- •Часть I. Руководство пользователя
- •Глава 1. Состав комплекса
- •1.1. Учебные программы
- •1.2. Теоретические материалы
- •1.3. Задачи
- •1.4. Тесты
- •1.5. Демонстрации
- •Глава 2. Интерфейс
- •Часть II. Учебные программы
- •Глава 1. Указатель по специальностям
- •Глава 2. Список программ
- •2.1. Численные методы
- •2.2. Вычислительные методы алгебры
- •2.3. Методы численного анализа - I
- •2.4. Методы численного анализа - II
- •2.5. Численные методы математической физики
- •Часть III. Теоретические материалы
- •Глава 1. Основы машинных вычислений
- •1.1. Машинная арифметика
- •1.1.1. Числа с плавающей точкой
- •1.1.2. Двоичные числа с плавающей точкой
- •1.1.3. Способы округления
- •1.1.4. Расширение множества чисел с плавающей точкой
- •Денормализованные числа
- •Специальные величины
- •Определение машинной арифметики
- •1.1.5. Машинный эпсилон
- •1.1.6. Стандарт IEEE 754
- •1.1.7. Проблемы машинных вычислений
- •1.2. Обусловленность задачи
- •1.2.1. Корректные задачи
- •1.2.2. Векторные нормы
- •1.2.3. Число обусловленности
- •1.2.4. Резюме
- •Глава 2. Методы решения СЛАУ
- •2.1. Обусловленность СЛАУ
- •2.1.1. Матричные нормы
- •2.1.2. Число обусловленности матрицы
- •2.2. Метод Гаусса
- •2.2.1. Базовый метод Гаусса
- •2.2.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •2.2.4. Матричные уравнения
- •2.2.5. Обращение матрицы и вычисление определителя
- •2.2.6. Метод прогонки
- •2.3. LU-разложение
- •2.3.2. Выбор главного элемента
- •2.4. Метод квадратного корня
- •2.4.1. Разложение Холецкого
- •2.4.2. Алгоритм метода
- •2.5. Метод отражений
- •2.5.1. Система из двух уравнений
- •2.5.2. Общая схема метода отражений
- •2.6. Метод вращений
- •2.6.1. Система из двух уравнений
- •2.6.2. Общий случай
- •2.7. Методы спуска
- •2.7.1. Метод спуска общего вида
- •2.7.2. Метод градиентного спуска
- •2.7.3. Метод сопряжённых градиентов
- •2.8. Простейшие итерационные методы
- •2.8.1. Принцип сжимающих отображений
- •2.8.2. Общий вид стандартных итерационных методов
- •2.8.3. Критерий сходимости
- •2.8.4. Метод простой итерации
- •2.8.5. Метод Якоби
- •2.8.6. Методы Гаусса–Зейделя и релаксации
- •2.9. Форматы хранения разреженных матриц
- •2.9.1. Координатный формат
- •2.9.2. Форматы CSR и CSC
- •2.9.3. Формат MSR
- •Глава 3. Методы решения проблемы собственных значений
- •3.1. Проблема собственных значений: общая характеристика
- •3.1.1. Сведения из линейной алгебры
- •3.1.2. Общая характеристика проблемы собственных значений
- •3.1.3. Обусловленность проблемы собственных значений
- •3.2. Степенной метод
- •3.2.1. Случай 1
- •3.2.2. Случай 2
- •3.2.3. Случай 3
- •3.2.4. Случай 4
- •3.2.5. Общий случай
- •3.2.6. Степенной метод со сдвигом
- •3.3. Метод вращений Якоби
- •3.3.1. Симметричная проблема собственных значений
- •3.3.2. Общая схема вращений Якоби
- •3.3.3. Расчётные формулы метода
- •3.4. Метод Данилевского
- •Глава 4. Решение численных уравнений
- •4.1. Приближенное решение одного численного уравнения
- •4.1.1. Введение
- •4.1.2. Метод бисекции
- •4.1.3. Метод простой итерации решения численных уравнений
- •4.1.4. О задаче улучшения метода итерации
- •Метод Стеффенсена
- •Улучшение итерационного процесса при помощи преобразования заданного уравнения
- •4.1.5. Метод Ньютона
- •4.1.6. Видоизменения метода Ньютона
- •Случай кратных корней
- •Упрощение вычислений
- •Дискретный вариант метода Ньютона
- •Метод секущих
- •Метод хорд и комбинированные методы
- •4.1.7. Методы отыскания корней алгебраических уравнений
- •Метод Лобачевского
- •Метод Лина разложения многочлена на множители
- •Метод Лина выделения линейного множителя
- •4.2. Приближенное решение систем численных уравнений
- •4.2.1. Метод простой итерации и его видоизменения
- •Методы Зейделя и Гаусса-Зейделя
- •4.2.2. Метод Ньютона и его видоизменения
- •4.2.3. Другие подходы к решению нелинейных систем
- •Методы вариационного типа
- •Методы продолжения по параметру
- •Глава 5. Приближение функций
- •5.1. Общая информация
- •5.2. Наилучшие приближения функций
- •5.2.1. Введение
- •5.2.2. Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве
- •Наилучшее среднеквадратичное приближение функций алгебраическими многочленами
- •Метод наименьших квадратов
- •5.2.3. Наилучшее равномерное приближение
- •Многочлен наилучшего равномерного приближения
- •Примеры наилучшего равномерного приближения
- •5.3. Интерполирование
- •5.3.1. Введение
- •5.3.2. Задача интерполирования по значениям функции
- •5.3.3. Представления алгебраического интерполяционного многочлена
- •Представление алгебраического интерполяционного многочлена в форме Лагранжа
- •Разделенные разности и их свойства
- •Представление алгебраического интерполяционного многочлена в форме Ньютона
- •5.3.4. Остаток интерполирования
- •Остаточный член в форме Ньютона
- •Остаточный член в форме Лагранжа
- •5.3.5. Минимизация остатка интерполирования
- •5.3.6. Интерполирование при равноотстоящих узлах
- •Конечные разности
- •5.3.7. Некоторые правила интерполирования
- •Интерполирование в начале таблицы
- •Интерполирование в конце таблицы
- •Интерполирование внутри таблицы
- •5.3.8. Интерполирование с кратными узлами
- •Остаточный член интерполяционной формулы Эрмита
- •Частные случаи интерполирования Эрмита
- •5.3.9. Сходимость интерполяционного процесса
- •5.3.10. Некоторые приложения интерполирования
- •Приближенное вычисление производных
- •Применение интерполирования к решению уравнений
- •5.3.11. Многомерная алгебраическая интерполяция
- •Интерполяционный многочлен первой степени
- •Обобщение интерполяционных формул Ньютона на случай функций многих переменных
- •Последовательная интерполяция на прямоугольной сетке
- •Общий случай интерполирования на треугольнике
- •5.4. Приближение сплайнами
- •5.4.1. Общее определение сплайна. Простейшие примеры
- •Интерполяционный сплайн первой степени
- •5.4.2. Интерполяционный кубический сплайн
- •Сходимость процесса интерполирования кубическими сплайнами
- •5.4.3. Кусочно-кубическая интерполяция со сглаживанием
- •5.4.4. Интерполяционный бикубический сплайн
- •5.4.5. Приближение кривых и поверхностей
- •Интерполяция кривых сплайнами
- •Глава 6. Приближенное вычисление интегралов
- •6.1. Вычисление определенного интеграла
- •6.1.1. Задача численного интегрирования
- •6.1.2. Интерполяционные квадратурные формулы
- •6.1.3. Квадратурные формулы Ньютона–Котеса
- •6.1.4. Примеры квадратурных формул с равноотстоящими узлами
- •Квадратурные формулы с одним узлом
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона
- •6.1.5. Оценка погрешности квадратурных формул
- •Учет избыточной гладкости интегрируемой функции
- •Правило Рунге
- •6.1.6. Квадратурные формулы Гаусса
- •Тождество Кристоффеля–Дарбу
- •Остаток квадратурных формул типа Гаусса
- •Некоторые частные случаи квадратурных формул типа Гаусса
- •6.1.7. Квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы
- •Формулы с предписанными узлами частного вида (формулы типа Маркова)
- •6.1.8. Квадратурные формулы с равными коэффициентами
- •6.1.9. Нестандартные приемы интегрирования
- •Метод Филона
- •Повышение гладкости интегрируемой функции
- •Случай бесконечных пределов интегрирования
- •6.2. Вычисление кратных интегралов
- •6.2.1. Cведении кратного интеграла к повторному
- •Повторное интегрирование по прямоугольной области
- •Интегралы по криволинейной трапеции
- •6.2.2. Простейшие кубатурные формулы
- •Кубатурные формулы на прямоугольнике
- •Кубатурные формулы на треугольнике
- •Глава 7. Численное решение интегральных уравнений
- •7.1. Введение
- •7.2.1. Метод механических квадратур
- •Оценка погрешности метода механических квадратур
- •7.2.2. Метод замены ядра на вырожденное
- •Разложение ядра в ряд Тейлора
- •Использование ортогональных разложений
- •Интерполяционные способы замены ядра
- •Способ Бэтмена
- •7.2.3. Метод последовательных приближений
- •7.2.4. Решение интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода
- •Метод механических квадратур
- •Метод последовательных приближений
- •7.3. Проекционные методы решения интегральных уравнений
- •7.3.1. Метод моментов и метод Галеркина
- •Связь метода Галеркина с заменой ядра вырожденным
- •7.3.2. Другие проекционные методы
- •Метод наименьших квадратов
- •Метод коллокации
- •7.4. Решение интегральных уравнений первого рода
- •7.4.1. Основные определения и примеры
- •7.4.2. Метод регуляризации решения некорректных задач
- •Вариационный метод регуляризации
- •Выбор параметров регуляризации
- •Уравнение Эйлера
- •Замечание о решении плохо обусловленных линейных систем
- •Глава 8. Методы решения задачи Коши для ОДУ
- •8.1. Общая информация
- •8.1.1. Введение
- •8.1.2. Классификация методов решения задачи Коши
- •8.2. Одношаговые методы решения задачи Коши
- •8.2.1. Пошаговый вариант метода рядов
- •8.2.2. Способ Рунге–Кутта построения одношаговых методов
- •8.2.3. Явные методы Рунге–Кутта
- •Методы первого порядка точности
- •Методы второго порядка точности
- •Методы третьего и четвертого порядка точности
- •8.2.4. Способ последовательного повышения порядка точности
- •Методы первого порядка точности
- •Методы второго порядка точности
- •Методы третьего порядка точности
- •8.2.5. Практический контроль погрешности приближенного решения
- •Правило Рунге
- •Использование вложенных методов
- •8.2.6. Сходимость одношаговых методов решения задачи Коши
- •8.3. Многошаговые методы решения задачи Коши
- •8.3.1. Введение
- •8.3.2. Методы Адамса
- •Экстраполяционные методы Адамса
- •Интерполяционные методы Адамса
- •8.3.3. Общие линейные многошаговые методы
- •8.4. Понятие устойчивости численных методов решения задачи Коши
- •8.4.1. Корневое условие
- •8.4.2. Устойчивость на модельном уравнении
- •8.5. Жесткие задачи и методы их решения
- •8.5.1. Явление жесткости
- •8.5.2. Методы, применяемые для решения жестких систем
- •Неявные методы Рунге–Кутта
- •Формулы дифференцирования назад
- •Реализация неявных методов
- •Глава 9. Методы решения граничных задач для ОДУ
- •9.1. Введение
- •9.2. Методы, основанные на сведении к решению задач Коши
- •9.2.1. Метод редукции граничных задач к задачам Коши
- •9.2.2. Метод стрельбы для линейных граничных задач
- •Уравнение второго порядка случай
- •Общий линейный случай
- •9.2.3. Метод дифференциальной прогонки
- •9.2.4. Метод стрельбы для нелинейных граничных задач
- •9.3. Проекционные методы решения граничных задач
- •9.3.1. Введение
- •9.3.2. Вариационные методы решения граничных задач
- •Вариационная задача для операторных уравнений
- •Граничная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка как операторное уравнение
- •Метод Ритца нахождения минимума функционала
- •Сходимость минимизирующей последовательности к минимизирующей функции
- •Построение минимизирующей последовательности по Ритцу
- •9.3.3. Метод моментов и метод Галеркина решения граничных задач
- •9.3.4. Метод наименьших квадратов решения граничных задач
- •9.3.5. Метод коллокации решения граничных задач
- •Глава 10. Численные методы математической физики
- •10.1. Основные понятия теории разностных схем
- •10.1.1. Сетки
- •Равномерная сетка на отрезке
- •Неравномерная сетка на отрезке
- •Сетка в прямоугольнике
- •Сетка в криволинейной ортогональной системе координат
- •Пространственно-временная сетка в прямоугольнике
- •Прямоугольная сетка в области сложной формы
- •Треугольная сетка в области сложной формы
- •Сетка на криволинейном четырехугольнике
- •10.1.2. Cеточные функции
- •10.1.3. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов
- •Способ неопределенных коэффициентов
- •Способ численного дифференцирования
- •10.1.4. Погрешность аппроксимации на сетке
- •10.1.5. Постановка разностной задачи
- •10.1.6. Сходимость и точность разностных схем
- •10.1.7. Повышение порядка аппроксимации разностных схем
- •10.1.8. Математический аппарат теории разностных схем
- •Некоторые разностные формулы
- •Отыскание собственных функций и собственных значений на примере простейшей разностной задачи
- •Разностные аналоги теорем вложения
- •Метод энергетических неравенств
- •10.2. Способы построения разностных схем
- •10.2.1. Требования, предъявляемые к разностным схемам
- •Однородные разностные схемы
- •Консервативные разностные схемы
- •Аппроксимация и сходимость построенной разностной схемы
- •Метод Ритца построения разностных схем
- •Метод аппроксимации квадратичного функционала
- •Метод Галеркина построения разностных схем
- •Метод аппроксимации интегрального тождества
- •10.3. Методы исследования устойчивости разностных схем
- •10.3.1. Принцип максимума
- •Примеры исследования устойчивости с помощью принципа максимума
- •Монотонные разностные схемы для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
- •10.3.2. Метод разделения переменных
- •10.3.3. Метод энергетических неравенств
- •10.4.1. Задача Дирихле в прямоугольнике
- •10.4.2. Консервативная схема для задачи Дирихле
- •10.5. Итерационные методы решения разностных задач
- •10.5.1. Двухслойные итерационные схемы
- •10.5.2. Свойства разностного оператора Лапласа
- •10.5.3. Метод простых итераций
- •10.5.4. Методы Зейделя и релаксации
- •10.6.1. Метод замены переменных
- •10.6.2. Разностный метод
- •10.6.3. Метод конечных элементов
- •Триангуляция области и базисные пирамидальные функции
- •МКЭ на основе метода Галеркина
- •Интегро-интерполяционный метод конечных элементов
- •10.6.4. Метод граничных элементов
- •Первая аппроксимация
- •Вторая аппроксимация
- •Предметный указатель
- •Другие
- •Определения
- •Cтрого нормированное пространство
- •А-устойчивость
- •Абсолютная и относительная погрешности округления
- •Адаптивная сетка
- •Алгебраическая степень точности квадратурной формулы
- •Базисные пирамидальные функции
- •Внутренние узлы
- •Вырожденное ядро интегрального оператора
- •Градиент
- •Граничные узлы
- •Двухслойная итерационная схема
- •Денормализованное число с плавающей точкой
- •Диагонализируемая матрица
- •Диагональное преобладание
- •Жесткая система ОДУ
- •Интерполяционная квадратурная формула
- •Консервативная разностная схема
- •Корневое условие
- •Корректно поставленная задача
- •Круг Гершгорина
- •Линейная аппроксимация
- •Локальная погрешность метода
- •Машинная арифметика с плавающей точкой
- •Машинные числа
- •Машинный эпсилон
- •Метод верхней релаксации
- •Многочлен наилучшего равномерного приближения
- •Наилучшее приближение
- •Норма Фробениуса
- •Норма линейного оператора
- •Нормализованное число с плавающей точкой
- •Нормальная матрица
- •Носитель функции
- •Область устойчивости метода решения задачи Коши
- •Область устойчивости метода решения задачи Коши
- •Пирамидальная функция
- •Погрешность аппроксимации
- •Полиномиальный бикубический сплайн
- •Полиномиальный сплайн
- •Полная в классе система
- •Положительно определенная матрица
- •Положительно определенный оператор
- •Правило округления
- •Разреженная матрица
- •Регуляризирующий оператор
- •Самосопряженный оператор
- •Сетка
- •Сжимающее отображение
- •Система функций Чебышева
- •Собственные значения и собственные векторы
- •Спектральный радиус
- •Степень точности квадратурной формулы
- •Триангуляция области
- •Устойчивость метода решения задачи Коши
- •Фундаментальная последовательность
- •Фундаментальное решение уравнения Лапласа
- •Число обусловленности задачи
- •Число обусловленности матрицы
- •Число с плавающей точкой
- •Элемент наилучшего приближения
- •Доказательства теорем
- •Часть IV. Задачи
- •Глава 1. Машинная арифметика
- •Глава 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Метод Гаусса
- •2.2. LU-разложение
- •2.3. Метод квадратного корня
- •2.4. Методы ортогональных преобразований
- •2.5. Итерационные методы
- •Глава 3. Решение численных уравнений
- •3.1. Метод бисекции
- •3.2. Метод Ньютона
- •Глава 4. Интерполяция
- •4.1. Понятие интерполяции
- •4.2. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
- •4.3. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
- •Глава 5. Численное интегрирование
- •5.1. Простейшие квадратурные формулы
- •5.2. Квадратурные формулы НАСТ
- •5.3. Практическая оценка погрешности
- •Глава 6. Численные методы математической физики
- •6.1. Аппроксимация дифференциальных задач разностными схемами
- •6.2. Исследование устойчивости разностных схем
- •6.3. Реализация разностных схем для уравнений теплопроводности и колебаний струны
- •Решения и указания
- •Ответы к задачам
- •Часть V. Тесты
- •Тест 1. Методы решения СЛАУ
- •1.1. Число обусловленности. Прямые методы решения СЛАУ
- •Тест 2. Решение нелинейных уравнений
- •Тест 3. Приближение функций
- •Тест 4. Численное интегрирование
- •Тест 5. Дифференциальные уравнения
- •Рекомендуемая литература
Часть III. Теоретические материалы
Глава 10. Численные методы математической физики 10.6. Численное решение задач в областях сложной формы
Меню 10.6.3. Метод конечных элементов Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
отвечающие вершинам треугольника |
|
, так как Ω ∩ Ω ∩ Ω +1 |
= . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Эти функции на треугольнике |
имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
( ) |
( ) = |
( − +1)( − +1)−( − +1)( − +1) |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
( ) |
( ) = |
( − )( +1− )−( − )( +1− ) |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
)( |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
)( |
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
− |
− |
) |
|
( |
− |
− |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
+1( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= ( , ) , = 1, 6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
и обладают свойствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )( ) = 1, ( )( ) = ( )( +1) = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ ( ) |
|
= |
|
− +1 , ∂ ( ) |
|
= |
− |
− +1 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
( |
) = 1, |
|
|
( |
|
) = |
|
|
( |
+1 |
) = 0, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
( +1) = 1, |
+1 |
( ) = |
+1 |
( ) = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∂ +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
= |
|
− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
∂ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
− . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
МКЭ на основе метода Галеркина
(10.193)
(10.194)
Схемы МКЭ часто строят с помощью вариационных методов (Ритца, наименьших квадратов), а также мето-
дом Галеркина. При этом линейно независимые пирамидальные функции ( ), = 1, , соответствующие внутренним узлам 1, . . . , , служат в качестве базисных функций.
Пирамидальные |
функции |
+1( ), . . . , + ( ), |
соответствующие |
граничным |
узлам |
|
+1, . . . , + |
, |
используются |
для того, чтобы обеспечить выполнение |
граничных условий за- |
||
дачи (10.191). |
|
|
|
|
|
|
Часть III. Теоретические материалы
Глава 10. Численные методы математической физики 10.6. Численное решение задач в областях сложной формы
Меню 10.6.3. Метод конечных элементов Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Приближенное решение дифференциальной задачи (10.191) на сетке треугольных элементов ищется в аналитическом виде
|
|
|
|
∑ |
|
˜( ) = ¯( ) + |
¯ |
(10.195) |
˜ ( ), , |
||
|
=1 |
|
где ¯( ) призвано обеспечить выполнение граничных условий:
|
+ |
¯( ) = |
∑ ( ), = ( ) = ( ), , |
( ) = 1, ( ) = 0 = 1, + , ̸= . |
|
+ |
|
∑ |
|
¯( ) = |
( ) = ( ) = = ( ), = + 1, + . |
= +1 |
= +1 |
где ˜ — неизвестные коэффициенты, требующие определения, |
|
1, . . . , — пирамидальные функции вида (10.193), соответствующие внутренним узлам 1, . . . , ,+1, . . . , + — пирамидальные функции, соответствующие граничным узлам +1, . . . , + .
Заметим, что
В силу этого
Следовательно,
˜( ) = ¯( ) +
˜( ) = ¯( ) +
|
|
[ |
] |
∑ |
|
||
=1 ˜ ( ) = |
( ) = 0 |
= ¯( ) = ( ) при , |
|
|
˜ ( ) = [¯( ) = 0] = ˜ ( ) ( ) = ˜ при , |
||
∑ |
|||
=1
т. е. искомая функция (10.195) точно удовлетворяет граничным условиям задачи (10.191) в узлах и принимает значения ˜ во внутренних узлах .
Таким образом, неизвестные коэффициенты ˜ представляют собой значения приближенного реше-
ния ˜( ) во внутренних узлах , = 1, . Задачу (10.191) можно считать решённой, если найдены все
˜ , = 1, .
Часть III. Теоретические материалы
Глава 10. Численные методы математической физики 10.6. Численное решение задач в областях сложной формы
Меню 10.6.3. Метод конечных элементов Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Для удобства функцию ˜( ) будем рассматривать в виде
|
+ |
|
|
∑ |
|
˜( ) = |
¯ |
(10.196) |
˜ ( ), , |
||
|
=1 |
|
полагая
˜ = ( ) при = + 1, + .
Для построения алгоритма метода конечных элементов решения задачи (10.191) воспользуемся методом Галёркина, согласно которому неизвестные коэффициенты ˜1, . . . , ˜ определяются из условий
( ˜ + , ) = 0, |
= 1, |
(10.197) |
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ˜, ) + ( , ) = 0, = 1, , |
|
||||||
где |
( ∂ ) + ∂∂ ( |
∂ ), ( , ) = ∫¯ |
. |
||||
= ( ) = ∂ |
|||||||
|
∂ |
|
∂ |
∂ |
|
||
Чтобы ослабить требования на гладкость базисных функций ( ),выполним интегрирование по частям
¯
в области :
( , ) = ( ( ), ) = ∫¯ |
( ) · = |
|||||||
= ∫ |
∂ Γ − ∫ |
|
|
|
|
|
||
· = = 0 на границе Γ = |
||||||||
|
∂ |
|
[ |
] |
||||
Γ |
|
|
¯ |
|
||||
|
|
|
|
|
= − ∫¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
· , = 1, . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть III. Теоретические материалы
Глава 10. Численные методы математической физики 10.6. Численное решение задач в областях сложной формы
Меню 10.6.3. Метод конечных элементов Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Тогда условия Галеркина (10.197) принимают вид |
|
|
|||||||||
|
|
∫¯ |
|
|
|
|
|
|
|
(10.198) |
|
|
|
˜ · = ( , ), = 1, . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обычно (10.197) называют прямой формулировкой метода Галёркина, а (10.198) — слабой формули- |
|||||||||||
ровкой метода Галёркина. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ввиду того, что |
≡ 0 при = ( , ) / Ω , будем иметь |
|
|
||||||||
∫ |
˜ · = ( , ), = |
|
, где ( , ) = ∫ |
|
|
||||||
1, |
. |
|
|||||||||
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
Подставляя сюда |
(10.196), |
получим систему линейных алгебраических уравнений |
относительно |
||||||||
˜1, . . . , ˜ : |
|
˜ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(10.199) |
||||||
|
=1 |
· = ( , ), = 1, , |
|||||||||
|
∑ |
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ω — носитель функции ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть Ω — шестиугольник с вершинами 1 = 7, 2, 3, 4, 5, 6 |
= 0, которым соответствуют |
||||||||||
базисные функции 1( ) = 7( ), 2( ), 3( ), 4( ), 5( ), 6( ) = 0( ). Поскольку на шестиугольнике Ω обращаются в нуль все базисные функции, за исключением , 1, . . . , 6, то в уравнениях (10.199) остаются лишь те слагаемые, которые соответствуют = 1, 6 и = . Таким образом, система уравнений (10.199) имеет вид:
˜ ∫ |
6 |
˜ ∫ |
|
|
|
|
|
| |2 + =1 |
|
|
|
|
|
||
( · ) = ( , ), = 1, |
|
||||||
Ω |
∑ |
Ω |
|
|
|
|
|
или |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
(10.200) |
|
˜ = |
˜ + , = 1, , |
|||||
|
|
||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
Часть III. Теоретические материалы
Глава 10. Численные методы математической физики 10.6. Численное решение задач в областях сложной формы
Меню 10.6.3. Метод конечных элементов Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
где ˜ = ( ), если .
∫
= −
Ω
· = − ∫ |
|
=const |
|||
|
|
|
|
|
|
( ( ) · ( )) − |
|||||
|
|
|
|
||
=const
∫ |
∫ |
|
− −1 |
|
( ( −1) · ( −1)) = [ = |
, Ω ∩ Ω = −1 ] |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= −( |
∂ ( ) |
|
|
∂ ( ) |
|
|
|
∂ ( ) |
|
|
|
∂ ( ) |
) − |
( |
∂ ( −1) |
|
∂ ( −1) |
|
∂ ( −1) |
∂ ( −1) |
) −1 = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
· |
|
|
+ |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|||||||||||||||||
∂ |
∂ |
∂ |
|
∂ |
|
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−( |
2 |
|
· |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
· |
|
|
2 |
|
|
|
) |
− |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
+1 |
|
− |
|
|
− +1 |
+ |
+1 |
− |
|
|
− +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
( |
|
2 |
|
|
|
· |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
· |
|
|
2 |
|
) |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− −1 |
|
−1 − |
|
+ |
− −1 |
|
−1 |
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
( |
|
|
+1)( |
|
|
+1) + ( |
|
+1)( |
|
+1) + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
[ |
1 − |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
[( −1 − )( −1 − ) + ( −1 − )( −1 − )] −1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 2−1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= ( , ) = ∫ |
≈ |
∫ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– объём пирамиды] = |
|
|
∑ . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
=1
Ω
Часть III. Теоретические материалы
Глава 10. Численные методы математической физики 10.6. Численное решение задач в областях сложной формы
Меню 10.6.3. Метод конечных элементов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вверх |
Назад Вперёд |
Пред. |
След. Указатель Помощь Экран |
|||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
6 |
∫ |
|
|
= |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
| |2 = =1 |
|
| ( )|2 = =1 | ( )|2 = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Ω |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 6 |
∂ ( ) |
) |
2 + |
( |
∂ ( ) |
) |
2 |
|
|
|
= 6 |
|
[ ( |
− +1 |
) |
2 |
+ |
− +1 |
2 |
|
|
= |
|||
∂ |
∂ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
=1 [ ( |
|
|
|
] |
|
=1 |
|
( |
2 |
|
) |
] |
|
||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
[ |
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
( +1 − )2 + ( +1 − )2 |
> 0. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Упражнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показать, что = |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 10.23. При построении конечно-элементной схемы (10.200) во внутреннем узле использована упрощённая нумерация вершин шестиугольника Ω , т. е. 1, . . . , 6, не учитывающая зависимости от номера центрального узла . Более корректной является нумерация этих вершин индексами 1 = 7, 2, . . . , 5,
6 = 0 . Перенумеровав в схеме (10.200) 1 = 7 в 1 = 7 , 2 в 2 , . . ., 5 в 5 , 6 = 0 в 6 = 0 , |
|||||
запишем схему (10.200) в виде |
˜ = =1 ˜ + , = 1, , |
|
|||
|
(10.201) |
||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
˜ = ( ), = + 1, . . . , + , |
|
||
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
˜ = ˜( ), = ( , ), |
|
|
|
] |
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
− |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
||||||
= |
1 |
( |
|
|
+1 )( |
|
|
+1 ) + ( |
|
|
+1 )( |
|
|
+1 ) + |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
+ |
|
|
1 |
[ |
( |
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
− |
] − |
1 , |
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
− |
|
− |
|
|||||||||||
|
|
|
4 −1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
)( |
1 |
|
) + ( |
|
1 |
|
)( |
1 |
|
) |
||||