движутся по проводникам и тд. Однако во многих случаях тела определяющие положение зарядов и их движение, сами не влияют на поле Например магнитное поле линейного проводника с током можно рассчитывать как поле соответствующего тока в вакууме

Уравнения разделены на пары, чтобы подчеркнуть, что 2-е уравнение каждой пары следует из 1-го

Действительно если взять дивергенцию от обеих частей уравнения (1а) получим  те во времени Поскольку речь идет о произвольном переменном электромагнитном поле, то

Аналогично вычислив дивергенцию от (2а) получим

 (3)

или учитывая уравнение непрерывности   те 

При другом подходе к уравнениям (1) – (2) можно не считать уравнение непрерывности независимым постулатом теории электричества. Его можно получить из уравнений Максвелла. Действительно подставив (2б) в (3), получим: - а это и есть уравнение непрерывности.

Тем не менее к системе уравнений (1) – (2) обычно добавляют пятое соотношение - уравнение непрерывности. При этом только первое уравнение каждой из пар можно считать независимым. Заметим что в физике не всегда стремятся использовать минимальную систему исходных положений. Если связи между уравнениями выяснены, можно применять несколько избыточную, но физически содержательную систему уравнений. Например, уравнение истолковывают следующим образом: не существует в природе магнитных зарядов, создающих магнитное поле, подобно тому, как электрические заряды создают электрическое поле.

§5. Интегральная формула уравнений Максвелла.

На опыте измеряются величины содержащиеся в интегральных характеристиках электромагнитного поля. Поэтому при решении некоторых задач удобнее перейти к интегральной формуле уравнений Максвелла

Рассмотрим уравнение (2б) предыдущего параграфа Проинтегрируем его по объему



Учитывая что - суммарный заряд сосредоточенный в объеме  и применяя теорему Гаусса к левой части приходим к интегральной форме уравнения (2б)

 (1) Здесь S - замкнутая поверхность, ограничивающая объём V. Поток вектора через некоторую поверхностьS не обязательно замкнутую обозначают обычно 

Соотношение (1) в теории электричества называется теоремой Гаусса.

Аналогичные выкладки применительно к уравнению (2б) предыдущего параграфа дают

 (2)

Поток вектора через некоторую поверхность принято обозначать буквой 



Пусть L - некоторый замкнутый контур, стягиваемый поверхностью S. Вычислим интеграл по поверхности S от левой и правой части (1а) предыдущего параграфа:



Применяя теорему Стокса к левой части этого соотношения получим:

 (3)

или

 (3а)

где через обозначена работа электрических сил, производимая полем над единичным точечным зарядом при перемещении его по конечному замкнутому контуруL. Величину называют циркуляцией вектора

Уравнение (2а) предыдущего параграфа приводит к соотношению:

,

где - полный ток через поверхность

Т.о. система уравнений Максвелла для поля в вакууме в интегральной форме имеет вид:

(5)

(6)