§6. Инвариантность фазы плоской монохроматической волны. Четырех мерный вектор.

Так как является инвариантами поля, то утверждение “ электромагнитное поле отсутствует в некоторой точке пространства в определенный момент времени ” имеет абсолютный характер.

Из этого следует, что фаза , плоской монохроматической волны, где- трех мерный волновой вектор.

Является инвариантом.

Если фаза волны , и следовательно, то это значение должно сохранятся в любой ИСО.

Введем формально 4-вектор:

который называют четырех мерным волновым вектором.

Тогда

так как слева – инвариант, - 4-вектор, то- действительно 4-вектор и преобразование при переходе от одной ИСО к другой обычным образом:

§7. Эффект Доплера и аберрация света.

Эффект Доплера – это явление изменения частоты волны , излучаемой движущимся источником (т.е. частоты волны для неподвижного наблюдателя) по сравнению с частотой , излучаемым неподвижным источником (частоты в сопутствующей системе отсчета).

Явление аберрации состоит в изменении направления света, вызванное относительно движения источника и приемника света.

Пусть источник света покоится относительно системы , которая движется относительно системыs с наблюдателем со скоростью . Пусть в системеволна характеризуется частотойи волновым вектором, а в системеs - ω и

Тогда

(1)

, или (2)

где - угол между направлением распространенной волны в системеs и вектором . Формула (2) описывает эффект Доплера. Для практики важная формула:

Если , то говорят о продольном эффекте Доплера

При (источник приближается).

При (источник удаляется).

Если то говорят о поперечном эффекте Доплера:.

Далее

(3)

где - угол между направленным распределением волны в системеи вектором. Формула (3)описывает явление аберрации света.

§8. Лагранжиан и Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле.

На заряженную частицу в электромагнитном поле действует сила Лоренца. Поэтому релятивистское уравнения движения для пространственных компонент имеет вид:

(1)

а уравнение для четвертой компоненты дает:

Выразим силу Лоренца через электромагнитный потенциал :

(2)

Так как

,

а при частном дифференцировании по координате надо полагать за постоянную, то

и таким образом

так как

Поэтому (1) примет вид :

(3)

Эти уравнения можно рассматривать, как уравнения Лагранжа если

(4)

Тогда обобщенный импульс и обобщенная силапо определению равны:

(5)

(6)

Подставляя (5) и (6) в уравнения Лагранжа:

(7)

получим (3) . Таким образом, (4) – действительно функция Лагранжа.

Внерялитивистском приближении

, т.е.

(8)

Видно, что даже при функция Логранжа не равняется разности кинетической и поступательной энергии, так как в (8) есть слагаемое зависящее оти.

Найдем функцию Гамильтона:

Функция (9) будет функцией Гамильтона, если выразить через обобщенный импульс.

Из (9) следует, что :

(10)

а из (5) находим:

т.е.

(11)

Сравнивая (10) и (11), получим

(12)

Так как , а, с другой стороны в отсутствие магнитного поля (электростатика)и(12а), то функция Гамильтона в обоих случаях, по сути дело, совпадают. Это не удивительно: магнитное поле не изменяет энергию частиц.