2. Четырехмерные векторы и тензоры. Четырехмерные скорость и ускорение.
Будем
называть четырехмерным радиус-вектором
;
вектор с компонентами
.
При поворотах в четырехмерном пространстве компоненты этого вектора
или
(1)
преобразуются по закону
(2)
причем
остается постоянным
Последнее означает, что матрица
преобразования Лоренца ортогональная,
т.е.
или
(3)
Действительно,
(4)
В
частном случае движения систем отсчета,
когда одноименные координаты ИСО
параллельны
относительная скорость направлена
вдоль z,
и начала координат при
совпадали, матрица преобразований
Лоренца имеет вид
(5)
В
общем случае произвольного направления
скорости относительного движения
преобразование
типа (2) можно записать в блочно-матричном
виде
(6)
По
аналогии с 4-радиус-вектором любой набор
заданных в каждый из ИСО упорядоченных
чисел
называют 4-вектором и обозначают
,
если при переходе от одной ИСО к другой
они преобразуются по формулам
;
или
Трехмерный
вектор
называют пространственнй частью
4-вектора
а величину
по аналогии с четвертой компонентой
четырехмерного радиус-вектора -
временной составляющей 4-вектора.
Для четырехмерных векторов, как и для трехмерных, можно ввести понятие скалярного произведения
Векторы
и
называются ортогональными, если
.
Важной характеристикой 4-вектора является его квадрат
Это инвариант так как
или в координатной форме записи
Квадрат
4-вектора не является существенно
положительным. Если
,
то вектор называется пространственноподобным;
а если
то вектор называется времениподобным.
Введем два важных 4-вектора: скорости и ускорения.
Необходимо
построить 4-вектор скорости так, чтобы
он был производной от 4-х мерного
радиус-вектора по некоторому инварианту
(скаляру). Этот скаляр должен быть таким,
чтобы при
пространственные компоненты скорости
превращались в компоненты обычной
скорости.
Поэтому естественно определить 4-вектор скорости соотношением
;
(7)
Подчеркнем
что
в (7) – интервал собственного времени
то есть времени в мгновенно сопутствующей
частице системе и
значит
вообще говоря
переменные величины - функции времени
Для компонент 4-скрости имеем
(8)
Квадрат 4-вектора скорости
(9)
т.е - он является временеподобным вектором.
Определим 4-вектор ускорения как
Для компонент вектора ускорения получим:
Легко
убедиться
что
а это означает, что 4-вектор ускорения
является пространственно подобным
Дифференцируя
(9) по
,
находим, что
,
т.е. векторы скорости и ускорения всегда
ортогональны.
Наряду
с определением 4-вектора можно ввести
понятие 4-тензора второго ранга как
упорядоченной совокупности заданных
в любых ИСО 16 величин
которые преобразуются следующим образом
или
Элементы механики теории относительности.
§1. Уравнения динамики материальной точки.
Под материальной точкой будем понимать тело, размерами которого можно пренебречь.
Если в некоторой ИСО ускорение материальной точки равно нулю то оно равно нулю и в любой другой ИСО Это значит что закон инерции Ньютона инвариантен относительно преобразований Лоренца. С другой стороны, уравнения динамики не инвариантны относительно этих преобразований и требуют обобщения.
Инерционные свойства тела или частицы можно охарактеризовать некоторым скаляром - инвариантной массой или массой покоя m Масса покоя является константой, характерной для каждого вида элементарных частиц.
Определим
4-импульс частицы
соотношением
(1)
или в компонентах
;
(2)
где
напомним
а
Очевидно, уравнения (2) для пространственных компонент можно объединить в одно векторное равенство
которое
в предельном случае
переходит в обычную формулу классической
механики для вектора импульса
Естественным релятивистским обобщением уравнений динамики Ньютона являются уравнения
(3)
где
– некоторый 4-х мерный вектор, называемый
4-х мерной силой или силой Минковского.
Очевидно эти уравнения релятивистски инвариантны. Их называют уравнениями релятивистской динамики. Запишем их отдельно для пространственных и временной компонент:
(i=1,2,3)
или
(4)
При
эти
уравнения должны превращаться в обычные
уравнения Ньютона.
В
левой части (4) стоит производная от
импульса по обычному времени
Потребуем, чтобы справа стояли компоненты
обычной силы
.
Тогда формулу (4) можно переписать в виде
(5)
причем
,
i=1,2,3
(6)
Как
и требуется, при
(5) переходит в обычное уравнение Ньютона.
Для временной компоненты получим
(7)
Чтобы
выяснить физический смысл
,
найдем
Следовательно
и
(8)
Подставляя (8) в (7), получим
(6)
В
правой части
дает работу силы над частицей
производенную в единицу времени, поэтому
в левой части стоит изменение энергии
в единицу времени. Естественно определить
энергию частицы соотношением
(7)
Ее обычно называют полной энергией, хотя она не включает потенциальную энергию частицы во внешнем поле.
Найдем
выражение для трехмерного ускорения
частицы
Имеем
откуда
