Остаточный член интерполяционной формулы Эрмита

Частные случаи интерполирования Эрмита

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4сем / Вычислительные методы алгебры (4 семестр)ЭУМК Численные методы.pdf

Скачиваний:

712

Добавлен:

01.03.2016

Размер:

7.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 6869 / 20569 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 > Следующая >>>

Часть III. Теоретические материалы Глава 5. Приближение функций 5.3. Интерполирование

Меню 5.3.8. Интерполирование с кратными узлами Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

							0
	0, ..., 0; ...;					, ...,				0, ..., 0; ...;					, ...,
									−
			0−1									0
			0−1									0				−1
=																		.
=																		.
Тогда, записав по узлам								− 0									обычный интерполяционный
Тогда, записав по узлам		,	...,		;		, ...,			;	...;		, ...,				обычный интерполяционный
	00			0 0−1		10			1 1−1			0		−1

многочлен в форме Ньютона (все узлы различны!) и переходя в нем к пределу при → 0, можем получить другое представление многочлена Эрмита:

( ) = ( 0) + ( − 0) ( 0, 0) + · · · + ( − 0) 0−1 ( 0, ..., 0) + ( − 0) 0 ( 0, ..., 0; 1) +

+( − 0) 0 ( − 1) ( 0, ..., 0; 1, 1) + · · · + ( − 0) 0 ( − 1) 1−1 ( 0, ..., 0; 1, ..., 1) + · · · + (*)

+( − 0) 0 ( − 1) 1 · · · ( − ) −1 ( 0, ..., 0; 1, ..., 1; ...; , ..., ) .

Пусть как и в случае интерполирования по значениям функции ( ) +1 [ , ]. По аналогии с выводом остатка интерполирования в форме Лагранжа рассмотрим вспомогательную функцию

( ) = ( ) − ( ) − Ω ( ) ,

где – некоторая постоянная. Функция ( ) имеет нуль 0 кратности 0, нуль 1 кратности 1 и т.д. нулькратности . Подберем постоянную так, чтобы ( ) обратилась в нуль в точке , для которой мы проводим интерполирование. Тогда

= ( ) − ( ) = ( ).

Ω( ) Ω ( )

Часть III. Теоретические материалы Глава 5. Приближение функций 5.3. Интерполирование

Меню 5.3.8. Интерполирование с кратными узлами Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

В таком случае функция ( ) будет иметь на отрезке [ , ] в общей сложности не менее ( + 2) нулей (каждый считаем столько раз, какова его кратность). На основании теоремы Ролля производная ′ ( ) обратится в нуль в ( + 1) различных точках в интервалах между , 0, ..., и, кроме того, будет иметь нули кратностей 0 − 1, ..., − 1 в точках 0, ..., , т.е. всего ( + 1) нулей на отрезке [ , ].

Рассуждая аналогично, получим, что вторая производная ′′ ( ) будет иметь по крайней мере нулей и т.д., производная порядка ( + 1) на отрезке [ , ] будет иметь по крайней мере один нуль, т.е. на отрезке [ , ] найдется по крайней мере одна точка такая что ( +1) ( ) = 0, а так как

( +1) ( ) = ( +1) ( ) − · ( + 1) !,

( +1)( )

то отсюда = ( +1) ! и окончательно, приравнивая два различных представления для , получим:

( ) = ( ) − ( ) = Ω ( )	( +1) ( )	(5.62)
	( + 1) ! .

где все узлы 0

различны и lim 0 = 0

для всех =

0, . . . , 0; ...; , ...,

0, . . . , 0; ...; , ...,

1.Пусть 0 = 1 = · · · = = 2, т.е. кратность всех узлов интерполирования равна двум. Тогда, очевидно, Ω ( ) = 2 +1 ( ) и формула (5.61) примет вид

( ) =	[	+1 ( 2			·	[	−	]			+
=0	[	(		)	·	[	+1 ( )	]	2	]
		2		)					2	=
∑			−							=

( )

−

′

+ +1

· [(

)

]

−

+1 ( )

( )

−

· [

]

−

+1 ( )

∑

·( ) +

·′ ( ) .

Часть III. Теоретические материалы Глава 5. Приближение функций 5.3. Интерполирование

Меню 5.3.8. Интерполирование с кратными узлами

Вверх

Вперёд

Пред.

След.

Указатель

Помощь Экран

Так как

−

′

( )

+1 ( )

[(

−

′

−

+1 ( ) −

−

′ +1

= 2 lim

lim

+1 ( ))

]

→

+1 ( )

→

+1 ( )

(

)

( )

′ +1

( )

−

′

( )

−

(

−

)

′′ +1

( )

lim

= 2 · ′

(

) ·

( ) ′

( )

→

−

′′

(

)

−

′′

(

)

lim

−[ ′

+1 ( )]3

то

′ +1 ( ) ·

′ +1 ( )

· → +1 ( )

( )

{ [1 − ( −

′′

( )

]

( ) + ( − ) ′ ( )}.

(5.63)

( ) = =0 [(

) ′

+1 ( )]

) ′ +1 ( )

∑

−

Из (5.62) получаем соответствующее представление для остатка:

( ) = 2 +1 ( )

(2 +2) ( )

(5.64)

(2 + 2) !

2. Другой интересный частный случай имеет место, если рассмотреть один ( + 1)-крат-ный узел. В

( − 0) +1

этом случае Ω ( ) = ( − 0)

;

= 0,

= + 1 ;

Ω( )

= 1. Таким образом, формула (5.61),

с учетом

[

]

( − 0) +1

( )

при

= 0,

Ω ( )

при

> 0

Часть III. Теоретические материалы Глава 5. Приближение функций 5.3. Интерполирование

Меню 5.3.8. Интерполирование с кратными узлами Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

будет иметь вид

	1
∑		· ( − 0) ( ) ( 0) ,	(5.65)
( ) =	!	· ( − 0) ( ) ( 0) ,	(5.65)
=0

т.е. представляет собой всем хорошо знакомый отрезок ряда Тейлора. Остаток, как и положено, будет

( ) = ( − 0) +1	( +1) ( )	,	(5.66)
	( + 1) !

т.е. является стандартным остатком ряда Тейлора в форме Лагранжа.

<<< < Предыдущая 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 6869 / 20569 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 4сем

#
01.03.20167.59 Mб712Вычислительные методы алгебры (4 семестр)ЭУМК Численные методы.pdf
#
01.03.2016895.22 Кб55Описательная статистика.pdf