Математическое описание шумов и помех

Шумы и помехи.При детектировании сигналов в сумме с основным информационным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы - шумы и помехи различной природы. К помехам относят также искажения информационных сигналов при влиянии дестабилизирующих факторов на процессы измерений, как, например, температуры на датчики измерений, каверн в стенках скважины на измерения в радиометрических методах каротажа, грозовых разрядов на электроразведочные методы измерений и т.п. Выделение информационных составляющих из зарегистрированных сигналов или максимальное подавление шумов и помех в информационном сигнале при сохранении его полезных составляющих является одной из основных задач первичной обработки сигналов (результатов наблюдений).

Если помехи известны и регулярны, как например, фон переменного тока, то борьба с ними особых затруднений не представляет. Наибольшие трудности представляет борьба со случайными (непредсказуемыми) помехами. В общей форме влияние помех на регистрируемый сигнал записывается в следующем виде:

y(t) = V(s(t), q(t)), (39)

где s(t) – информационная (полезная) часть сигнала, q(t) – помеха.

Помеха называется аддитивной, и обычно именуется шумом, если выражение (39) представляет собой простую сумму сигнала и помехи:

y(t) = s(t) + q(t). (40)

Если случайный процесс v(t), оказывающий влияние на сигнал, является неотрицательным, а его влияние выражается в форме:

y(t) = v(t)·s(t), (41)

то помеху v(t) называют мультипликативной.

В общем случае в сигнале могут присутствовать оба вида помех:

y(t) = v(t) s(t) + q(t).(42)

Природа помех.Как правило, случайные шумовые помехи (аддитивные) порождаются различного рода физическими флуктуациями – случайными отклонениями тех или иных физических величин от своих средних значений. Природа флуктуаций обычно определяется статистической природой физических процессов.Многие физические величины представляют собой результаты усреднения определенных параметров физических процессов, дискретных и случайных по своей природе. Так, например, тепловой шум регистрируемого напряжения на резисторах электрических цепей обуславливается флуктуациями теплового движения носителей зарядов - случайностью процесса дрейфа отдельных электронов по резистору, по суммарной интенсивности движения которых и формируется падение напряжения на резисторе. Дискретной и стохастической является природа ионизирующих видов излучения. Флуктуации физических величин, дискретных и случайных по своей природе, принципиально неустранимы, и речь может идти только о том, чтобы уменьшать их относительную величину имеющимися в нашем распоряжении средствами.

Природа мультипликативных помех обычно связана с изменениями условий измерений, параметров каналов передачи данных и систем их обработки, т.е. когда случайные помехи или дестабилизирующие факторы накладываются не на сам сигнал непосредственно, а на системы, в которых этот сигнал формируется и обращается, вызывая опосредствованные искажения сигнала, как линейные, так и нелинейные.

Характеристики помех.В математическом описании помехи представляются случайными функциями времени. Случайную функцию непрерывного времени обычно называют случайным процессом, ее дискретный аналог – случайной последовательностью. Как правило, помехи относятся к классу стационарных случайных процессов, и характеризуются своими распределениями и числовыми параметрами моментов распределений. Основное распределение большинства шумовых сигналов – нормальное (гауссов процесс). Это объясняется тем, что распределение сумм независимых случайных величин, из которых складываются случайные помехи, сходится к нормальному, вне зависимости от характера распределения слагаемых (теорема Ляпунова).

Момент первого порядка выражает среднее значение (постоянную составляющую) случайного процесса:

M{q} = =q·p(q) dq, (43)

где p(q) – плотность вероятностей значений q.

Центральный момент второго порядка определяет дисперсию процесса:

D{q} = ²=(q-)²·p(q) dq = -². (44)

Дисперсия выражает мощность переменной составляющей процесса. Корень квадратный из значения дисперсии, т.е. значение , является средним квадратическим значением разброса случайных значений q относительно среднего значения .

Смешанный момент второго порядка называется функцией автокорреляции случайного процесса q(t):

M{q(t)q(t+)} =x₁x₂·p(x₁,x₂) dx₁ dx₂ = B(). (45)

Величина B() при  = 0 равна общей мощности случайного процесса q(t).

На практике большинство случайных процессов обладают свойством эргодичности. Оно заключается в том, что средние значения (математические ожидания) моментов распределения по множеству реализаций, вычисляемые по плотностям распределений (43 - 45), совпадают со значениями по времени Т одной реализации процесса при Т . Это позволяет производить оценку числовых значений параметров помех непосредственно по произвольным интервалам [a, b] задания сигналов:

= q(t) dt. (46)

²= (q(t)-)² dt (q(t)-)² dt. (47)

B()= q(t)q(t+) dt q(t)q(t+) dt. (48)

Спектральная плотность мощности случайного процесса (распределение мощности помех и шумов по частоте) связана с функцией автокорреляции преобразованием Фурье. В одностороннем (физическом) представлении спектра:

B(f)= 4B()cos2πfd. (49)

B()=B(f)cos2πfd. (50)

Аддитивную помеху с равномерным спектром B(f) = B₀ = const называют белым шумом.Мощность белого шума в полосе частот 0-F пропорциональна ширине полосы:

W_F=B(f) df = B_oF.

При белом шуме полоса частот всегда полагается конечной, т.к. в противном случае мы получим бесконечную мощность шумов.

Сигнал с аддитивной помехой обычно характеризуют не абсолютной мощностью помехи, а отношением средних мощностей сигнала и помехи, которое кратко называют отношением сигнал/помеха:

=W_c/W_q.

Значения случайных процессов являются некоррелированными только при неограниченной полосе частот. Любое ограничение частотной полосы вносит определенную корреляцию в процесс и независимыми друг от друга можно считать только значения процесса, отстоящие друг от друга как минимум на интервал корреляции _o:

_o= (2/W_F)B(t) dt = 1/2F.

Линейные системы. Любые преобразования сигналов сопровождаются изменением их спектра и по характеру этих изменений разделяются на два вида: линейные и нелинейные. К нелинейным относят изменения, при которых в составе спектра сигналов появляются новые гармонические составляющие. При линейных изменениях сигналов изменяются амплитуды и/или начальные фазы гармонических составляющих спектра. Оба вида изменений могут происходить как с сохранением полезной информации, так и с ее искажением. Это зависит не только от характера изменения спектра сигналов, но и от спектрального состава самой полезной информации.

Линейные системы составляют основной класс систем обработки сигналов. Термин линейности означает, что система преобразования сигналов должна иметь произвольную, но в обязательном порядке линейную связь между входным сигналом (возбуждением) и выходным сигналом (откликом). В нелинейных системах связь между входным и выходным сигналом определяется произвольным нелинейным законом.

Система считается линейной, если в пределах установленной области входных и выходных сигналов ее реакция на входные сигналы аддитивна (выполняется принцип суперпозиции сигналов) и однородна (выполняется принцип пропорционального подобия).

Принцип аддитивности требует, чтобы реакция на сумму двух входных сигналов была равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности:

T[a(t)+b(t)] = T[a(t)]+T[b(t)].

Принцип однородности или пропорционального подобия требует сохранения однозначности масштаба преобразования при любой амплитуде входного сигнала:

T[c  a(t)]= c  T[a(t)].

Другими словами, отклик линейной системы на взвешенную сумму входных сигналов должен быть равен взвешенной сумме откликов на отдельные входные сигналы независимо от их количества и для любых весовых коэффициентов, в том числе комплексных.

При программной реализации линейных систем на ЭВМ особых затруднений с обеспечением линейности в разумных пределах значений входных и выходных сигналов, как правило, не возникает. При физической (аппаратной) реализации систем обработки данных диапазон входных и/или выходных сигналов, в котором обеспечивается линейность преобразования сигналов, всегда ограничен и должен быть специально оговорен в технической документации или методической инструкции.

Основные системные операции.К базовым линейным операциям, из которых могут быть сформированы любые линейные операторы преобразования, относятся операции скалярного умножения, сложения и сдвига сигналов:

Рисунок 23 – Графика системных операций

y(t) = b  x(t),

y(t) = a(t)+b(t),

y(t) = x(t-t).

Графическое отображение операций (цифровая форма) приведено на рисунке 23.

Отметим, что операции сложения и умножения являются линейными только для аналоговых и дискретных сигналов. В случае цифровых сигналов они линейны относительно самих цифровых сигналов, но если последние - результат операции амплитудно-цифрового преобразования, то сложение и умножение не может считаться линейным абсолютно точно по отношению к исходным сигналам.

Для систем, с размерностью 2 и более существует также еще одна базовая операция, которая называется операцией пространственного маскирования, которая может рассматриваться как обобщение скалярного умножения. Так, для двумерных систем:

z(x,y) = c(x,y)u(x,y),

где u(x,y) – двумерный входной сигнал, c(x,y) – пространственная маска постоянных (весовых) коэффициентов. Пространственное маскирование представляет собой поэлементное произведение значений сигнала с коэффициентами маски.

Инвариантность систем к сдвигу.Система называется инвариантной к сдвигу (инвариантной во времени, а равно и по любым другим аргументам), если сдвиг входного сигнала по аргументам вызывает соответствующий сдвиг выходного сигнала:

s(x,t) = T[a(x,t)], T[a(x-x,t-t)] = s(x-x,t-t).

Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами систем и не определяют друг друга. Так, например, операция квадратирования сигнала (возведения в квадрат всех значений сигнала) инвариантна к сдвигу, но нелинейна.

Линейная цифровая фильтрацияявляется одной из операций ЦОС, имеющих первостепенное значение, и определяется как

s(k) =h(n) y(k-n), (53)

где: h(n), n=0, 1, 2, … , N – коэффициенты фильтра, y(k) и s(k) – вход и выход фильтра. Это по сути свертка сигнала с импульсной характеристикой фильтра.

Рисунок 24 – Трансверсальный цифровой фильтр.

На рисунке 24 показана блок-схема фильтра, который в таком виде широко известен, как трансверсальный (z – задержка на один интервал дискретизации).

К основным операциям фильтрации информации относят операции сглаживания, прогнозирования, дифференцирования, интегрирования и разделения сигналов, а также выделение информационных (полезных) сигналов и подавление шумов (помех). Основными методами цифровой фильтрации данных являются частотная селекция сигналов и оптимальная (адаптивная) фильтрация.