Часть III. Теоретические материалы
Глава 10. Численные методы математической физики 10.3. Методы исследования устойчивости разностных схем
Меню 10.3.1. Принцип максимума Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Расписывая ее в индексной форме, имеем (уравнения, описывающие граничные условия, в данной задаче тривиальны):
|
|
|
|
( +1 |
+1 − |
|
− |
|
− −1 ) − = − . |
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исходя из принципа «точка |
должна соответствовать диагональному элементу», получаем: |
= . |
|||||||||||||||||||||||
Поэтому, собрав подобные, перепишем наше разностное уравнение в виде |
|
|
|||||||||||||||||||||||
( 2 ( +1 + ) + ) |
− ( 2 +1 +1 |
+ 2 −1) |
= , |
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
откуда |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( ) = |
|
|
( +1 |
+ ) + |
, 1 = |
|
|
+1 , |
2 = |
|
, |
( ) = . |
|
||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
Очевидно, если функционалы, с помощью которых вычисляются коэффициенты разностной схемы, сохраняют свойства коэффициентов исходной дифференциальной задачи (в частности, положительность), то записанная разностная схема будет удовлетворять условиям принципа максимума при всех значениях параметра . Такие разностные схемы называют монотонными.
Не следует думать, что монотонность — «врожденное» свойство разностных схем. Чтобы убедиться
в обратном, рассмотрим задачу более общего, нежели (10.152), вида |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
( ) ≡ ( ( ) |
) + ( ) |
|
− ( ) ( ) = − ( ) , 0 < < 1 , |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
(10.154) |
||||
|
( ) > 0 > 0, ( ) > 0, | ( ) 6 | |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для этой |
задачи легко записать разностную схему второго порядка, заменив производную |
|
в слага- |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
емом ( ) |
|
|
центральной разностной производной: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
( ¯) + |
|
= |
|
, |
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = 0 , − |
|
− |
|
|
|
|
(10.155) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Часть III. Теоретические материалы
Глава 10. Численные методы математической физики 10.3. Методы исследования устойчивости разностных схем
Меню 10.3.1. Принцип максимума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вверх |
Назад |
Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран |
|||||
Проделывая выкладки, аналогичные приведенным выше, получаем: |
|
2 ) |
|
|||||||||||||||||
( |
2 |
+ ) − ( |
|
2 + |
|
2 ) +1 − |
( 2 − |
−1 = , |
||||||||||||
|
+1 + |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
т.е. |
+1 + |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|||||||||||
( ) = |
|
|
+ , |
1 |
= |
|
|
|
+ |
|
, 2 |
= |
|
|
|
, ( ) = . |
||||
2 |
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||
Отсюда видим, что сеточные коэффициенты ( ) и ( ) удовлетворяют условиям принципа максимума при всех , в то время как неотрицательность коэффициентов 1 и 2 приводит к ограничению на шаг сетки вида 6 2| (( ))| , которое становится достаточно обременительным, если | ( ) | 1.
В то же время, если воспользоваться для аппроксимации в слагаемом ( ) односторонними производными (правой при ( ) > 0 и левой при ( ) 6 0: так называемая аппроксимация против потока), то полученная разностная схема
|
( ¯) + + + − ¯ |
|
= , |
|
, |
|
||
(1) = |
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.156) |
||||
|
(0) = 0 |
, |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет монотонной, но ее порядок равен единице.
Построим монотонную схему второго порядка точности, содержащую односторонние производные, учитывающие знак коэффициента ( ). Для этого, как оказывается, достаточно написать монотонную схему с односторонними производными типа (10.156) для уравнения с возмущенными коэффициентами
˜ |
( ) ≡ |
( ( ) |
|
) |
+ ( ) |
|
− ( ) ( ) = − ( ) |
(10.157) |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
где = 1+1 , = 2| | — разностное число Рейнольдса.
Аппроксимируем слагаемое ( ) ( ) выражением
( ′) |
= ( |
|
( ′)) |
+ +1 , + − ¯, , |
|
Часть III. Теоретические материалы
Глава 10. Численные методы математической физики 10.3. Методы исследования устойчивости разностных схем
Меню 10.3.1. Принцип максимума Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
где ± = (˜± ( + )), ˜± |
= |
± |
, а — шаблонный функционал, используемый для вычисления коэффи- |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
||
циентов и разностной схемы (например, можно просто положить + = |
+| | |
|
− = |
|
|
−| | |
). |
|||||||||||||
|
= |
, |
|
= |
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
В результате получаем однородную разностную схему |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(+1) = ( + ) , |
= 1+1 , |
= 2| | , |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
( ¯) + + (+1) |
+ − ¯ |
− = − , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(0) = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.158) |
||
|
(1) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приводя |
(10.158) к каноническому виде по изложенной ранее схеме, имеем: |
|||||||||
|
+1 |
|
+ +1 |
|
|
|
− |
> 0 , ( ) = 1 + 2 + > 0 , ( ) = > 0. |
||
1 = |
|
|
+ |
|
|
> 0 , 2 = |
|
− |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
Таким образом, разностная схема (10.158) является монотонной. Погрешность аппроксимации этой схемы
= ( ¯) + + (+1) + − ¯ − + − ( + )
представим в виде суммы
= (1) + (2), |
|
(1) = [( ¯) − + ] − [( ′)′ − + ] |
, |
(2) = [( − 1) ( ¯) + + (+1) + − ¯] − ′ .
Часть III. Теоретические материалы
Глава 10. Численные методы математической физики 10.3. Методы исследования устойчивости разностных схем
Меню 10.3.1. Принцип максимума |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вверх Назад |
Вперёд |
Пред. След. Указатель Помощь |
Экран |
|||||||||||||||
|
|
помним, для достаточно гладких функций (1) = 2 |
). В то же |
время, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Как мы |
|
+ |
+ |
|
2 |
) |
, − = ˜− + ( |
2 |
) |
, |
|
|
|
|
(+ |
|
|
+ |
− − = | | , |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= ˜ + ( |
|
|
|
˜± = ±, |
+ − = , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
¯ = ′ − 2 ( ′)′ |
+ ( 2) |
, |
|
(+1) |
= ′ + 2 ( ′)′ |
+ ( 2) |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
( ¯) = ( ′)′ |
+ ( 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
+ ( 2)] + [˜− + ( 2) ] · [ ′ − 2 |
|
+ ( 2)] |
|
||||||||||||||||||||||
+ (+1) + − ¯ = [˜+ + ( 2) ] · [ ′ + 2 |
( ′)′ |
( ′)′ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (˜+ + ˜−) ′ + 2 ( ′)′ |
(˜+ − ˜−) + ( 2) |
= ′ + 2 ( ′)′ |
· |
| | |
+ ( 2) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2) = [ − 1 = |
1 |
|
− 1 = − |
|
] |
= − |
|
( ′)′ |
+ ′ + 2 ( ′)′ |
|
· |
| | |
|
+ ( 2) |
− ′ |
= |
|
|||||||||||||||||||
1+ |
1+ |
1+ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= ( ′)′ · ( − |
|
) + ( 2) |
= ( ′)′ |
· |
2 |
+ ( 2) |
= ( 2) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1+ |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
так как = |
|
2| | |
= ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, построенная разностная схема (10.158) имеет второй порядок и является монотонной. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ее целесообразно использовать в случае быстро меняющейся функции ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Замечание 10.12. Монотонную разностную схему второго порядка несложно написать, если от уравнения
(10.154) перейти к уравнению |
|
) − ( ) ( ) ( ) = − ( ) ( ) , |
|||||
|
|
|
( ( ) ( ) |
||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
где ( ) = exp (∫ |
( ) |
|
), т.е. преобразовав его к самосопряженному виду. |
||||
( ) |
|||||||