Часть III. Теоретические материалы
Глава 7. Численное решение интегральных уравнений 7.2. Решение интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода
Меню 7.2.3. Метод последовательных приближений Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
7.2.3. Метод последовательных приближений
Вновь рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода (7.8). Будем искать его решение в виде степенного ряда
∞
|
∑ |
|
|
( ) = |
|
( ) , |
(7.36) |
|
|||
|
=0 |
|
|
где – числовой параметр из уравнения (7.8), а функции ( ) подлежат определению. Подставим ряд (7.36) в исходное интегральное уравнение (7.8).
∞ |
|
∞ |
|
|
( ) − ∫ |
( ) = ( ) . |
|||
=0 |
( , ) =0 |
|||
∑ |
|
∑ |
||
Меняя порядок суммирования и интегрирования (в предположении, что ряд (7.36) сходится) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим рекуррентные соотношения, позволяющие последовательно находить (быть может, приближенно) функциональные коэффициенты ряда (7.36):
|
0 ( ) = ( ) , |
|
(7.37) |
|
|
|
( , ) −1 |
( ) , |
= 1, 2, . . . |
|
( ) = ∫ |
|||
|
|
|
|
|
Таким образом, алгоритм построения последовательности приближений определен. Исследуем его сходимость. Пусть в области = [ , ] × [ , ] выполняется неравенство | ( , )| 6 , и на отрезке [ , ] – неравенство | ( )| 6 . Тогда из формул (7.37) последовательно получим:
| 0 ( )| = | ( )| 6 ,
|
|
∫ |
∫ |
| 1 ( )| = |
( , ) 0 ( ) 6 |
| ( , )| | 0 ( )| 6 ( − ) , |
|
|
Часть III. Теоретические материалы
Глава 7. Численное решение интегральных уравнений 7.2. Решение интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода
Меню 7.2.3. Метод последовательных приближений Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
|
|
| 2 ( )| = |
∫ |
( , ) 1 |
( ) |
|
6 ∫ |
| ( , )| | 1 ( )| 6 2 ( − )2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . |
|
|
|
|
|
|
| ( )| 6 ( − ) , |
= 0, 1, 2, . . . |
|
||
|
∑ |
Учитывая |
полученные оценки, |
видим, |
что |
ряд (7.36) мажорируется числовым |
рядом |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 (| | ( − )) , представляющим |
собой |
геометрическую прогрессию, и, следовательно, |
сходя- |
||||
щимся при выполнении условия |
| | ( − ) < 1. |
|
||||||
|
|
|
|
|
(7.38) |
|||
Таким образом, если параметры исходного интегрального уравнения будут удовлетворять условию (7.38), то ряд (7.36) равномерно сходится на отрезке [ , ]. Тогда в качестве приближенного решения можно
взять
|
∑ |
|
( ) = ( ) = |
|
(7.39) |
( ) . |
||
|
=0 |
|
Оценим погрешность такого решения (в предположении, что все интегралы в (7.37) вычисляются точно). Имеем:
| ( )| = | ( ) − ( )| = |
∞ |
|
( ) 6 |
| | |
+1 |
|
+1 |
( − ) |
+1 |
(1 + | | ( − ) + · · · ) = |
(7.40) |
||||||
∑ = +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= [| | ( − )] |
+1 |
1 |
|
|
, [ , ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−| | ( − ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из этой оценки следует равномерная |
сходимость |
( ) |
к |
нулю. Отсюда видно также, что |
|||||||||||||
( ) |
→ ( ) по крайней мере со скоростью геометрической прогрессии. |
|
|||||||||||||||
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, однако, что все нужные интегралы в (7.37), как правило, вычисляются приближенно, поэтому оценка истинной погрешности будет несколько отличаться от полученной.
Часть III. Теоретические материалы
Глава 7. Численное решение интегральных уравнений 7.2. Решение интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода
Меню 7.2.3. Метод последовательных приближений Вверх Назад Вперёд Пред. След. Указатель Помощь Экран
Следует также иметь в виду, что метод последовательных приближений может употребляться и в другой форме, несколько более удобной с точки зрения машинной реализации. Действительно, перепишем (7.8) в виде
∫
( ) = ( , ) ( ) + ( ) .
Получим (см. также аналогичный метод решения алгебраических уравнений) вид, удобный для итерации. Выбирая в качестве начального приближения произвольную функцию 0 ( ), построим последовательность приближений
|
|
|
|
+1 ( ) = ∫ |
( , ) ( ) + ( ) , |
= 0, 1, . . . , |
(7.41) |
которая при 0 ( ) ≡ 0 будет полностью совпадать с (7.37), (7.39).
В то же время, запись метода последовательных приближений в форме (7.41) позволяет трактовать
условие сходимости (7.40) как условие сжимаемости отображения ( ) = |
|
|
( , ) ( ) . С другой |
|
|
|
|||
стороны, процедура исследования сходимости метода последовательных |
приближений в форме (7.37), (7.39) |
|||
|
∫ |
|
|
|
говорит о том, что условие (7.40) является достаточным.