Часть III. Теоретические материалы
Глава 8. Методы решения задачи Коши для ОДУ 8.4. Понятие устойчивости численных методов решения задачи Коши
Меню |
Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран |
8.4. Понятие устойчивости численных методов решения задачи Коши
8.4.1.Корневое условие
8.4.2.Устойчивость на модельном уравнении
Вновь, если не оговорено особо, будем предполагать, что рассматривается случай одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Ранее мы рассматривали достаточно общие определения, касающиеся таких понятий как «корректность», «устойчивость», «сходимость» численных методов. Естественно, такие общие определения очень часто нуждаются в конкретизации, для того чтобы их можно было реально применить к исследованию конкретных свойств того или иного алгоритма.
С этих позиций обсудим сейчас термин «устойчивость» применительно к методам решения задачи Коши.
Часть III. Теоретические материалы
Глава 8. Методы решения задачи Коши для ОДУ 8.4. Понятие устойчивости численных методов решения задачи Коши
Меню 8.4.1. Корневое условие Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
8.4.1. Корневое условие
Прежде всего, заметим, что все численные методы решения задачи Коши представляют собой разностные уравнения различных порядков: одношаговые методы — первого порядка, многошаговые ( -шаговые) —-го порядка.
Далее, вполне очевидным представляется тот факт, что численный метод должен более или менее адекватно отражать истинные свойства решения исследуемой (решаемой) дифференциальной задачи и причем, желательно, в достаточно широком диапазоне правых частей уравнения (т.е. функций ( , )).
В частности, положив ( , ) ≡ 0, получим следующую запись линейного многошагового метода (8.84):
−1 +1 + 0 + · · · + − = 0,
т.е. будем иметь линейное разностное уравнение порядка ( + 1) с постоянными коэффициентами. Его общее решение может быть записано в виде
|
|
|
∑ |
= |
, |
|
=−1 |
где — коэффициенты, определяемые из дополнительных (например, начальных) условий, а , = 0,
— корни характеристического уравнения
−1 +1 + 0 + · · · + = 0. |
(8.88) |
Отсюда следует, что если | | > 1 хотя бы для некоторого значения , то | | → ∞, в то время как
→∞
решение исходного уравнения ′ = ( , ) при ( , ) ≡ 0, очевидно, представляет собой константу.
Аналогичная ситуация имеет место и в случае, если | 0 | = 1, но кратность |
этого корня выше едини- |
цы, так как тогда в конструкции общего решения перед сомножителем 0 появляется многочленный по |
|
коэффициент, учитывающий кратность. |
|
Определение. Будем говорить, что численный метод удовлетворяет условию |
корней, если все корни |
0, ..., характеристического уравнения (8.88) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе круга нет кратных корней.
Часть III. Теоретические материалы
Глава 8. Методы решения задачи Коши для ОДУ 8.4. Понятие устойчивости численных методов решения задачи Коши
Меню 8.4.1. Корневое условие Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Очевидно, метод, не удовлетворяющий условию корней (или корневому условию), для вычислений не пригоден. Это следует иметь в виду при построении различных алгоритмов. Заметим, что рассмотренные нами ранее классы методов (как Адамса, так и одношаговые типа Рунге–Кутта и последовательного повышения порядка точности) корневому условию удовлетворяют, поскольку для них характеристическое уравнение (8.88) будет иметь вид
−1 + 0 = 0
при −1 = 1, |
0 = −1, т.е. |
− 1 = 0
и имеет единственный корень = 1.
Часть III. Теоретические материалы
Глава 8. Методы решения задачи Коши для ОДУ 8.4. Понятие устойчивости численных методов решения задачи Коши
Меню 8.4.2. Устойчивость на модельном уравнении Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Аналогичные разностные уравнения (но только первого порядка) получаются, если к решению уравнения (8.88) применить соответствующий метод Рунге–Кутта или последовательного повышения порядка точности.
Определение. Численный метод решения задачи Коши будем называть устойчивым при некотором значении, если при данном значении устойчиво соответствующее ему разностное уравнение (8.90), получающееся вследствие применения исследуемого метода к решению модельного уравнения (8.89).
Очевидно, для того чтобы метод был устойчивым, достаточно, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения по модулю не превосходили единицы.
Определение. Областью устойчивости численного метода будем называть множество всех точек комплексной плоскости, для которых данный метод устойчив.
Определение. Интервалом устойчивости численного метода будем называть пересечение области устойчивости с вещественной осью координат.
Рассмотрим некоторые примеры.
1. Явный метод Эйлера:
+1 = + .
Применяя его к уравнению (8.88), будем иметь: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+1 = (1 + ) . |
|
|
|
|
Единственный корень соответствующего характеристического уравнения здесь = |
1 + . Поэтому |
||||||||
условие устойчивости примет вид |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
| 1 + | 6 1. |
|
(8.91) |
||
Если |
|
— |
комплексное число, то, записав в виде = + , перепишем (8.91) в виде |
| |
1 + + |
| 6 |
1 |
||
|
|
2 |
+ 2 6 1. |
|
|
||||
или (1 + ) |
|
|
|
|
|
||||
Очевидно, последнее неравенство, описывающее область устойчивости явного метода Эйлера, задает в комплексной плоскости круг единичного радиуса с центром в точке (−1, 0). Пересечением данной
Часть III. Теоретические материалы
Глава 8. Методы решения задачи Коши для ОДУ 8.4. Понятие устойчивости численных методов решения задачи Коши
Меню 8.4.2. Устойчивость на модельном уравнении Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
области с вещественной осью будет отрезок [−2; 0], который и будет интервалом устойчивости явного метода Эйлера. (Заметим, что интервал устойчивости на самом деле искать гораздо проще, чем область, поскольку для этого достаточно просто решить неравенство (8.91) над полем вещественных чисел).
2. Неявный метод Эйлера: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+1 = + +1, |
|
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + ) +1 = |
|
|
|||||
или |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|||||
. Тогда = |
1 |
|
и условие устойчивости примет вид |
1 |
|
6 1 или | 1 − | > 1. |
||||
1− |
|
1− |
|
|||||||
Таким образом, областью устойчивости неявного метода |
Эйлера |
является внешность круга единичного |
||||||||
радиуса с центром в точке (1; 0). Интервалом устойчивости |
является вся числовая прямая, кроме |
|||||||||
промежутка (0; 2). Следовательно, при Re < 0 шаг численного интегрирования может быть любым (в то время как для явного Эйлера от ограничен сверху величиной | 2 | ).
Определение. Численный метод будем называть А-устойчивым, если его область устойчивости содержит всю левую полуплоскость Re < 0.
Сущность данного определения состоит в том, что А-устойчивый метод является абсолютно (т.е. при любых > 0) устойчивым, если устойчиво решение исходного дифференциального уравнения. Отметим, что неявный метод Эйлера является А-устойчивым, а явный — нет. Заметим, однако, что неявный метод Эйлера является устойчивым и в той области, где исходная задача является неустойчивой (!).
Теорема 8.1. Не существует явных линейных А-устойчивых методов.
Это означает, что при использовании таких методов всегда будут иметь место ограничения на выбор допустимой величины шага , подобные ограничению, характерному для явного метода Эйлера. В то же время среди неявных линейных методов А-устойчивые, как мы видели, существуют.
Подводя итоги, можем сформулировать следующую процедуру исследования устойчивости численных методов решения задачи Коши:
Часть III. Теоретические материалы
Глава 8. Методы решения задачи Коши для ОДУ 8.4. Понятие устойчивости численных методов решения задачи Коши
Меню 8.4.2. Устойчивость на модельном уравнении Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
1)Применяя исследуемый метод к решению уравнения (8.89), получаем разностное уравнение, которому удовлетворяет приближенное решение;
2)Записываем соответствующее характеристическое уравнение;
3)Находим корни характеристического уравнения ( , = 1, ..., );
4)Решение системы неравенств | | 6 1, = 1, ..., , дает искомую область устойчивости.
Заметим, однако, что практическая реализация изложенного алгоритма может натолкнуться на значительные технические трудности (особенно это касается случаев комплексных для многостадийных методов, а также методов многошаговых). Поэтому практически для построения областей устойчивости используют прием, который носит название метод множества точек границы и состоит в следующем: точкакомплексной плоскости будет принадлежать границе области устойчивости, если при данном значении
|
| |
|
| |
|
| |
* |
| |
или * = i , |
|
[0; 2 ) (здесь i — мнимая единица). Решая за- |
|
|
= 1 = |
||||||||||
выполняется равенство max |
|
|
|
|
|
писанное уравнение относительно (возможно, при фиксированных значениях из указанного промежутка), мы получаем множество точек, составляющих границу области устойчивости. Далее остается определить (например, путем подстановки), по какую сторону границы находится сама область.
Примеры исследования устойчивости.
1. Метод последовательного повышения порядка точности второго порядка
|
+ |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
= |
+ |
|
, |
|
+1 |
= |
+ |
|
1 . |
|||
|
|
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя данный метод к решению уравнения (8.89), получим:
( 2 )
+1 = 1 + + 2 .
Часть III. Теоретические материалы
Глава 8. Методы решения задачи Коши для ОДУ 8.4. Понятие устойчивости численных методов решения задачи Коши
Меню 8.4.2. Устойчивость на модельном уравнении Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Отсюда
= 1 + + 2 = i 2
и
√
= ( ) = −1 ± 2 i − 1.
Кривая ( ) и есть граница области устойчивости, а сама область есть внутренность данной кривой.
2. Экстраполяционный метод Адамса второго порядка.
|
|
+1 = + |
|
(3 − −1) . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|||||||||||
Разностное уравнение имеет вид |
− (1 + 2 ) |
+ 2 −1 = 0. |
|||||||||||
|
|
+1 |
|||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда характеристическое уравнение будет таким: 2 − 1 + 23 |
+ 2 = 0. |
||||||||||||
Подставим сюда |
= i |
и найдем границу области |
устойчивости: |
||||||||||
|
( |
) |
|||||||||||
|
|
|
( ) = 2 |
2i − i |
. |
(*) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 i − 1 |
|
||||
Замечание 8.5. Для определения интервала устойчивости вдоль вещественной оси для линейных многошаговых методов в уравнение типа (*) достаточно подставить = . Так, для указанного выше метода получим левую границу интервала
1 + 1( ) = 2 · 3 · (−1) − 1 = −1,
т.е. экстраполяционный метод Адамса второго порядка устойчив на отрезке [−1; 0].
Замечание 8.6. В случае систем обыкновенных дифференциальных уравнений можно показать, что соответствующие условия устойчивости будут иметь такой же вид, как и в случае одного уравнения, но с заменой параметра на максимальное по модулю собственное значение матрицы Якоби системы.