Свойства нечетких отношений

Различные типы нечетких отношений определяются с помощью свойств, аналогичных свойствам обычных отношений, причем для нечетких отношений можно указать различные способы обобщения этих свойств.

1. Рефлексивность:

2. Слабая рефлексивность:

3. Сильная рефлексивность:

4. Антирефлексивность:

5. Слабая антирефлексивность:

6. Сильная антирефлексивность:

7. Симметричность:

8. Антисимметричность:

9. Асимметричность:

10. Сильная линейность:

11. Слабая линейность:

12. Транзитивность:

Декомпозиция нечетких отношений

Одно из важнейших свойств нечетких отношений заключается в том, что они могут быть представлены в виде совокупности обычных отношений, причем могут быть упорядочены по включению, представляя собой иерархическую совокупность отношений. Разложение нечеткого отношения на совокупность обыкновенных отношений основано на понятии -уровнянечеткого отношения. Здесь для простоты будем полагать, что линейно упорядочено.

-уровнем нечеткого отношения называется обычное отношение, определяемое для всехследующим образом:

Очевидно, что -уровнинечетких отношений удовлетворяют соотношению:

представляя собой совокупность вложенных друг в друга отношений.

Теорема. Нечеткое отношение обладает каким-либо свойством из перечисленных (кроме сильной рефлексивности, сильной антирефлексивности, слабой линейности) тогда и только тогда, если этим свойством обладают все его-уровни.

Эта теорема играет важную роль в теории нечетких отношений. Во-первых, она показывает, что основные типы обычных отношений и их свойства могут быть обобщены и на случай нечетких отношений, и приводит ясный способ такого обобщения. Во-вторых, оказывается, что основные типы нечетких отношений могут быть представлены как совокупность, иерархия обычных отношений того же типа. И если решением практической задачи является получение на множестве некоторого отношения заданного типа, например эквивалентности или порядка, то построение насоответствующегонечеткое отношение позволяет получать сразу ансамбль необходимых обычных отношений, а это дает возможность учитывать неоднозначность решений, присущих практическим ситуациям, и предоставляет лицу, принимающему решение, некоторую свободу выбора. В-третьих, теория нечетких множеств, допуская подобную неоднозначность возможных решений, ограничений и целей, дает возможность оперировать сразу всей совокупностью таких объектов как единым целым.

Нечеткое отношение может быть представлено в следующем виде:

где отношения определяются следующим образом:

Кроме всех вышеописанных свойств, выполняющихся для всех -уровней, могут быть определены аналогичные свойства, выполняющиеся только для одного или нескольких-уровней. Приведем примеры таких-свойств, предполагая, что элементфиксированный:

-симметричность

-транзитивность

Аналогично могут быть определены и другие -свойства. Они могут рассматриваться в задачах, в которых вводится порог на силу отношениялибо ищется такое, при которомобладает требуемым свойством.

Транзитивное замыкание нечетких отношений

Большое значение в приложениях теории нечетких отношений играют транзитивные отношения. Они обладают многими удобными свойствами и определяют некоторую правильную структуру множества . Например, если отношениевхарактеризует сходство между объектами, то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность разбиения множествана непересекающиеся классы сходства. Если же отношению впридать смысл "предпочтения" или "доминирования", то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность естественного упорядочения объектов множества, существование "наилучших", "недоминируемых" объектов и т.п. Поэтому представляет большой интерес возможность преобразования исходного нетранзитивного отношения в транзитивное. Такое преобразование обеспечивает операциятранзитивного замыкания нечеткого отношения.

Транзитивным замыканием отношения называется отношение, определяемое следующим образом:

где отношения определяются рекурсивно:

Теорема. Транзитивное замыкание любого нечеткого отношения транзитивно и является наименьшим транзитивным отношением, включающим , т.е. , и для любого транзитивного отношения , такого, что, следует.

Как следствие из данной теоремы получаем, что транзитивно тогда и только тогда, если.

Если множество содержитэлементов, то имеем

В случае, когда рефлексивно, имеем

Весьма полезным фактором является то, что -уровеньтранзитивного замыкания нечеткого отношения совпадает странзитивным замыканием соответствующего -уровня:

Заметим, что при транзитивном замыкании нечеткого отношения в общем случае сохраняются лишь некоторые свойства отношения. Такими свойствами являются рефлексивность, симметричность, линейность и транзитивность.