Часть III. Теоретические материалы Глава 2. Методы решения СЛАУ 2.2. Метод Гаусса

2.2. Метод Гаусса

2.2.1.Базовый метод Гаусса

2.2.2.Связь метода Гаусса и -разложения

2.2.3.Метод Гаусса с выбором главного элемента

2.2.4.Матричные уравнения

2.2.5.Обращение матрицы и вычисление определителя

2.2.6.Метод прогонки

Часть III. Теоретические материалы Глава 2. Методы решения СЛАУ 2.2. Метод Гаусса

Меню 2.2.1. Базовый метод Гаусса Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

2.2.1. Базовый метод Гаусса

Один из способов решения этой системы заключается в переходе к эквивалентной системе (то есть, к системе с тем же решением) вида

решение которой легко находится, если, например, — верхнеили нижнетреугольная матрица. Решение системы (2.10), очевидно, может быть легко получено с помощью так называемой процедуры обратной подстановки, или обратного хода. Например, для верхнетреугольной матрицы эта процедура выглядит так:

Переход от (2.9) к (2.10) осуществляется путём последовательного применения к обеим частям (2.9) некоторых линейных преобразований :

. . . 2 1 = . . . 2 1 ,

то есть

Если в качестве использовать элементарные преобразования, то получим метод Гаусса. Введём следующие обозначения:

— -я строчка матрицы , [ ] — матрица, составленная из первых строк и первых столбцов матрицы .

Часть III. Теоретические материалы Глава 2. Методы решения СЛАУ 2.2. Метод Гаусса

Меню 2.2.1. Базовый метод Гаусса Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

Базовый алгоритм метода Гаусса

1: for = 1, − 1 do // Прямой ход метода

2: for = + 1, do

3: ← −

5:end for

6:end for ←4:

9: end for

Этап алгоритма, определяемый строками 2-5, будем называть -м шагом метода Гаусса. На этом этапе с помощью элементарных преобразований обнуляются элементы -го столбца, находящиеся ниже главной диагонали. Матрицу системы перед выполнением -го шага будем обозначать ( ) ( (1) = ). Переход от матрицы ( ) к ( +1) можно представить в виде ( +1) = ( ), где

Часть III. Теоретические материалы Глава 2. Методы решения СЛАУ 2.2. Метод Гаусса

Меню 2.2.1. Базовый метод Гаусса Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

+ 1 до к -й строке матрицы прибавить -ю, умноженную на ( ). Согласно алгоритму метода Гаусса (см. строку 3) имеем

где ( ) — элементы матрицы ( ).

Очевидно, что если хотя бы один из элементов

( )

=

равен нулю, то прямой ход в базовом МГ неосуществим. В дальнейшем элементы будем называть главными или ведущими. Если же все главные элементы отличны от нуля, то приведённый алгоритм выполнится успешно.

Теорема 2.1. Базовый алгоритм метода Гаусса осуществим тогда и только тогда, когда все главные угловые

миноры матрицы не равны нулю: |[ ] | ̸= 0 = 1, . [Доказательство]

Часть III. Теоретические материалы Глава 2. Методы решения СЛАУ 2.2. Метод Гаусса

Меню 2.2.2. Связь метода Гаусса и -разложения Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран

2.2.2. Связь метода Гаусса и -разложения

Определение. -разложением невырожденной матрицы называется её представление в виде

= ,

где — нижнетреугольная матрица с единицами на главной диагонали, — верхнетреугольная матрица.

Теорема 2.2 (связь метода Гаусса и -разложения). Базовый алгоритм метода Гаусса для СЛАУ (2.9)

выполним тогда и только тогда, когда существует -разложение матрицы . [Доказательство]