Часть III. Теоретические материалы Глава 2. Методы решения СЛАУ 2.8. Простейшие итерационные методы
Меню 2.8.5. Метод Якоби Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
2.8.5. Метод Якоби
Рассмотрим -е уравнение СЛАУ = :
1 1 + . . . + + . . . = .
Выражая из него , получаем
= 1 |
( − ̸= |
), |
= 1, . |
(2.67) |
|
|
|
∑ |
|
|
|
Для того, чтобы записать эту систему в векторном виде, рассмотрим разбиение матрицы на слагаемые согласно рис. 2.4:
= + + . |
(2.68) |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда (2.67) примет вид
= −1( − ( + ) ) = + ,
где
|
|
= |
− |
−1 |
( + ), |
= −1 |
. |
(2.69) |
|
|
|
|
|
|
Часть III. Теоретические материалы Глава 2. Методы решения СЛАУ 2.8. Простейшие итерационные методы
Меню 2.8.5. Метод Якоби Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Соответствующий итерационный метод
+1 = 1 |
( − ̸= |
), |
= 1, , |
= 0, 1, 2, . . . |
(2.70a) |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
называется методом Якоби. Его векторная форма имеет вид |
|
|
||||
|
|
+1 = + , |
|
(2.70b) |
||
где и определяются по формуле (2.69).
Заметим, что + = − , поэтому для матрицы существует альтернативная форма записи
= − −1 .
Часть III. Теоретические материалы Глава 2. Методы решения СЛАУ 2.8. Простейшие итерационные методы
Меню 2.8.6. Методы Гаусса–Зейделя и релаксации Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
2.8.6. Методы Гаусса–Зейделя и релаксации
Рассмотрим -й шаг -ой итерации метода Якоби:
+1 = 1 |
( − ̸= |
). |
|
|
|
|
∑ |
|
|
К этому моменту нам уже известны компоненты вектора +1 с номерами от 1 |
до − 1. Эти компоненты |
|||
могут быть более точны, чем соответствующие компоненты текущего приближения , поэтому их можно использовать в сумме (2.70a):
+1 |
= 1 |
−1 |
|
). |
(2.71a) |
|||||
( − =1 k+1 − = +1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
∑ |
|
|
Векторный вариант (2.71a) имеет вид |
|
|
|
|
||||||
+1 |
= −1( − +1 − ), |
откуда |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
+1 = + , |
|
(2.71b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
( + )−1 , |
= ( + )−1 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формулы (2.71a), (2.71b) определяют метод Гаусса–Зейделя.
Метод релаксации получается путём взвешенного осреднения текущего приближения и приближения, построенного по методу Гаусса–Зейделя:
+1 = (1 − ) + |
|
−1 |
|
), |
(2.72a) |
|
( − =1 |
+1 − = +1 |
|||
|
|
∑ |
∑ |
|
|
где — весовой коэффициент, обычно (0, 2). Формула (2.72a) в векторной форме имеет вид
+1 = (1 − ) + −1( − +1 − ).
Часть III. Теоретические материалы Глава 2. Методы решения СЛАУ 2.8. Простейшие итерационные методы
Меню 2.8.6. Методы Гаусса–Зейделя и релаксации Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Умножая обе части на и группируя слагаемые, получаем
+1 = + ,
(2.72b)
|
|
= ( + )−1 |
((1 |
− |
) |
− |
), |
|
|
= ( + )−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 2.15. При = 1 метод релаксации, очевидно, превращается в метод Зейделя.
Внимание! Для программной реализации стандартных итерационных методов используется исключительно их скалярные формы (2.70a), (2.71a), (2.72a). Соответствующие векторные формы записи (2.70b), (2.71b), (2.72b) используются для анализа сходимости методов.
Основные результаты о сходимости
1)Если матрица обладает свойством строгого диагонального преобладания, то Методы Якоби и Гаусса– Зейделя сходятся.
2)Если матрица — симметричная и положительно определённая, то метод релаксации сходится для всех (0, 2).
Востальных случаях сходимость методов нужно отдельно исследовать, например, с помощью теорем 2.11, 2.13.