Тема 1. Кольца, полукольца, мера на полукольце

Пусть задано некоторое непустое множество Х. Непустое семейство называется кольцом, если оно обладает тем свойством, что из АK и ВK следует АВK, АВK.

Утверждение 1. Пусть KP(X) – кольцо. Тогда для любых А, ВК выполнено АВ K и А\В K.

Таким образом, кольцо множеств есть система множеств, замкнутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности. Любое кольцо содержит пустое множество Ø, так как всегда А\A=Ø. Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

Кольцо K называется алгеброй, если ХK. Х в этом случае называется единицей кольца.

Утверждение 2. Пусть непустая система K Р (Х) и K  Ø обладает свойствами:

1) АK САK;

2) А, ВK АВK.

Тогда K является алгеброй.

Кольцо множеств называется -кольцом, если оно вместе с каждой последовательностью множеств А₁, А₂,… содержит и их счетное объединение, т.е. . -алгеброй называется -кольцо с единицей.

В теории меры часто приходится расширять произвольную систему множеств до кольца (алгебры) или -кольца.

Теорема 1. Для любой непустой системы множеств S существует одно и только одно кольцо K(S), содержащее S и содержащееся в любом кольце K, содержащем S.

Непустая система SР(Х) подмножеств множества Х называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что если А, В S, то найдется конечная система С₁,…,С_n попарно непересекающихся множеств из S, что А\В=.

Отметим, что если S – полукольцо множеств, то для А, ВS элементы А\В и в общем случае не будут принадлежать S.

Теорема 2. Пусть S – полукольцо, тогда минимальное кольцо K(S), порожденное S, состоит из непересекающихся конечных объединений множеств из S, т.е. .

Пусть на некотором множестве Х задано полукольцо SР(Х). Будем говорить, что на S задана мера, если каждому элементу АS поставлено в соответствие вещественное число m(A)R таким образом, что выполнены следующие условия:

1) AS : m(A) 0;

2) если , A, A_iS, то .

Таким образом, мера есть числовая функция множества S, но не является отображением из Х в R.

Свойства меры на кольце

1. монотонность меры. Если А, ВK и АВ, то m(A) m(B);

2. если А, ВК и А В, то m(B\A) = m(B)-m(A);

3. если А, ВK, то m(AB) = m(A)+m(B)-m(AB);

4. если А, ВK, то m(AB) =m(A)+m(B)-2m(AB);

5. для любых множеств А, ВK выполняется |m(A)-m(B)| m(AB);

6. для любых множеств А, В, С K имеет место следующее неравенство: m (AB) m(AC)+m(CB).

Мера m называется счетно-аддитивной (σ-аддитивной), если для любых А₁, А₂, … S таких, что , A S выполнено .

7. счетная полуаддитивность меры. Пусть А₁, А₂,… K и , АK и пусть мера m – σ-аддитивна, тогда .

Теорема 3. Длина является σ-аддитивной мерой на полукольце S, состоящем из полуинтервалов вида [a;b[.

Меру m, заданную на кольце K, называют непрерывной сверху, если для любой возрастающей последовательности множеств А₁А₂… такой, что , где А, А_i K справедливо равенство .

Меру m, заданную на кольце K, называют непрерывной снизу, если для любой убывающей последовательности множеств А₁А₂… такой, что , А, А_iK справедливо равенство .

Если мера непрерывна сверху, то она непрерывна снизу и наоборот. Будем называть меру непрерывной, если она непрерывна сверху или снизу.

Теорема 4. Мера m, заданная на кольце K, является σ-аддитивной тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Примеры решения задач

Задача 1. Пусть Z – множество целых чисел. Задает ли данная формула меру на Р(Z), если Ø, если А содержит только отрицательные числа.

Решение. μ не является мерой, т.к. NP(Z) и μ(N)=, т.е. μ не является отображением P(Z) в R.

Задача 2. Пусть Х – произвольное множество. Выяснить, является ли мерой на Р(Х) cледующая функция множеств: μ(Ø)=0; , где – фиксированная последовательность.

Решение. μ является отображением из P(X) в R, т.к. ряд сходится, но не является мерой, потому что не выполнено условие положительности μ. Если множество А содержит только x₂, то μ(А) = –0,25.

Задача 3. Пусть Х = [-1;1[, F : XR и F(x)=sgn x, S – полукольцо, порожденное системой полуинтервалов {[a, b[, -1 a < b <1}. Определим на S функцию μ по формуле μ ([a, b[) = F(b)-F(a). Является ли μ σ-аддитивной мерой.

Решение. Функция F является неубывающей, ограниченной, имеющей одну точку разрыва х = 0. Следовательно, F порождает меру. Покажем, что мера μ не является σ-аддитивной. Рассмотрим полуинтервал [^-1₂,0[ и представим его в виде счетного объединения попарно непересекающихся полуинтервалов:

.

Тогда μ ( [-½, 0[ ) = F(0) –F(-½) = 0 – (–1) = 1.

Далее рассмотрим ряд

.

Составим последовательность частичных сумм этого ряда S_n=F(a_n) – F(a₁) = (–1) – (–1) = 0. Следовательно, , но

Итак, мы получили, что . Тем самым доказано, что мера μ не является σ-аддитивной. Обратим внимание, что функция F не является непрерывной слева.

Задача 4. Пусть , S – совокупность дуг, содержащихся в X, замкнутых слева и открытых справа , h(x, y) – неотрицательная, непрерывная на прямоугольнике [0, 2π]  [0, 1] функция. Пусть функция, заданная на [0,2π]. Положим

.

Задает ли F σ-аддитивную меру.

Решение. Функция F как интеграл Римана с переменным верхним пределом является неубывающей, непрерывной слева, следовательно, μ является σ-аддитивной мерой.

Задача 5. Пусть Х={a, b, c, d}, кольцо K=P(X). Определить на K меру так, чтобы μ({a})=10, μ({a, b})=100.

Решение. Для любого множества AP(X) определим меру по формуле

где – количество элементов во множестве А. Простым перебором показывается, что μ – аддитивная функция.

Задача 6. Пусть μ – мера, заданная на кольце множеств K. Доказать, что если для A, BK и μ(АВ) = 0, то μA = μB.

Доказательство. Воспользуемся свойством меры: . Следовательно, , т.е. μA = μB.

Задание 1. Образуют ли кольцо, σ-кольцо, алгебру, полукольцо следующие системы множеств:

1. Все ограниченные множества на прямой;

2. Все конечные множества на прямой;

3. Все счетные множества на прямой;

4. Все конечные множества натуральных чисел;

5. Все ограниченные замкнутые (компактные) множества на прямой;

6. Все всюду плотные множества в R;

7. Все множества, дополнения к которым конечны в R;

8. Все множества, дополнения к которым счетны в R;

9. Все компактные множества в R²;

10. Все выпуклые множества на плоскости;

11. Все множества, инвариантные относительно вращения вокруг начала координат;

12. Множество всех многоугольников на плоскости;

13. Все множества на плоскости, инвариантные относительно растяжений и сжатий;

14. Все конечные подмножества некоторого множества Х.

Задание 2. Пусть Х={a, b, c}, S = P(X). Построить, если возможно, меру на S так, чтобы:

1. m({a}) = 2, m({a, b}) = 5, m({a, b, c}) = 8;

2. m({b}) = 2, m({b, c}) = 6, m({a, b, c}) = 7;

3. m({c}) = 1, m({a, c}) = 5, m({c, b}) = 8;

4. m({a}) = 1, m({a, c}) = 4, m({a, b, c}) = 5;

5. m({b}) = 2, m({a, b}) = 3, m({a, b, c}) = 4;

6. m({c}) = 1, m({b, c}) = 4, m({a, c}) = 6;

7. m({a, b}) = 2, m({b, c}) = 4, m({a, c}) = 6;

8. m({a, c}) = 5, m({c, b}) = 6, m({a, b}) = 8;

9. m({c}) = 3, m({a, c}) = 5, m({b, c}) = 4;

10. m({b, c}) = 5, m({a, c}) = 5, m({a, b, c}) = 10;

11. m({a, b}) = 2, m({b, c}) = 6, m({a, b, c}) = 8;

12. m({b}) = 1, m({b, c}) = 2, m({a, b, c}) = 5;

13. m({a, c}) = 5, m({a, b}) = 7, m({a, b, c}) = 8;

14. m({c}) = 3, m({b, c}) = 4, m({a, c}) = 5.

Задание 3. Пусть Х=N. K – кольцо, состоящее из конечных подмножеств N. Задает ли данная формула меру на K?

3.1. ; 3.2. ;

3.3. ; 3.4. ;

3.5. ; 3.6. ;

3.7. – среднее арифметическое;

3.8. – среднее геометрическое;

3.9. ; 3.10. ;

3.11. – среднее квадратическое;

3.12. – среднее гармоническое;

3.13. ; 3.14. ,

где – количествово элементов множества А.

Задание 4. Пусть Х=[-1;1[, S = {[a,b[X}, m([a,b[) = F(b) –F(a). При каких значениях параметра  эта формула задает меру, σ-аддитивную меру. Если мера не является σ-аддитивной, то указать полуинтервал [,  [ и его разбиение такое, что .

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.