Часть III. Теоретические материалы
Глава 7. Численное решение интегральных уравнений 7.2. Решение интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода
Меню 7.2.2. Метод замены ядра на вырожденное Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
7.2.2. Метод замены ядра на вырожденное
Разложение ядра в ряд Тейлора Использование ортогональных разложений Интерполяционные способы замены ядра Способ Бэтмена
Определение. Ядро ( , ) называется вырожденным, если оно может быть представлено в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
(7.22) |
|
|
|
|
( , ) = |
( ) |
( ) . |
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
Системы ( ) и ( ) |
|
|
в (7.22) естественно считать линейно независимыми, так как в |
||||
= 0, |
|||||||
противном случае число |
слагаемых в (7.22) можно было бы уменьшить. |
|
|||||
|
( |
) |
|
|
|
||
Примеры вырожденных ядер:
1)( , ) = + = · = 0 ( ) · 0 ( );
2)( , ) = sin ( + ) = sin · cos + cos · sin = 0 ( ) · 0 ( ) + 1 ( ) · 0 ( ).
Для вырожденных ядер уравнение Фредгольма второго рода решается в аналитическом виде за конечное число действий.
Действительно, перепишем (7.8) в виде
∫ ∫ [ ] ∑
( ) = ( , ) ( ) + ( ) = =0 ( ) ( ) ( ) + ( ) =
∑ ∫ ∑
= =0 ( ) ( ) ( ) + ( ) = ( ) + =0 ( ) ,
Часть III. Теоретические материалы
Глава 7. Численное решение интегральных уравнений 7.2. Решение интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода
Меню 7.2.2. Метод замены ядра на вырожденное Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
т.е. фактически мы нашли вид точного решения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ( ) + |
∑ |
( ) , |
|
|
|
|
|
(7.23) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.24) |
||||
|
|
( ) ( ) , |
= 0, |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Чтобы найти , подставим (7.23) в (7.24): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
( ) ( ) + |
|
( ) , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.25) |
|
|
− |
= , = 0, , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
(7.26) |
||||||||
( ) ( ) ; |
= |
( ) ( ) , |
= 0, ; = 0, . |
|||||||||||||||
Таким образом, для определения коэффициентов формулы (7.23) получаем систему линейных ал-
гебраических уравнений. Если определитель ее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 − 00 |
− 01 . . . |
− 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
|
− |
10 |
1 |
− |
11 . . . |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
− |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
0 |
− |
1 . . . |
1 |
− |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть III. Теоретические материалы
Глава 7. Численное решение интегральных уравнений 7.2. Решение интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода
Меню 7.2.2. Метод замены ядра на вырожденное Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
отличен от нуля, то мы найдем единственным образом набор констант и, следовательно, построим точное решение ( ). Случай ( ) = 0 соответствует собственным значениям.
Изложенное выше позволяет указать метод приближенного решения интегрального уравнения (7.8), основной идеей которого является замена ядра исходного интегрального уравнения ( , ) близким к нему
˜
вырожденным ядром ( , ) и последующее решение этого уравнения с вырожденным ядром изложенным выше способом.
Укажем несколько способов такой замены.
Разложение ядра в ряд Тейлора
1.Если ядро ( , ) обладает достаточной гладкостью по переменной на отрезке [ , ], то в качестве вырожденного ядра можно взять соответствующей длины отрезок ряда Тейлора по :
|
˜ ( , ) = |
|
|
( − 0) |
|
∂ ( 0, ) |
, |
(7.27) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∑ |
|
! |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 0 |
– некоторая точка из отрезка [ , ] (ее выбор может быть подчинен, например, требованию |
|||||||||||
минимизации остатка ряда). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, в данном случае ядро имеет вид (7.22), в котором |
|
|
|
|||||||||
|
( ) = ( − 0) |
|
, ( ) = |
1 ∂ ( 0, ) |
. |
|||||||
|
|
! |
|
|
∂ |
|||||||
2.Если ядро ( , ) достаточно гладкое по переменной на [ , ], то аналогично можем применить разложение в ряд Тейлора по переменной :
˜ ( , ) = |
|
( − 0) |
|
∂ ( , 0) |
. |
(7.28) |
||||
∑ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
! |
|
∂ |
|
||
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При таком способе замены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∂ ( , 0) |
|
|
|
|
|||||
( ) = |
|
|
|
|
|
, |
( ) = ( − 0) |
. |
||
! |
∂ |
|
||||||||
Часть III. Теоретические материалы
Глава 7. Численное решение интегральных уравнений 7.2. Решение интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода
Меню |
7.2.2. Метод замены ядра на вырожденное |
|
|
|
|
Вверх Назад |
Вперёд |
Пред. След. Указатель |
Помощь Экран |
||
3. |
Для построения вырожденного ядра можно также использовать конечный отрезок двойного ряда Тей- |
||||||||||
|
лора: |
1! [( − 0) |
∂∂ + ( − 0) |
∂∂ ] |
|
|
0 [ , ]) . |
|
|||
|
˜ ( , ) = |
( 0, 0) , |
( 0, |
(7.29) |
|||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0
Впоследнем случае, очевидно, нам всегда гарантировано точное вычисление интегралов во второй из формул (7.26).
Использование ортогональных разложений
Рассмотрим этот прием на примере применения ряда Фурье. Известно, что непрерывная на отрезке [− , ] функция допускает разложение в ряд Фурье (например, по косинусам, если она четна). Поэтому можно положить (в предположении, что ядро ( , ) непрерывно по и четно по этой же переменной)
˜ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∑ |
|
|
(7.30) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( , ) = |
|
2 0 ( ) + |
( ) cos |
, |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( ) = |
|
( , ) cos |
, |
= 0, |
. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
При этом следует иметь в виду, что исходный отрезок [ , ] линейной заменой может быть превращен в нужный. Аналогичные формулы можно записать, если использовать отрезки рядов Фурье по переменной , либо по обеим переменным.
Интерполяционные способы замены ядра
Рассмотрим для примера применение алгебраического интерполирования по значениям функции. Выбрав
на отрезке [ , ] ( + 1) точек 6 0 < 1 < . . . < |
6 (узлов интерполирования), можем записать: |
|||||
|
|
+1 ( ) |
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
||
∑ |
|
|
|
|
|
(7.31) |
( |
− |
) ′ |
( ) ( , ) . |
|||
( , ) = |
|
|||||
=0 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|