Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

а полученную неопределенность / можно раскрыть по правилу

/

3.5.3. Несколько замечаний по применению правила Лопиталя

Первое знакомство с правилом Лопиталя сопряжено с опасностью, во-первых, в переоценке его значимости и, во-вторых, в возможности сделать ошибку при невнимательном его применении. В свое время это правило произвело значительное впечатление на специалистов; в современной математике оно оценивается скромнее.

Иллюзию о всемогуществе правила Лопиталя (или Штольца) можно развеять следующим примером.

Пусть f(x) 1 x2 , à g(x) x. Тогда при x . / выражение

После однократного применения правила Штольца получим

а это есть первоначальная дробь. Таким образом, формальные повторные применения правила Штольца последовательно пере-

252

ворачивают первоначальную дробь, сохраняя неопределенность. Но, как легко видеть,

Опасность сделать ошибку при использовании правила Лопиталя кроется в следующем. Теоремы 1, 2, 3 имеют существенное требование: должен существовать предел отношения производ-

íûõ lim f (x) . Только при выполнении этого условия можно

Последний предел в полученной цепочке равенств не сущест-

вует. Следовательно, правило Лопиталя в данном случае применять нельзя, а первое равенство из (*), которое, как указывалось выше, предварительно носит лишь условный характер, на самом

деле неверно.

253

Подчеркнем еще раз, что, например, в цепочке равенств

первые 9 равенств сначала имели условный характер, но они стали действительными равенствами только тогда, когда мы убеди-

Отметим, наконец, следующий важный момент, необходимый для правильного понимания правила Лопиталя. При однократном его применении возникают четыре логически возможных случая, приведенные в табл. 3.4.

Случай (I) соответствует как раз правилу Лопиталя; случай (II) в действительности невозможен, так как из существования предела отношения производных следует существование предела отношения функций; случай (III) встречается в действительности (см. пример 7), он как раз и таит в себе опасность сделать по-

спешный вывод о том, что lim f(x) не существует; случай (IV)

g(x) x, но в этом случае одно лишь утешает — неверный метод (применяется правило Лопиталя тогда, когда оно неприменимо) ведет к правильному ответу.

В заключение напомним, что прежде чем применить правило Лопиталя (Штольца), необходимо убедиться в том, что отношение

254

3.5.4. Раскрытие неопределенностей других типов

Кроме неопределенностей типа 0 и , встречаются еще сле- 0

дующие неопределенности:

à) 0 ; á) ; â) 1 ; ã) 00; ä) 0.

Смысл указанных неопределенностей понятен. Например, неопределенность 0 означает, что ищется lim (f(x) g(x)), ãäå lim f(x) 0, à lim g(x) .

Нужно предостеречь читателя от распространенной ошибки, когда любую комбинацию, составленную из 0 и , считают неопределенностью. Например, выражения 0 или неопределенностями не являются.

Все перечисленные выше неопределенности путем алгебраиче-

ских преобразований сводятся к неопределенностям типа 0 èëè 0

. Рассмотрим, например, произведение f(x) g(x), ãäå f(x) 0, à

g(x) ïðè x a, т. е. имеем неопределенность типа 0 .После очевидных преобразований

Указанные выше неопределенности типов в), г) и д) сводятся к неопределенности 0 при помощи логарифмирования, так как во всех трех случаях

ln f(x)g(x) g(x) ln f(x)

представляет собой неопределенность 0 .

Пример 8. Найти lim xp ln x ( p 0).

x 0 0

Данное выражение является неопределенностью типа 0 .

255

представляет собой уже неопределенность типа . По теореме 3

Заметим, что сведение данной неопределенности к неопреде-

ленности типа 0 нецелесообразно, так как после однократного 0

применения правила Лопиталя неопределенность сохраняется, даже получается выражение более сложное, чем исходное. Действительно,

Очевидно, мы имеем дело с неопределенностью типа 00. Пусть y xx, тогда ln y x ln x. Последнее произведение есть не-

определенность типа 0 при x 0 0. Так как на основании предыдущего примера

С помощью правила Лопиталя (Штольца) легко найти следующие известные нам пределы, часто встречающиеся на практике, которые желательно помнить:

256

x 0 0

3.5.5. Замечание об обращении правила Лопиталя

Как указывалось выше (теорема 2), если существует предел

отношения производных lim f (x)

x g (x)

предел отношения функций lim f(x) k (понятно, при выпол-

x g(x)

нении условий теоремы 2).

Но обратное утверждение выполняется не всегда. При некоторых дополнительных требованиях такое обращение возможно. Мы приведем только одну частную теорему подобного характера.

Теорема (Харди — Литтвуда). Пусть f(x) дважды дифференцируема на промежутке [0, ), причем

отношения производных, причем lim f (x) k.

x

Дополнительное условие (**) свидетельствует о том, что колебания производной f (x) ïðè x довольно быстро затухают. О существенности условия (**) свидетельствует следующий

ного, так как требование (**) в данном случае не выполняется.

257

3.6. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ

3.6.1. Определение конечных разностей

Если аргументу x придать приращение x, то функция f(x) получит приращение

f(x) f(x x) f(x),

которое мы будем называть разностью первого порядка при данном значении õ. Разностью второго порядка при данном значе- нии õ называют разность от первой разности, то есть

2f(x) ( f(x)) [f(x x) f(x)] [f(x 2 x) f(x x)]

[f(x x) f(x)] f(x 2 x) 2f(x x) f(x).

Аналогично

3f(x) ( 2f(x)) f(x 3 x) 3f(x 2 x) 3f(x x) f(x).

Вообще, разностью ï-ãî порядка функции f(x) при данном значении x называют

nf(x) ( n 1f(x)) n 1f(x x) n 1f(x).

Методом математической индукции легко показать, что

nf(x) f(x n x) Cnn 1f(x (n 1) x) Cnn 2f(x (n 2) x)

Cnn 3f(x (n 3) x) ... ( 1)n kCnn kf(x k x) ... ( 1)nf(x)

или, в сокращенной записи,

n

nf(x) ( 1)kCnn kf(x (n k) x).

k 0

3.6.2. Определение производных через конечные разности

Установим связь между конечными разностями и производными функций.

Известно, что первая производная определяется через разность первого порядка:

f (x) lim f(x) .

x 0 x

258

Производные n-го порядка (n 1) мы определяли через производные (n 1)-го порядка. Естественно возникает вопрос: нельзя

ли определить производную n-го порядка непосредственно как предел некоторого соотношения, подобно случаю первой производной? Оказывается, что это можно сделать, если воспользоваться соответствующими конечными разностями.

Теорема 1. Åñëè f(x) имеет непрерывную производную n-го порядка f(n) (x) в некоторой окрестности точки x0, òî

Замечание. Иной раз предел lim nf(x0 ) называют обобщен-

x 0 ( x)n

ной производной n-го порядка функции f(x) в точке x0. Если производная f (n) (x0 ) существует, то обобщенная производная совпадает с f (n) (x0 ). Но может случиться, что указанный предел, т. е. обобщенная производная n-го порядка существует, а производная f (n) (x0 ) не существует.

Например, рассмотрим функцию

259

Производная второго порядка в точке x 0 не существует. Действительно, выражение

3 x cos 1 sin 1

xx

не имеет предела при x 0. В то же время вторая обобщенная производная в точке x 0 существует. В самом деле,

Аналогичным образом можно определить и дифференциалы высшего порядка через соответствующие конечные разности функции. Например, если разность второго порядка 2f(x0 ) можно представить в виде

2f(x0 ) B ( x)2 o(( x)2 ),

ãäå B не зависит от x, то слагаемое B ( x)2 есть дифференциал функции второго порядка в точке x0, ò. å. d2f(x0 ) B ( x2 ).

В заключение сформулируем теорему Шварца, связывающую свойство линейности функции со второй обобщенной производной.

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на интервале (a, b) и ее обобщенная вторая производная равна нулю на этом интервале, òî f(x) — линейная функция.

Понятно, если существует вторая производная на интервале (a, b) è f (x) 0 x (a, b), то утверждение теоремы очевидно. Однако, как показано выше, обобщенная производная может существовать даже тогда, когда f (x) не существует.

3.6.3. О разрывах производной

Пусть f(x) дифференцируема на интервале (a, b), тогда она непрерывна на этом интервале. Однако сама производная f (x) не обязательно должна быть непрерывной. В качестве простейшего

260

примера, реализующего указанную ситуацию, рассмотрим функцию

Как известно (пример 20 п. 3.1.13), f(x) всюду имеет производную, причем

f (x) 2x sin 1 cos 1 , åñëè x 0, à f (0) 0. x x

Òàê êàê lim f (x) не существует, то производная f (x) имеет

x 0

разрыв в точке x 0, оставаясь непрерывной при всех õ, отлич- ных от нуля. Чтобы наглядно представить себе это парадоксальное поведение производной в окрестности точки x 0, рассмотрим график функции y f(x) (ñì. ðèñ. 3.5 ï. 3.1.5).

y x2 è y x2, касаясь по очереди этих кривых. И хотя при

x 0 амплитуда колебаний уменьшается, однако волны не становятся при этом более пологими. Угловой коэффициент касатель-

вательности xn(1) è xn(2) стремятся к нулю, то в любой окрестности

точки x 0 есть точки, где производная принимает значения 1 и1, следовательно, предел f (x) ïðè x 0 не существует.

Таким образом, мы имеет пример дифференцируемой функции, производная которой в точке x 0 имеет разрыв второго типа. Возникает вопрос: может ли производная иметь точки разрыва первого типа или устранимый разрыв? Ответ на поставленный вопрос дает следующее утверждение, доказываемое на основании теоремы Лагранжа.

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), то ее производная f (x) не может иметь на этом интервале ни то- чек устранимого разрыва, ни точек разрыва первого типа, ина- че говоря, производная f (x) или непрерывна в каждой точке интервала, или имеет разрывы только второго типа.

261