Часть III. Теоретические материалы Глава 5. Приближение функций 5.4. Приближение сплайнами

Меню 5.4.5. Приближение кривых и поверхностей Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

5.4.5. Приближение кривых и поверхностей

Интерполяция кривых сплайнами

С помощью рассмотренных ранее сплайнов одной переменной можно приближать лишь такие плоские кривые, которые в выбранной системе координат (не обязательно прямоугольной декартовой) описываются функциональной зависимостью вида = ( ). Однако не все кривые могут быть представлены подобным образом. Более универсальным способом является параметрическое задание их координат в виде двух функций = ( ) и = ( ) некоторого параметра .

При интерполяции кривой, заданной параметрически, естественно ввести разбиение на промежутке изменения параметра : 0 < 1 < · · · < , затем вычислить соответствующие значения координат точек на кривой ( = ( ), = ( )), и построить для функций ( ) и ( ) интерполяционные сплайны ( ; ) , ( ; ). Совокупность этих двух сплайнов называется интерполяционным параметрическим сплайном. В зависимости от вида функций ( ; ) , ( ; ) будем говорить о параметрических линейных, кубических и т.п. сплайнах. В качестве меры погрешности приближения проще всего взять величину

√

( ) = ( ( ; ) − ( ))2 + ( ( ; ) − ( ))2.

Главной особенностью практических задач о приближении кривых является то, что заданы бывают только упорядоченные массивы точек на них, а информация о способе параметризации, которая необходима для построения сплайнов, отсутствует.

Аналогичные проблемы, только технически еще более сложные, возникают и при приближении поверхностей.

Интерполяция кривых сплайнами

( 0, 0)( , )( +1, +1)( , )( 0, 0)( , )( +1, +1)( , )Пусть на некоторой кривой задана последовательность точек ( , ) , = 0, . Как уже отмечалось ранее, основной проблемой является отсутствие параметризации. В то же время в анализе известен способ введения параметра, называемый естественной параметризацией (в качестве параметра принимается длина дуги кривой). Поэтому в данном случае мы рас-

Часть III. Теоретические материалы Глава 5. Приближение функций 5.4. Приближение сплайнами

Меню 5.4.5. Приближение кривых и поверхностей Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

смотрим аналог естественной параметризации: введем ее по суммарной длине хорд , соединяющих точки

−1 и ( = | −1 |).

Если обозначить новый параметр через ˜, то сетка узлов интерполирования будет такой:

˜ : 0 = ˜0 < ˜1 < · · · < ˜ ,

где

которое используется для приближенного вычисления наклона касательной к кривой между точками −1 и . Если = +1, то это означает, что данное звено сплайна параллельна оси .

Геометрически параметрический сплайн первой степени представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых, соединяющих точки .

Часть III. Теоретические материалы Глава 5. Приближение функций 5.4. Приближение сплайнами

Меню 5.4.5. Приближение кривых и поверхностей Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

Интерполяционный параметрический сплайн третьей степени. Вновь в качестве параметра берем суммарную длину хорд ˜. В этом случае, в соответствии с формулами, полученными ранее, можем записать:

При определенных требованиях к функциям ( ) и ( ) ( – естественный параметр – длина дуги), а также к кривой можно получить оценки скорости сходимости, аналогичные полученным ранее. Можно заметить также, что параметрический сплайн не изменяется при переходе к новому параметру = ˜, где> 0 – произвольный числовой параметр. Поэтому в некоторых случаях удобно полагать = ˜−1. Такую параметризацию называют нормированной по суммарной длине хорд.