Часть III. Теоретические материалы
Глава 6. Приближенное вычисление интегралов 6.1. Вычисление определенного интеграла
Меню 6.1.9. Нестандартные приемы интегрирования Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
6.1.9. Нестандартные приемы интегрирования
Метод Филона Повышение гладкости интегрируемой функции
Случай бесконечных пределов интегрирования
Как мы уже отмечали ранее, использование априорной информации о свойствах и характере поведения функции может существенно улучшить качество приближения. Так, периодические (или близкие к ним) функции более естественно приближать тригонометрическими многочленами, функции, имеющие экспоненциальное поведение, – многочленами от экспонент, и т.д.
Такой подход может оказать существенную помощь и при построении квадратурных формул.
Метод Филона
В радиотехнических задачах часто встречаются функции ( ), описывающие высокочастотные колебанияс модулированной амплитудой. Это – быстропеременные функции и их производные ( ) ( ) велики. Поэтому при интегрировании их по «штатным» квадратурным формулам приходится брать настолько мелкий шаг, чтобы выполнялось условие 1, т.е. чтобы одна осцилляция содержала бы достаточное число узлов интегрирования. А это приводит к большому объему вычислений.
Для уменьшения объема вычислений используем априорные сведения о подынтегральной функции. Представим ее в виде ( ) = ( ) , где частота известна, а амплитуда ( ) мало меняется за период основного колебания. Выбирая для ( )несложные полиномиальные аппроксимации, можем получить квадратурные формулы, называемые формулами Филона (по сути, речь идет о том, что мы рассматриваемкак весовую функцию).
Построим, например, аналог квадратурной формулы средних прямоугольников. Для этого при вычислении интеграла по отдельному интервалу сетки заменим амплитуду ее значением в середине интервала:
( ) ≈ 1 , [ −1, ] .
− 2
Часть III. Теоретические материалы
Глава 6. Приближенное вычисление интегралов 6.1. Вычисление определенного интеграла
Меню 6.1.9. Нестандартные приемы интегрирования Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
При этом для остатка может быть записано приближенное представление (получаемое путем разложения в
ряд Тейлора) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
− |
|
|
≈ |
( |
|
− |
|
− |
2 ) |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ( ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
′ |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Тогда для вычисления интеграла получим формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ =1 |
∫ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ ∑ =1 |
|
|
− |
2 |
|
∫ −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.93) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
= |
∑ =1 |
|
1 |
|
− |
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
∑ =1 |
|
|
1 sin |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∑ =1 |
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
( |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а для ее остатка – выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
( ) |
≈ |
|
|
=1 |
′ |
|
|
1 |
|
1 |
− |
|
1 = |
|
=1 |
′ |
|
|
1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
1 = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
− |
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
− |
|
|
∫ |
|
|
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
1 |
∫ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ =1 |
|
[− |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
· ( |
|
|
|
|
|
|
|
)] |
|
|
|
|
∑ =1 |
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
− 2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
2 |
|
− 2 |
|
|
2 |
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
′ 1 |
|
2 |
|
|
− 2 sin |
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
+ −1 |
= |
2 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
sin |
|
|
|
|
cos |
|
|
− 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(6.94) Несложно видеть, что при → 0 (6.93) и (6.94) переходят в обобщенную формулу средних прямо-
угольников (6.23) и ее остаток соответственно.
Для построения формул Филона высокого порядка приходится использовать более сложные многочленные аппроксимации.
Повышение гладкости интегрируемой функции
Как правило, все особенности подынтегрального выражения стараются включить в весовую функцию. В литературе этот способ носит название мультипликативного способа выделения особенностей.
Часть III. Теоретические материалы
Глава 6. Приближенное вычисление интегралов 6.1. Вычисление определенного интеграла
Меню 6.1.9. Нестандартные приемы интегрирования Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Вторым способом ослабления особенностей является аддитивный. Его суть состоит в следующем. Функцию ( ) представляют в виде 1 ( ) + 2 ( ), где 1 ( ) содержит все или почти все особенности ( )
и при этом интеграл 1 = |
( ) 1 ( ) |
вычисляется точно, а 2 ( ) имеет ослабленные особенности и |
|
для нее с большим успехом∫ |
применимы квадратурные формулы. |
||
Рассмотрим пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∫ |
|
|
= |
ln sin . |
|
|
|
0 |
Подынтегральная функция имеет логарифмическую особенность на левом конце отрезка интегрирования. Поэтому представляет ее в виде
|
sin |
|
ln sin = ln + ln |
|
. |
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
22
= 1 + 2 = ∫ |
ln + ∫ |
ln |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
При этом |
|
|
(ln |
|
− 1), |
|
|||
1 = |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|||||||
а в 2 подынтегральная функция не имеет особенностей и 2 может быть вычислен, например, по квадратурной формуле Симпсона.
|
|
|
|
|
≡ |
1 и алгебраических особенностей. Пусть |
|
|
Рассмотрим далее несколько подробнее случай ( ) |
|
|||||
( ) |
= ( − 0) |
|
( ), где > −1 , |
0 [ , ], а ( ) – |
достаточно гладкая. При < 0 |
( ) имеет |
|
алгебраическую особенность, а при > 0 и нецелых производные от ( ) начиная с некоторого порядка будут иметь особенности.
Разложим ( ) в ряд Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( ) |
≈ |
( |
0 |
) + |
− 0 |
′ ( |
0 |
) + |
· · · |
+ |
( − 0) −1 |
( −1) |
( |
0 |
) |
||
|
|
|
1 ! |
|
|
|
( |
− |
1) ! |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть III. Теоретические материалы
Глава 6. Приближенное вычисление интегралов 6.1. Вычисление определенного интеграла
Меню 6.1.9. Нестандартные приемы интегрирования Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
и представим ( ) в виде ( ) = 1 ( ) + 2 ( ), где
1 ( ) = ( − 0) [ ( 0) + − 0 ′ ( 0) + · · · + ( − 0) −1 ( −1) ( 0)] ,
1 ! ( −1) !
2 ( ) = ( ) − 1 ( ) .
Интеграл от 1 ( ) вычисляется точно, а вычисление интеграла от 2 ( ) с помощью квадратурных формул должно дать более хороший результат, так как 2 ( ) имеет более высокий порядок гладкости (конкретно:
порядок выше на единиц, поскольку справедливо соотношение 2 ( ) = ( − 0) [ |
!( ) |
( − 0) ]). |
|
|
|
( ) |
|
Случай бесконечных пределов интегрирования
Основными подходами, предназначенными для решения указанной задачи, являются следующие:
1)Введение замены переменных, превращающей пределы интегрирования в конечные. Например, для интеграла ∫ ∞ ( ) , > 0 замена = 1− превращает полупрямую [ , +∞) в отрезок [0 , 1]. Если после замены подынтегральная функция вместе с некоторым числом производных остается ограни-
ченной, то интеграл можно найти стандартными (описанными выше) способами.
2)«Обрезание» бесконечного предела. Пользуясь свойством аддитивности интеграла, представляем его
в виде
+∞ |
|
+∞ |
|
|
||
∫ |
( ) = ∫ |
( ) + ∫ |
( ) ≈ ∫ |
( ) . |
||
Очевидно, качество последнего приближенного равенства существенным образом зависит от выбора величины . Поэтому данный подход требует корректной аналитической оценки и учета величины отброшенного слагаемого (при дальнейшем стандартном вычислении оставленного). Фактически данный прием хорошо комбинировать с применением асимптотических оценок для отбрасываемого члена.
3)Применение квадратурных формул наивысшей алгебраической степени точности со специальными весовыми функциями (см. формулы Чебышева-Лягерра и Чебышева-Эрмита).
Часть III. Теоретические материалы
Глава 6. Приближенное вычисление интегралов 6.1. Вычисление определенного интеграла
Меню 6.1.9. Нестандартные приемы интегрирования Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
4) Построение специальных нелинейных квадратурных формул, применимых на бесконечном интервале.