Тема 5. Интеграл Лебега-Стилтьеса, функции с ограниченным изменение

1. Заряды. Функции с ограниченным изменением.

Пусть задано измеримое пространство (X, ). Отображение  : R называется зарядом (или знакопеременной мерой), если () = 0 и функция  счётно-аддитивна, т. е. из разложения , , , следует, что .

Мы рассматриваем заряды, принимающие лишь конечные значения.

Пример 1. Пусть – пространство с мерой ,  – -кольцо измеримых подмножеств из X, – функция, интегрируемая на X. Тогда функция множества

(1)

является зарядом.

Пример 2. Пусть на X заданы две меры ₁ и ₂ их разность, очевидно, является зарядом.

Пусть – заряд, заданный по формуле (1). Обозначим . Получаем представление

(2)

Так как на множестве функция f положительна, то и, значит, – мера. Аналогично является мерой. Получаем представление заряда в виде разности двух мер.

Измеримое множество называется положительным (отрицательным) относительно заряда , если для любого измеримого подмножества , . Пустое множество является и положительным и отрицательным. Положительные (отрицательные) множества образуют – алгебру.

Теорема 1. Для любого заряда , заданного на -алгебре существуют такие непересекающиеся множества и , что , где – положительное, – отрицательное множества.

Следствие. Для любого заряда  существуют меры ₁ и ₂, обладающие свойством , называемым сингулярностью, что

Рассмотрим подробнее заряды на -алгебре, порожденной полуинтервалами на отрезке . Каждому заряду  (как и мере) поставим в соответствие функцию g. Опишем класс функций на , которые соответствуют зарядам. Построение заряда аналогично построению меры Лебега-Стилтьеса по неубывающей функции.

Функция называется функцией ограниченной вариации (ограниченного изменения), если существует , что для любого разбиения отрезка справедливо неравенство

Наименьшая из констант c, при которых справедливо неравенство, называется вариацией функции g на и обозначается . По определению

,

где верхняя грань берется по множеству разбиений.

Основные свойства функций ограниченной вариации

1. сумма и произведение двух функций ограниченной вариации являются также функциями ограниченной вариации;

2. если , то

3. функция f имеет ограниченную вариацию на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда она представима на этом отрезке в виде разности двух неубывающих функций.

4. множество точек разрыва для функции ограниченной не более чем счетно.

Теорема 2. Функция соответствует некоторому заряду по формуле g(t)=(a, t) тогда и только тогда, когда а) g – функция ограниченной вариации; б) ; в) g – непрерывна слева.

Определение. Заряд называется абсолютно непрерывным относительно меры , если из следует .

Заряд, заданный формулой (1), является абсолютно непрерывным.

Теорема (Радона-Никодима). Если заряд абсолютно непрерывен относительно меры , то существует интегрируемая по мере функция f такая, что для всех . Эта функция называется производной заряда по мере .