algebra.1semestr.lectures1-16

Теорема 95. Любую матрицу элементарными преобразованиями строк можно привести к виду Гаусса.

Доказательство. Приведем нашу матрицу A к ступенчатому виду. Домножая строки на ненулевые числа (то есть используя элементарные преобразования 2-го типа) можно добиться, чтобы все лидеры были равны 1. Теперь, используя преобразования 1-го типа и фиксированный лидер, можно обнулить все элементы над ним (почему ничего не испортит-

Следующую теорему мы примем без доказательства.

Предложение 96. Вид Гаусса данной матрицы единственен. В частности A »r B если и только если матрицы A и B имеют одинаковый вид Гаусса.

Итак, вид Гаусса это самый простой (канонический) вид матрицы, которого можно достигнуть элементарными преобразованиями строк.

11. Лекция 10

L10

11.1. Системы линейных уравнений. Рассмотрим следующий пример системы линейных уравнений (СЛУ):

Если мы подставим x = 1; y = 1, то каждое уравнение обратится в равенство. Итак, (1; 1)решение этой СЛУ. С другой стороны, если взять x = 4; y = ¡1, то второе уравнение не превращается в равенство, поэтому пара (4; ¡1) не является решением.

В этой СЛУ два уравнения и два неизвестных. В общем случае мы рассмотрим СЛУ с n неизвестными x¹ = (x1; : : : ; xn) и m уравнениями:

31

Здесь aij, bk действительные или комплексные числа. Матрица A = (aij) (размера m £ n) называется матрицей системы, а числа bk называются свободными членами. Нетрудно видеть (проверьте!), что СЛУ (¤) может быть переписана в виде

m£(n+1) называется расширенной матрицей системы. Работать с расширенной матрицей гораздо удобнее, чем с самой СЛУ.

Предложение 97. Если к A b применить элементарное преобразование, то множество решений СЛУ не изменится.

Доказательство. По очереди рассмотрим три типа элементарных преобразований.

1)Перестановка строк матрицы равносильна изменению порядка записи уравнений нашей системы, что очевидно не меняет ее множества решений.

2)Умножение i-ой строки матрицы на ненулевое число ¸ умножает i-ое уравнение системы на ¸. Поскольку такое уравнение эквивалентно исходному (имеет то же множество решений), то и полученная СЛУ эквивалентна исходной.

3)Рассмотрим элементарное преобразование вида Ri + ¸Rj, i 6= j, то есть к i-ой строке добавляется j-ая умноженная на ¸. При этом i-ое уравнение системы fi(¹x) = bi заменяется уравнением (fi + ¸fj)(¹x) = bi + ¸bj (а все остальные уравнения не меняются). Покажем, что при такой замене множество решений системы сохраняется.

Предположим, что набор чисел x¹ = (x1; : : : ; xn) является решением исходной системы (¤). Тогда он заведомо удовлетворяет всем уравнениям, кроме может быть i-го, новой СЛУ. Поскольку fi(¹x) = bi и fj(¹x) = bj, то fi(¹x) + ¸fj(¹x) = bi + ¸bj, то есть i-ое уравнение новой системы превращается в равенство.

Предположим теперь, что x¹ решение новой СЛУ и докажем, что x¹ является решением исходной СЛУ (¤). Достаточно проверить, что x¹ удовлетворяет уравнению fi(¹x) = bi. Действительно, рассматривая i-е и j-ое уравнения новой СЛУ, получаем (fi + ¸fj)(¹x) = ¸bi + bj

и fj(¹x) = bj. А теперь вычтем из первого уравнения ¸-кратное второго. ¤

Из этого предложения вытекает естественный подход у решению СЛУ приведем матрицу A b элементарными преобразованиями строк к наиболее простому виду и решим

32

получившуюся СЛУ. Ее множество решений совпадает с множеством решений исходной системы. В этом и состоит суть следующего метода, называемого методом Жордана–Гаусса, или методом исключения неизвестных.9

11.2. Метод Жордана–Гаусса. Итак, приведем расширенную матрицу СЛУ (¤) к улучшенному ступенчатому виду и рассмотрим получившуюся СЛУ. Возможны два случая.

Случай 1. Матрица A b содержит на одну ступеньку больше, чем матрица A.

Тогда уравнение, соответствующее этой ступеньке, имеет вид 0 = bj, где bj лидер последней ступеньки, то есть bj =6 0. Итак, наша система уравнений не имеет решений, то есть она несовместна.

В оставшемся случае все решения системы получаются так. Назовем переменные соответствующие лидерам (то есть звездочкам на диаграмме) связанными, а оставшиеся неизвестные свободными. Тогда свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, а (после конкретного выбора этих значений) связанные переменные определяются однозначно.

Проиллюстрируем работу этого метода на примере.

¡

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.

Ã!

R1¡2R2 1 0 3=5 8=5

¡¡¡¡¡!

0 1 ¡4=5 1=5

Запишем по этой матрице СЛУ, эквивалентную исходной:

(x1 +3=5x3 = 8=5 x2 ¡4=5x3 = 1=5

9Этот метод является основой всех современных алгоритмов для решения больших систем линейных уравнений, которые возникают в прикладных задачах (размеры таких систем достигают десятков тысяч). Замечательным является то, что описание этого метода (фан-чэн) содержится в знаменитом китайском трактате "Математика в девяти книгах" датируемым I-ым веком н.э. Поскольку вычисления тогда производились, используя доску и счетные палочки, то практическая реализация этого метода выглядела как настоящая работающая вычислительная машина!

33

Тогда переменные x1; x2 являются связанными, а оставшаяся переменная x3 свободной. Придавая этой переменной произвольное значение t, получаем общее решение нашей системы.

8

>x = 8=5 ¡ 3=5t

> 1

<

>x2 = 1=5 + 4=5t

>

:x3 = t :

Например, подставляя t = 1, получаем частное решение x1 = 1; x2 = 1; x3 = 1. Смысл формулы общего решения состоит в том, что любое решение нашей СЛУ получается из нее при выборе подходящего значения для параметра t. 10

Следующее следствие в частности показывает, что данная СЛУ не может иметь ровно 2 решения.

Следствие 98. Любая система линейных уравнений либо 1) несовместна, либо 2) имеет ровно одно решение, либо 3) имеет бесконечное число решений.

Доказательство. Действительно, случай 1) соответствует первому случаю из анализа метода Гаусса. В случае 2) все ступеньки имеют длину 1, то есть свободные переменные отсутствуют. Если имеется хотя бы одна свободная переменная, то, придавая ей произвольные значения, мы получаем бесконечное количество решений. ¤

11.3. Определители. В этом параграфе для любого n ¸ 1 мы определим (линейную) функция detn из множества Mn квадратных матриц над R (или C) в поле R (соответственно C), то есть мы припишем любой квадратной матрице A число det A, ее определитель (или

детерминант).

Если A = (a) матрица размера 1 £ 1, то положим det A = a.

a11a22 ¡ a12a21 (разность произведения элементов на главной диагонали и на второй диаго-

система с двумя уравнениями и двумя неизвестными такая, что ¢ = jAj 6= 0. Мы покажем, что эта система имеет единственное решение задаваемое формулой

(то есть в числителе дроби мы сначала заменяем первый столбец матрицы A столбцом свободных членов, а затем второй столбец.)

10Нетрудно видеть, что эта формула задает прямую в трехмерном пространстве.

34

Действительно, исключим из нашей СЛУ вторую неизвестную, домножив первое уравнение на a22 и вычтя из него второе уравнение домноженное на a12. Получим (a11a22 ¡ a21a12)x1 = a22b1 ¡a12b2, откуда и вытекает первая часть формулы. Вторая часть формулы проверяется аналогично.

Предположим теперь, что A квадратная матрица 3-го порядка. Введем ее определитель используя следующее правило:

Итак, мы берем произведения троек элементов лежащих либо на прямой, либо образующих треугольник, и приписываем этим произведениям знак плюс или минус:

det A = a11a22a33 + a12a31a23 + a13a21a32 ¡ a11a23a32 ¡ a12a21a33 ¡ a13a22a31 :

Нетрудно видеть, что это определение согласуется с уже рассмотренными случаями n = 1; 2; 3.

Свойства определителя.

В этом параграфе мы изучим поведение определителя матрицы при элементарных преобразованиях строк. Рассмотрим сначала элементарное преобразование первого типа.

ij Теорема 99. Если B получена из A переменой i-ой и j-ой строк, то det A = ¡ det B.

Доказательство. Ясно, что aik = bjk, ajl = bil для всех чисел k; l; и все остальные элементы матриц A и B совпадают. Для определенности предположим, что i < j. Распишем одно слагаемое из определения det A:

a1;¼(1) : : : ai;¼(i) : : : aj;¼(j) : : : an;¼(n) = = (¡1)"(¼)b1;¼(1) : : : bj;¼(i) : : : bi;¼(j) : : : bn;¼(n) :

Рассмотрим перестановку ¾ = (ij)¼. Тогда ¾(i) = ¼(j), ¾(j) = ¼(i) и ¾(k) = ¼(k) для всех k =6 i; j, следовательно последнее выражение равно

(¡1)"(¾)+1b1;¾(1) : : : bj;¾(j) : : : bi;¾(i) : : : bn;¾(n) =

35

b1;¼(1) : : : bi;¼(i) : : : bn;¼(n) = a1;¼(1) : : : ¸ai;¼(i) : : : an;¼(n) =

= ¸ ¢ a1;¼(1) : : : ai;¼(i) : : : an;¼(n) :

Итак, ¸ выносится как множитель у любого такого монома, что и дает нужное заключение. ¤

Заметим, что это утверждение верно и при ¸ = 0. Отсюда сразу заключаем (объясните почему!)

Следствие 102. Если матрица A содержит нулевую строку, то det A = 0.

Следствие 103. Если одна строка матрицы A пропорциональна другой, то det A = 0.

Доказательство. Пусть j-я строка aj получается из i-ой строки ai умножением на скаляр lam

¸. По предложению 101 получаем

Пусть A и B матрицы у которых все строки, кроме i-ой, совпадают. Тогда через A+i B обозначим матрицу с теми же элементами вне i-ой строки, и i-ая строка которой равна сумме i-ых строк A и B.

sum Предложение 104. det(A +i B) = det A + det B.

Доказательство. Если C = A +i B, то cik = aik + bik для любого k, и cls = als = bls для l 6= i.

Для произвольного монома из определения det C имеем

36

37

12.1. Миноры и алгебраические дополнения. Пусть A квадратная матрица порядка n и k · n. Выберем k различных строк с номерами ^{ = fi1; : : : ; ikg и k различных столбцов с номерами |^ = fj1; : : : ; jkg. Тогда определитель k £ k матрицы образованной элементами на пересечении этих строк и столбцов называется минором M^{;|^ матрицы A.

Например, если k = n, то соответствующий минор равен определителю A. Определитель же оставшейся (после вычеркивания строк с номерами из ^{ и столбцов с

номерами из |^) (n¡k)£(n¡k) матрицы, взятый со знаком (¡1)i1+¢¢¢+ik+j1+¢¢¢+jk , называется

алгебраическим дополнением этого минора и обозначается A^{;|^.

Например, если n = 2 и A = ( aa1121 aa1222 ), то M1;1 = a11, A1;1 = (¡1)1+1a22 = a22 и M1;2 = a12,

A1;2 = (¡1)1+2 a21 = ¡a21.

Если n = 3, то M1;1 = a11 и A11 = (¡1)1+1 j aa2232 aa2333 j = a22a33 ¡ a23a32.

Заметим, что если ^{ = i и |^ = j состоят из одного символа, то Mi;j = aij, и знаки (¡1)i+j, приписываемые алгебраическим дополнениям, располагаются в "шахматном порядке", начиная с плюса в левом верхнем углу.

Предложение 108. (о разложении определителя по строке). Если A n £ n матрица, то для любого i выполняется

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ¢ ¢ ¢ + ainAin :

Кроме того, для любого j имеем

det A = a1jA1j + a2jA2j + ¢ ¢ ¢ + anjAnj :

Итак, в первом случае все элементы i-ой строки последовательно умножаются на их

38

Более общий результат, который мы не будем доказывать, принадлежит Лапласу.

Теорема 110. Пусть A квадратная матрица порядка n и выберем произвольные k строк ^{ матрицы A. Тогда определитель A равен сумме произведений M^{;|^ ¢ A^{;|^, где |^ пробегает все k-элементные наборы столбцов.

Применим эту теорему к вычислению определителя произведения матриц.

prod Теорема 111. Если A и B квадратные матрицы, то det(AB) = det A ¢ det B.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную 2n £ 2n матрицу

Для вычисления определителя этой матрицы сначала применим теорему Лапласа к ее первым n строкам. Единственный ненулевой минор находится в первых n столбцах и равен det A, а соответствующее алгебраические дополнение равно (¡1)1+¢¢¢+n+1+¢¢¢+n det B = det B. Итак, det C = det A ¢ det B.

С другой стороны нетрудно проверить, что элементарными преобразованиями строк мы можем совершить следующее "большое" элементарное преобразование

следовательно определитель последней матрицы равен det C. Но, применяя теорему Лапласа к первым n строкам последней матрицы, получаем

Ã!

Действительно, 1 + 2 + ¢ ¢ ¢ + 2n = (2n + 1)=2 ¢ 2n = (2n + 1)n и det(¡In) = (¡1)n. Поэтому суммарная степень равна (2n + 1)n + n = (2n + 2)n четное число.

39

Например, это "большое" элементарное преобразование строк для 2£2 матриц выглядит так:

¤

12.2. Обратная матрица. Пусть A квадратная матрица порядка n. Мы скажем, что (квадратная) матрица B является обратной к A, если AB = BA = In. Итак, B обратная к A, если B обратный элемент к A в алгебре матриц (Mn; ¢) (по умножению). Мы знаем, что если обратный элемент существует, то он единственен. Обратная к A матрица обозначается

A¡1.

Следующее предложение дает простой критерий обратимости матрицы.

¡

где ¢ = ad ¡ bc =6 0.

Предложение 113. Пусть A и B обратимые матрицы одинакового порядка. Тогда матрица AB обратима и (AB)¡1 = B¡1A¡1.

40