prikl_stat_konspekt_tereschenko

Функция плотности распределения непрерывной случайной величины явля-

ется первой производной функции распределения: f (x)= F′(x) = dF (x)dx . Свойства функции плотности распределения:

1)f (x)≥ 0 для всех −∞ ≤ x ≤ +∞;

2)+∞∫ f (x)dx =1;

−∞

3) P(u ≤ X ≤ v)= ∫v f (x)dx ;

u

4) F (u)= ∫u f (x)dx .

−∞

Тема 12. Основные теоретические распределения

Основные теоретические распределения, используемые в социальных науках: нормальное распределение (Гаусса), t-распределение Стьюдента, F-распределение Фишера, распределение χ2 («хи-квадрат»).

Если распределение известно, вероятности, связанные с ним, можно исчислять с помощью теоретических таблиц, представляющих собой результаты интегрирования функции плотности данного распределения по всей области его определения. Учитываются также свойства распределенийю

Свойства нормального распределения. Нормальное распределение имеет форму симметричного колокола. Расположение его центра на действительной оси задается параметром μ (математическое ожидание, −∞ < μ < +∞). Протяженность и, соответственно, форма определяются параметром σ (стандартное отклонение, σ > 0 ): распределение находится в пределах интервала μ ± 4σ . Ввиду бесконечного числа возможных нормальных распределений теоретическая таблица рассчитана для стандартного нормального распределения Z (0,1) с параметрами μ = 0 , σ =1. Переход от произвольного нормального распределения осуществляется по формуле z-оценок: z = (x − μ)σ ; обратный переход по формуле: x = zσ + μ .

Свойства t-распределения Стьюдента. Распределение Стьюдента t(df )

симметрично относительно 0, его форма определяется параметром df (число степеней свободы, целочисленное, положительное).

Свойства распределения χ2 (df ). Распределение имеет форму асимметричного колокола с длинным правым «хвостом», расположенного в положительной части действительной оси. Форма распределения зависит от числа степеней свободы df (целочисленное, положительное).

Свойства F-распределения Фишера. Распределение Фишера

ет форму асимметричного колокола с длинным правым «хвостом», расположенного в положительной части действительной оси. Форма распределения определяется двумя параметрами – числами степеней свободы df1 и df2 (целочисленные, положительные). При этом выполняется равенство Fα =1F1−α .

Тема 13. Оценивание параметров генеральной совокупности. Репрезентативность выборки

Параметром генеральной совокупности называется его любая количест-

венная характеристика. Аналогичная характеристика выборки называется выборочной статистикой. Точные значения параметров генеральной совокупности, как правило, неизвестны, их необходимо оценивать, используя для этого значения выборочных статистик.

Следствие из Центральной предельной теоремы: если из бесконечной генеральной совокупности с математическим ожиданием μ и стандартным отклонением σ извлечь бесконечное число случайных выборок одного и того же объема n , то выборочное среднее арифметическое будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием μ и стандартным отклоне-

нием σ n .

Этот теоретический результат позволяет оценить значения параметров генеральной совокупности и ошибку выборки.

Оценивание параметров генеральной совокупности

Точечной оценкой параметра генеральной совокупности называется функ-

ция от выборки, позволяющая приблизительно оценить значение параметра. Этому критерию удовлетворяют, в частности, выборочные статистики, многие из которых с успехом используются в качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности: μ ≈ x , σ ≈ s , pген ≈ pвыб и т.п.

Точность точечных оценок является достаточно неопределенной. Поэтому чаще применяется интервальное оценивание параметров генеральной сово-

купности (в первую очередь, математического ожидания μ и вероятности p ). Математическое ожидание μ с заданной доверительной вероятностью 1 −α

находится в интервале x ± Z1−α 2 ×SE или, что то же самое:

P(x − Z1−α2 ×SE;< μ < x + Z1−α2 ×SE) =1 −α ,

где SE = σ n – стандартная ошибка среднего арифметического, вычисляется по выборке,

– доверительный коэффициент, зависящий от выбранного уровня дове-

рительной вероятности, определяется по таблице стандартного нормального распределения. В частности:

Вероятность положительного ответа pген (для дихотомической перемен-

ной) с заданной доверительной вероятностью 1 −α находится в интервале pвыб ± Z1−α2 ×SE или P( pâûá − Z1−α 2 ×SE; pâûá + Z1−α 2 ×SE) =1 −α , где pвыб – доля по-

ложительных ответов, вычисленная по выборке.

Репрезентативность выборки

Ошибкой выборки называется разносить между значениями выборочной статистики и параметра ГС: = x − μ (для дихотомической переменной

= pвыб − pген ). Она измеряется в тех же единицах, что и переменная

Если точное значение параметра неизвестно, то нельзя вычислить и точное значение ошибки выборки. В этом случае ее необходимо оценить статистически с помощью доверительного интервала.

Доверительным интервалом для ошибки выборки называется интервал, в

который она попадает с заданной доверительной вероятностью 1 −α :

≤ Z1−α 2 ×SE или P(−Z1−α 2 ×SE ≤ ≤ +Z1−α 2 ×SE) =1 −α .

Таким образом, репрезентативность выборки определяется двумя количественными параметрами: доверительной вероятностью 1 −α и ошибкой выборки, которая при заданной доверительной вероятности не должна превысить предварительно оговоренную величину.

Обеспечить репрезентативность может объем выборки, вычисленный по

формуле: n = z 2−α σ 2 2 ,

1 2 äîï

где z1−α 2 – доверительный коэффициент, соответствующий доверительной

вероятности 1 −α (см. стр. 12); σ2 – дисперсия генеральной совокупности (нуждается в предварительной оценке);

äîï – предельно допустимая ошибка выборки, заданная исследователем.

Тема 14. Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется утверждение относительно параметров генеральной совокупности, сформулированное по определенным правилам. Любая содержательная гипотеза может быть сформулирована в виде статистической.

Статистическая гипотеза состоит из двух утверждений. Первое утверждение, постулирующее отсутствие различий между частями генеральной совокупности или связи между переменными, называется нулевой гипотезой и обозначается H 0 . Во втором утверждении, которое называется альтерна-

тивной гипотезой и обозначается H1 , формулируется наличие определенных различий между структурными частями генеральной совокупности или связи между переменными.

Статистическая гипотеза формулируется в терминах параметров генеральной совокупности с использованием отношений равенства ( H 0 ) и нера-

венства – не равно, больше, меньше ( H1 ).

Альтернативные гипотезы, в соответствии с используемым отношением неравенства, делят на двусторонние ( ≠ ) и односторонние (<, >); односторонние альтернативные гипотезы, в свою очередь, можно разделить на левосто-

ронние (<) и правосторонние (>).

Проверка статистической гипотезы состоит в том, чтобы по данным вы-

борочного исследования сделать вывод, следует ли в отношении генеральной совокупности принять нулевую гипотезу или отклонить ее в пользу альтернативной. При этом нулевая гипотеза считается справедливой до тех пор, пока не будет найдено убедительное подтверждение того, что она не верна.

Решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы принимается в соответствии с критерием, который строится на основе специально подобранной для каждой нулевой гипотезы численной функции ω . Функция ω вычисляется по выборке и называется статистикой критерия.

Поскольку решение (принять или отклонить H 0 ) принимается на основе

выборки, оно может быть как правильным, так и ошибочным. При этом возможны два типа ошибок. Ошибка, заключающаяся в том, чтобы по данным выборки отклонить нулевую гипотезу, которая на самом деле верна, называется ошибкой первого рода; ее вероятность обозначается буквой α . Ошибка, состоящая в том, чтобы принять нулевую гипотезу, которая на самом деле не верна, называется ошибкой второго рода; ее вероятность обозначается буквой β (табл.).

Проблема заключается в том, что с уменьшением вероятности ошибки I рода увеличивается вероятность ошибки II рода и наоборот. Эту проблему учитывают при разработке критериев, благодаря чему исследователь, не являющийся профессиональным статистиком, может на практике руководствоваться простым правилом: При проверке статистической гипотезы фиксируют некоторое малое значение α (α=0.10, 0.05, 0.01) и надеются, что β также будет мало. Фиксированное значение α называется уровнем значимости.

Процедура проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы сравнить вычисленное по выборке значение критерия с границей критической области: если вычисленное значение попадает в критическую область, принимается альтернативная гипотеза H1 ; если нет, принимается нулевая гипотеза H0 . Выбор критерия для проверки гипотезы и критической области

осуществляется в соответствии с нижеследующими таблицами.

Некоторые статистические критерии для проверки гипотез*

Сравнение выборочного среднего арифметического с числом

Сравнение средних арифметических двух независимых выборок с равными дисперсиями (одновыборочный t -критерий)

* Источник: Статистические методы анализа информации в социологических исследованиях / отв. ред. Г.В. Осипов. – М., 1979.

Сравнение дисперсий двух независимых выборок

Сравнение дисперсий двух зависимых (связанных) выборок

Сравнение доли положительных ответов с числом

Сравнение доли положительных ответов в двух выборках