Свойства неубывающих функций:

1. пусть F – неубывающая функция на отрезке [a,b], c₁, c₂, c₃, , c_n[a,b] – любые точки из этого отрезка. Тогда .

2. множество точек разрыва неубывающей на отрезке [a,b] функции не более чем счётно.

Будем говорить, что функция F непрерывна слева в точке x₀, если для любого  >0 существует  >0 такое, что для всех x, x₀–  x  x₀ верно неравенство |F(x₀)–F(x)| <  .

Пусть, как и при построении меры Лебега, X = [a,b) – фиксированный полуинтервал, S  (X) – полукольцо, порождённое системой полуинтервалов [,)  [a,b). Пусть на [a,b) задана неубывающая ограниченная функция F(x). Определим меру элемента полукольца m_F = F()–F() = _F [,).

Теорема. Для того, чтобы мера m_F была -аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы порождающая её функция F(x) была непрерывной слева.

Пусть K(S) – кольцо, порождённое полукольцом с единицей S. Тогда для всех AK(S) имеет место представление:

A =, A_i  S.

Соответствующее продолжение меры на K(S) задаётся формулой: _F (A) =.

Пусть – внешняя мера, построенная по мере m_F, заданной на алгебре K. Продолжение меры m_F на -алгебру  измеримых относительно меры m_F множеств называется мерой Лебега-Стилтьеса, построенной по неубывающей функции F.

Очевидно, что _F – конечная полная мера. Если F(x) = x, то мера Лебега-Стилтьеса совпадает с мерой Лебега .

Примеры решения задач

Задача 1. Пусть X=[0,1[[0,1[, S – полукольцо прямоугольников, принадлежащих , вида T_ab=[a,b[[0,1[. Положим m(T_ab) = b–a. Найти внешнюю меру множества и выяснить, является ли оно измеримым. Описать явный вид лебеговского продолжения меры.

Решение. По определению внешняя мера А

^*(A)=, где любой элемент полукольца S имеет вид , т.е. полностью определяется своей проекцией на ось OX. Чтобы покрыть множество А элементами , необходимо и достаточно покрыть проекцию этого множества на ось OX полуинтервалами . Поэтому внешняя мера множества А в данном случае совпадает с внешней мерой проекции этого множества на ось OX.

,

;

и .

Следовательно, множество А неизмеримо. Из приведенных выше рассуждений видно, что множество будет измеримым тогда и только тогда, когда оно будет иметь вид   [0,1[ и   [0,1[ – измеримо по Лебегу.

Задача 2. Пусть X= [0,1[[0,1[, S={[a,b[[c,d[X}, m([a,b[[c,d[) = = (b-a)(d-c). Вычислить внутреннюю и внешнюю меры множества .

Решение. По определению

^*(A)=, A, т.е. прямоугольники, , где k=0, 1, 2,, n-1, образуют для каждого n покрытие множества А. Имеем:

^*(A) .

Величина S_n является верхней суммой Дарбу для функции f(x)=1–x на отрезке ,соответствующей разбиению отрезка на n частей. Для функции f существует интеграл Римана, поэтому

.

Переходя к пределу при n в неравенстве ^*A  S_n, которое выполняется для всех n, получим ^*A¹/₂. С другой стороны ^*(X\A), т. к. X \ A  , и ^*(X \ A) .

Поэтому _* A = mX–^* (X \ A)  1–¹/₂ = ¹/₂. Имеем:

.

Задача 3. Пусть , – полукольцо, F:XR – неубывающая непрерывная слева на Х функция. Определим на меру Лебега-Стилтьеса равенством: .

Описать класс измеримых подмножеств из Х, найти меру Лебега-Стилтьеса каждого множества А, если

Решение. Из определения меры _F на полукольце S следует, что , если полуинтервал не содержит точку x = 0, и , если . Распространим меру _F на минимальное кольцо K(S). Если A  K(S), то , A_i = [_i,_i[. Поэтому если 0A, то 0 [_i,_i[ для всех i = и . Если , то найдётся только один полуинтервал , содержащий x = 0, с мерой 1, и . Следовательно, мера каждого элемента кольца равна либо 0, либо 1. Поскольку F(x) непрерывна слева, то _F -аддитивна и допускает продолжение.

С этой целью найдём вначале внешнюю меру множества . По определению

(A)=,

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям множества элементами полукольца .

Если , то, рассматривая покрытия (0,1) = , имеем . Поскольку ^*A  _*A, то измеримо относительно меры _F и его мера равна нулю. В силу полноты меры будет измеримым и любое подмножество интервала (0,1) и его мера будет также равна нулю.

Если рассмотреть одноточечное множество , то для каждого его покрытия множествами имеется хотя бы одно из них, содержащее точку x = 0. Поэтому и . Далее, пользуясь покрытием [-1,1[  {0}, получаем, что . Таким образом, .

Рассмотрим теперь произвольное множество . Из свойств монотонности внешней меры следует, что , если A  (0,1) или A  [-1,0). Если же {0}  A, то . Рассматривая в этом случае покрытие [-1,1[, имеем . Следовательно, если {0}  A, то .

Покажем теперь, что произвольное множество измеримо относительно меры Лебега-Стилтьеса. Действительно, A  (0,1) или A [-1,0), то и оно измеримо. Если же {0}  A, то из неравенства , справед-ливого для каждого  > 0, заключаем, что множество А _F-измеримо, .

Задача 4. Пусть X = R², S = {_kn=[k, k+1[[n, n+1[: k, n  Z}, (_kn)=1. Найти внешнюю меру множества

.

Будет ли множество А измеримым?

Решение. Множество Х является пространством с -конечной мерой, т.к. X=, , здесь .

По определению множество А измеримо, если измеримо A₁=A₁₁, A₂ = A ₂₁, A₃ = A ₃₁, тогда A₁ = {0  x < 1, y = 1}; A₂={1 x < 2, y = 1}; A₃ = {x = 2, y = 1}.

По определению ^*(A₁) =, тогда , т.к. покрытие, на котором достигается точная нижняя грань, образует множество ₁₁, , . Поэтому A₁, и, следовательно, A не измеримо. Очевидно, что ^*(A) = 3, т.к. покрытие A состоит из ₁₁, ₂₁, ₃₁.

Задача 5. Каково строение и какая мера точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.

Решение. Это множество строится следующим образом: делим отрезок [0,1] на десять равных частей и выбрасываем полуинтервал [0.4, 0.6]. Затем каждый из оставшихся восьми полуинтервалов делим на десять равных частей и выбрасываем в каждом из них соответствующий полуинтервал [0,n₁4; 0,n₁6[, где n₁ = 0,1,2,3,6,7,8,9 и т.д. Данное множество нигде не плотно, каждая его точка является предельной, т.е. множество является совершенным. Вычислим меру выбрасываемых промежутков, посчитав тем самым меру дополнения к искомому множеству:

.

Следовательно, мера точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5, равна 0.

Задача 6. Найти меру множеств

1) 2)

Решение. 1) Представим множество А в виде объединения попарно непересекающихся интервалов. Для этого выясним, начиная с какого номера n интервалы будут пересекаться. Заметим, что для всех n, и поэтому интервалы не могут быть вложены друг в друга. Решая неравенство , находим n  3. Поэтому представим А в виде , где ,

, , тогда .

2) Пусть .

Множество В борелево и поэтому измеримо. Множество Q счётное и имеет меру нуль, значит . Множества – непересекающиеся при любом .

Согласно свойству -аддитивности меры: . Таким образом, .

Задача 7. Вычислить меру множества А:

,

где a > 0 – фиксированное число.

Решение. Множество A  R² открыто и поэтому измеримо. Множество А рассматривается в пространстве с -конечной мерой, поэтому построим возрастающую последовательность множеств .

Тогда .

.

Задание 1. Пусть , . Найти внешнюю и внутреннюю меры множеств и выяснить, измеримы ли они.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

Задание 2. Пусть X =[-2,2[, ={[a,b[X}, – её продолжение по Лебегу.

а) Найти меру множества, состоящего из одной точки.

б) Выяснить, является ли множество А измеримым, найти его меру.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. A=[0,³/₄];

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. A=[-1,2);

Задание 3. Описать структуру множества A  [0,1] и найти его меру.

3.1. Множество точек отрезка [0,1], состоящее из чисел, у которых в десятичной записи цифра 2 встречается раньше, чем цифра 3.

3.2. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в бесконечную десятичную дробь фигурируют все цифры 1,2,…9.

3.3. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых содержит хотя бы одну цифру 3.

3.4. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых возможно без цифр 4 и 5.

3.5. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 3,3,3.

3.6. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают разложение в десятичную дробь без использования цифры 7.

3.7. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых не содержит цифры 2.

3.8. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых содержит цифру 5 только один раз.

3.9. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в двоичную дробь на всех чётных местах стоят нули.

3.10. Множество точек отрезка [0,1], в разложении которых в двоичную дробь на всех нечётных местах стоят единицы.

3.11. Множество точек отрезка [0,1], троичное представление которых не содержит цифры 3.

3.12. Множество точек отрезка [0,1], троичное представление которых не содержит цифры 0.

3.13. Множество точек отрезка [0,1], десятичное представление которых невозможно без цифры 4.

3.14. Множество точек отрезка [0,1], которые допускают десятичное разложение без комбинации стоящих рядом цифр 2,2,2,2.

Задание 4. Доказать, что множество измеримо и найти его меру.

4.1. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек, декартовы и полярные координаты которых иррациональны.

4.2.

4.3. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что - иррационально.

4.4.

4.5.

4.6. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что .

4.7.

4.8.

4.9.

4.10. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что .

4.11. Множество точек единичного квадрата на плоскости, состоящее из точек таких, что .

4.12.

4.13.

4.14.