Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

Очевидно, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, так как (3.30) следует из (3.31) при g(x) x. В свою очередь, из теоремы Лагранжа, если потребовать выполнения дополнительного условия f(a) f(b), следует теорема Ролля. Таким образом:

(теорема Коши) (теорема Лагранжа) (теорема Ролля).

Заметим, что первые требования в теоремах Ролля, Лагранжа и Коши о непрерывности функций на отрезке [a, b] можно осла-

бить, потребовав непрерывность функций лишь в точках a è b соответственно справа и слева, поскольку непрерывность функции на интервале (a, b) является следствием их дифференцируемости

(второе требование теорем). Здесь и в последующем мы не ставим себе целью расчленять условия теорем на взаимно независимые предположения.

Теорему Ролля легко получить из второй теоремы Вейерштрасса (см. п. 2.18.2) и теоремы Ферма. Доказательство теорем Лагранжа и Коши приведено в п. 3.4.6 (примеры 5 и 6).

3.4.2. Комментарий к теореме Ролля

Заметим, что теорема, сформулированная выше первой, на самом деле Роллю не принадлежит. Ролль сформулировал одну общую алгебраическую теорему для многочленов, из которой следует, что между двумя нулями (корнями) многочлена существует нуль (корень) его производной. Это утверждение является весьма частным случаем теоремы, если f(x) — многочлен. Более того, Ролль, современник Ньютона и Лейбница, считал дифференциальное исчисление логически противоречивым и поэтому, понятно, не мог высказать «теорему Ролля».

Геометрический смысл теоремы вполне очевиден, ибо она утверждает, что на графике функции y f(x) существует точка M(c, f(c)), касательная в которой параллельна оси OX (âåäü f (c)

есть тангенс наклона касательной к оси OX).

Физическая интерпретация теоремы. Пусть материальная точка движется по прямой и ее координата в момент времени x åñòü f(x). Так как условие f(a) f(b) устанавливает тот факт, что за промежуток времени [a, b] мы возвращаемся в первоначальное положение, то, очевидно, должен существовать момент времени, когда движение останавливается, чтобы повернуть назад, т. е. в

232

некоторый момент x c скорость f (c) 0. В приведенной интерпретации существенно, что движение происходит по прямой, а не, например, по окружности, которую можно обойти с постоянной скоростью и вернуться в исходное положение.

Существенность условий теоремы Ролля. Все условия теоремы Ролля являются существенными. Действительно, на рис. 3.13 изображены графики трех функций на отрезке [a, b], у которых не существует точки c (a, b), где производная f (c) 0, ибо не выполняются соответственно первое (b — точка разрыва (рис. 3.13, à)), второе (f (c) — не существует (рис. 3.13, á)) и третье (f(a) f(b) (ðèñ. 3.13, â)) условия теоремы Ролля.

Ðèñ. 3.13: b — точка разрыва; f (c) — не существует; f(a) f(b)

Вместе с тем отметим, что условия теоремы Ролля не являются необходимыми для существования точки ñ, ãäå f (c) 0. Например, функция

рассмотренная на отрезке [ 2, 1], непрерывна только в точке x0 0, дифференцируема только в этой точке, причем f( 2) f(1), однако производная f (x0 ) 0.

Заметим, наконец, что при выполнении условий теоремы Ролля, может существовать несколько точек (или даже бесконечное множество точек), где производная равна нулю. Простейший пример — f(x) const. В общем случае теорема утверждает лишь существование по крайней мере одной точки ñ, но не дает никаких рекомендаций, как ее найти.

233

3.4.3. Комментарий к теореме Лагранжа

Формула (3.30) была получена Лагранжем в 1797 г. Часто ее удобно использовать в несколько ином виде. Пусть x0 [a, b], à x — произвольное приращение аргумента, но такое, что x0 x [a, b]. Тогда, пользуясь теоремой Лагранжа, можем записать

f(x0 x) f(x0 ) f (c) x,

где точка ñ лежит между x0 è x0 x. Заметим, что полученное

соотношение справедливо как при x 0, тогда x0 c x0 x, òàê è ïðè x 0, тогда x0 x c x0. Легко видеть, что точку ñ,

хотя и не известную нам, можно представить в виде

c x0 x, где 0 1, причем зависит от x.

Таким образом, формула Лагранжа приобретает следующий вид:

В полученном представлении (3.32) формулу Лагранжа называют формулой конечных приращений, поскольку она связывает

приращение функции f(x) f(x0 x) f(x0 ) с соответствующим приращением аргумента x.

Следует отметить, что в отличие от приближенного равенства (см. п. 3.2.6)

f(x0 ) f (x0 ) x

формула конечных приращений

f(x0 ) f (x0 x) x (0 1) является точной.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что на графике функции y f(x) существует точка M(c, f(c)) такая, что касательная к графику в этой точке будет параллельна хорде, соединяющей точки A(a, f(a)) è B(b, f(b)). В самом деле,

угловой коэффициент хорды равен f(b) f(a) , а угловой коэффи- b a

циент касательной есть f (c).

Может существовать только одна точка Ì, в которой касательная параллельна хорде (рис. 3.14, a), таких точек может быть несколько (рис. 3.14, á) или их может быть бесконечное множество (весь отрезок P1P2, ðèñ. 3.14, â). Очевидно, что в част-

ных случаях, когда f(x) const èëè f(x) — линейная функция, в качестве точки ñ можно взять любую точку интервала (a, b).

234

Ðèñ. 3.14

Физический смысл теоремы Лагранжа. Åñëè x интерпретировать как время, а f(b) f(a) — как величину перемещения за время b a частицы, движущейся вдоль прямой, то формула Лагранжа (3.30) означает, что скорость f (x) частицы в некоторый момент времени ñ такова, что если бы в течение всего промежутка времени [a, b] движение осуществлялось с постоянной скоростью f (c), то частица сместилась бы на ту же величину f(b) f(a). Величину f (c) естественно назвать средней скоростью движения за промежуток [a, b]. Как и в теореме Ролля, в приведенной интерпретации существенно, что движение происходит по прямой.

Существенность условий теоремы Лагранжа. Все условия теоремы Лагранжа являются существенными (см. рис. 3.13, à, á). Однако эти условия, как и в теореме Ролля, не являются необходимыми, что иллюстрируется следующим примером:

Для этой функции при a 1, b 1, c 0 формула Лагранжа имеет место, хотя f(x) непрерывна и дифференцируема только в одной точке x 0.

Еще один вариант теоремы Лагранжа. Рассмотрим еще один вариант формулы Лагранжа. Если известны границы изменения производной f (x) на интервале (a, b), например

m f (x) M x (a, b),

то из формулы Лагранжа мгновенно следует двойное неравенство

m(b a) f(b) f(a) M(b a).

По отношению к полученному неравенству формула Лагранжа имеет преимущество разве лишь в красоте и элегантности, но

235

не имеет никаких преимуществ по сути и практической ценности. Дело в том, что, как указывалось выше, теорема утверждает лишь существование точки ñ, но не дает никаких рекомендаций о ее положении на интервале (a, b).

Обобщение формулы Лагранжа. Известно обобщение формулы конечных приращений, принадлежащее Стилтьесу.

Пусть f(x) è g(x) удовлетворяют условиям теоремы Лагранжа на отрезке [a, b]. Определим число À из равенства

Рассмотрим вспомогательную функцию

Очевидно, что (a) (b) 0. Тогда по теореме Ролля существует точка c (a, b) такая, что (c) 0 èëè

(мы воспользовались правилом дифференцирования определителя, пример 7 п. 3.1.9). Отсюда находим À:

f(a) g(a)

A .f (c) g (c)

Таким образом, получаем следующую обобщенную формулу конечных приращений:

В частном случае, когда g(x) 1, имеем

f(a) f(b) f (c) (b a),

т. е. обычную формулу Лагранжа.

236

О равенстве односторонних производных и односторонних пределов производных. Как простое следствие теоремы Лагранжа докажем следующее утверждение.

Утверждение. Åñëè f(x) непрерывна на отрезке [x0, x0 h], имеет производную f (x) äëÿ x x0 и, кроме того, существует

lim f (x), то в точке x0 существует правосторонняя производная

x x0 0

f (x0 ), причем f(x0 0) f (x0 ).

В самом деле, при 0 x h имеем, согласно формуле (3.32),

f(x0 x) f(x) f (x0 x).

x

Переходя к пределу в этом равенстве при x 0, получим требуемое, так как предел правой части существует и равен

f (x0 0) по допущению, а предел левой части есть f (x0 ).

Аналогичное утверждение имеет место и для левосторонней окрестности точки x0.

3.4.4. Комментарий к теореме Коши

Эту теорему Коши привел в дополнение к своему курсу лекций для студентов Политехнической школы*.

Условие теоремы Коши g (x) 0 x, гарантирующее неравенство g(a) g(b), можно ослабить, заменив требованием f 2 (x) g 2 (x) 0, но тогда необходимо дополнительное условие

g(a) g(b).

Если же формуле Коши придать вид

[f(b) f(a)] g (c) [g(b) g(a)] f (c),

то требование g (x) 0 в таком случае становится излишним. Теорема Коши позволяет найти оценку абсолютной погреш-

ности приближенной формулы (см. формулу (3.19) п. 3.2.6)

получающейся при замене приращения функции в точку x0 ее дифференциалом df(x0 ).

Пусть R(x) — ошибка, возникающая при вычислении значе- ния f(x) с помощью указанной приближенной формулы, т. е.

R(x) f(x) f(x0 ) f (x0 )(x x0 ).

* Ñì.: Êîøè Î. Ë. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении. СПб., 1831.

237

Потребуем дополнительно существования второй производ-

Дифференцируем равенство (3.34) и получаем f (x) f (x0 )

R (x), откуда R (x0 ) 0.

Повторное дифференцирование дает f (x) R (x).

Применим теперь формулу Коши F(x) F(x0 ) F (c) , â êîòî-(x) (x0 ) (c)

рой положим F(x) R(x), (x) (x x0 )2. Тогда, учтя равенства F(x0 ) (x0 ) 0, получим

ãäå t лежит между x0 è x.

Применив снова теорему Коши, положив на этот раз F(t) R (t),

(t) 2(t x0 ) è ó÷òÿ, ÷òî R (x0 ) 0, (x0 ) 0, получим, что существует точка , лежащая между x0 è t, для которой

Таким образом,

В частности, если | f (t) | M äëÿ âñåõ t, то для погрешности приближенной формулы (3.33) получаем оценку

Аналогичным путем можно обобщить доказанное соотношение

f(x) f(x0 ) f (x0 )(x x0 ) f ( ) (x x0 )2 2

238

и с помощью формулы Коши получить для дифференцируемой n раз функции одну из важнейших формул математического анализа — формулу Тейлора:

оценку погрешности (3.35), нужно оценить при малых | h | вторую производную

òàê êàê (1 h)1 h - 1. Легко видеть, что при 1 h 0 величи-

239

3.4.5. Замечание о промежуточных пунктах в формулах Лагранжа и Коши

Как уже отмечалось выше, в формуле Лагранжа

f(x) f(x0 ) f ( )(x x0 )

и в формуле Коши

f(x) f(x0 ) f ( ) g(x) g(x0 ) g ( )

положение промежуточных пунктов и нам не известно и нет никаких средств указать их для любых функций f(x) è g(x). Мы знаем только, что и обязательно существуют и находятся между x è x0. Если фиксировать, например, в формуле Лагранжа x

è x0, а выбирать различные функции f(x), то им будут соответствовать, вообще говоря, разные значения . Поэтому нельзя полу- чить формулу Коши как простое следствие теоремы Лагранжа следующим путем:

Мы преобразовали числитель и знаменатель по формуле Лагранжа, но промежуточные точки в числителе и знаменателе могут получиться разными, т. е. при таком преобразовании мы получаем в действительности

f(x) f(x0 ) f ( 1 ) , g(x) g(x0 ) g ( 2 )

àв формуле Коши 1 2!

Âчастном случае, если f(x) — линейная функция, то в каче- стве 1 можно взять любую точку между x0 è õ. Тогда, взяв

1 2, мы получим формулу Kоши как простое следствие теоремы Лагранжа. Очевидно, таким же образом можно поступить и в случае линейности g(x).

Возникает вопрос: можно ли вообще доказать формулу Коши исходя из теоремы Лагранжа (обратная задача, как отмечалось выше, решается тривиально)? Ответ на этот вопрос положителен*.

Если фиксировать f(x) è g(x), а изменять x, то промежуточные точки и соответственно в формулах Лагранжа и Коши будут

* Ñì.: Зорич В. А. Математический анализ. М., 1971.

240

также меняться, причем закон их изменения может быть самым сложным и, на первый взгляд, противоречивым. Чтобы подтвердить эту мысль, рассмотрим следующий классический пример.

Пусть

0, åñëè x 0.

На отрезке [0, x] эти функции удовлетворяют условиям теоремы Коши, следовательно,

Устремим x 0 0, тогда 0 0, так как 0 x. Левая часть соотношения (3.36) имеет предел, причем

íóëþ: lim 2 sin 1 0. Как ведет себя второе слагаемое? Извест-

ся впечатление, что мы получили противоречие (левая часть (3.36) предел имеет, а правая — нет), что дает основание усомниться в справедливости теоремы Коши. На самом деле здесь нет

никакого противоречия. Действительно, lim cos 1 не существу-

0 0

ет, если стремится к нулю произвольным образом. Произвольным образом же в нашей ситуации стремится к нулю переменная x, а промежуточная величина может стремиться к нулю таким

специальным образом, что указанный предел lim cos 1 будет су-

0 0

ществовать. Именно такое обстоятельство и имеет место в дан-

241