Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

гда невольно вспоминаешь о непрерывных функциях без производной, придуманных математиками. На них совсем зря смотрели просто как на математические курьезы, поскольку их подсказывает опыт».

Таким образом, нет функций «плохих» или «хороших». Явления нашего сложного мира, связанные с непредсказуемостью, хаотичностью, случайностью обычно описываются как раз теми функциями (или похожими на них), которые так не нравились Эрмиту.

3.1.8. Таблица производных элементарных функций

Если, исходя из определения производной (см. п. 3.1.1), вы- числить соответствующие пределы, то получим следующую таблицу производных элементарных функций (табл. 3.1).

Таблица 3.1

182

встречаться в дальнейшем столь часто, что знание наизусть этой таблицы (òàáë. 3.1) является делом не просто полезным, а необ-

ходимым!

Замечание. Функции f(x) arcsinx è f(x) arccosx определены при | x | 1, но в точках x 1 è x 1 они не имеют производных (в данном случае речь идет об односторонних производных)

смысл. Аналогично функция f(x) xp ïðè 0 p 1 определена,

но не имеет производной (или правосторонней производной, если f(x) определена для x 0) в точке x 0, и точно так же выражение производной f (x) pxp 1 теряет смысл в этой точке. Все ос-

тальные элементарные функции имеют производные во всех точ- ках, где они определены.

Таким образом, приведенные в таблице формулы для производных простейших элементарных функций имеют место для всех точек из области определения этих функций, в которых выражение соответствующей производной имеет смысл.

183

3.1.9. Правила дифференцирования

Имеют место следующие основные правила дифференцирования, которые легко получить исходя из определения производной:

1.(u v) u v ;

2.(cu) cu , ãäå ñ — константа;

3.(uv) u v uv ;

ãäå u è v — функции переменной x, имеющие производную в точке x0, причем левая и правая части приведенных формул вы- числены в этой точке.

Говоря о важности указанных правил для практического дифференцирования, можно повторить слова, которые мы сказали о таблице производных в п. 3.1.8. Использование правил дифференцирования значительно облегчает и упрощает процесс нахождения производных.

Замечание 1. Если обозначить u(x) v(x) (x), u(x) v(x)

то в результате деления производной произведения и частного соответственно на (x) è (x) получим следующие формулы:

(x) u (x) v (x) èëè (uv) u v ;

v

Замечание 2. Указанные выше правила дифференцирования суммы и произведения распространяются на любое число слагаемых и сомножителей, т. е. имеют место следующие соотношения для любого числа n:

(u1 u2 ... un) u1 u2 ... un, (u1u2...un) u1u2...un u1u2...un ... u1u2...un

184

где функции uk uk(x), (k 1, 2, ..., n) имеют производные в точ- ке x.

a21 (x) a22 (x)

185

Используя правила дифференцирования суммы и произведения, имеем

w (x) (a11 (x) a22 (x) a12 (x) a21 (x))

[a11 (x) a22 (x) a12 (x) a21 (x)] [a11 (x) a22 (x) a12 (x) a21 (x)]

Пример 8. Найти производную определителя n-го порядка

a11 (x) a12 (x) ... a1n(x)

предполагая, что его элементы aik(x) имеют производную.

Определитель w(x) есть алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых представляет собой n множителей, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки определителя. Дифференцируя каждое слагаемое по правилу дифференцирования произведения и группируя сначала элементы, содержащие производные множителей из первой строки определителя, затем элементы, содержащие производные из второй строки, и т. д., получим

186

Таким образом, мы получили для производной представление f (x) (x a)k 1 (x), ãäå (x) k (x) (x a) (x),

причем (a) 0. А это и означает, что число à является корнем многочлена f (x) кратности k 1. Обсудим еще один вопрос. В приведенных выше правилах дифференцирования суммы u(x) v(x), произведения u(x)v(x) è

частного u(x) требовалось существование производных функций v(x)

u(x) è v(x).Возникает вопрос: а может ли существовать производная в точке x0 суммы, разности, произведения, частного функций u(x) è v(x), если, например, u (x0 ) существует, а v (x0 ) не существует либо обе функции не имеют производной в этой точке?

Рассмотрим этот вопрос для разных арифметических действий. Утверждение 1. Если в точке x0 существует производная u (x)

и не существует производная функции v (x), то сумма u(x) v(x) не имеет производной в этой точке.

Аналогичное утверждение для произведения функций уже не имеет места, т. е. произведение u(x)v(x) в указанной выше ситуации может иметь производную, а может и не иметь. Пример, соответствующий первому случаю, таков: u(x) 0, v(x) | x x0 |; второму случаю — u(x) 1, v(x) | x x0 |. Однако при дополнительном требовании u(x0 ) 0 имеем однозначное утверждение.

Утверждение 2. Если в точке x0 существует производная функции u(x), причем u(x0 ) 0, и не существует производная v (x0 ), то произведение u(x)v(x) не имеет производной в этой точке.

Доказательство проводится аналогично предыдущему, если

Замечание. Если обе функции u(x) è v(x) не имеют производной

в точке x0, то их сумма, разность, произведение и частное могут, тем не менее, иметь производную в этой точке. Соответствующие примеры легко построить, взяв в качестве u(x) функцию u(x)| x x0 |, а в качестве v(x) ëèáî v(x) | x x0 |, ëèáî v(x) | x x0 |.

188

3.1.10. Производная обратной функции

Пусть функция y f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании и непрерывности обратной функции (см. п. 2.19) и функция x f 1 (y) (y) является для нее обратной.

Теорема. Если существует f (x0 ) 0, то существует производная обратной функции в точке y0 f(x0 ), причем

т. е. производная обратной функции равна обратной величине производной функции.

Замечание 1. Чтобы подчеркнуть, что у прямой функции y f(x) аргументом является переменная x, а у обратной функ-

öèè x f 1 (y) — переменная y, условимся в следующих обозна- чениях: производную функции y f(x) по переменной x обозна- чать yx, а производную по переменной y обратной функции

dx

В последней записи обнаруживается удобство обозначений Лейбница. Действительно, формулу легко запомнить, если символы dx è dy принимать как обыкновенные числа.

Несколько слов о доказательстве теоремы. На первый взгляд кажется, что формула производной обратной функции является

x

Это действительно так. Но необходимо сначала отчетливо представить себе, что, во-первых, из строгой монотонности и непрерывности функции y f(x) в окрестности точки x0 следует

существование, непрерывность и строгая монотонность обратной функции в окрестности точки y0; во-вторых, смысл x è ó в левой и правой частях формулы разный, ибо ó в левой части —

189

произвольное приращение аргумента y функции x f 1 (y), а в правой части — ó является приращением функции y f(x), вызванным приращением аргумента x; в-третьих, если x 0, òîó также отлично от нуля (по монотонности), и наоборот. Если все эти обстоятельства установлены, то действительно остается только перейти к пределу в соотношении (3.5) при x 0, а следовательно, и ó 0 (по непрерывности).

Физическое обоснование формулы (3.3). Производная xy

функции x f 1 (y) есть скорость изменения переменной x относительно изменения y, à yx f (x) — скорость изменения переменной y относительно изменения x. Очевидно, что эти величи-

ны являются взаимно обратными, т. е. xy 1 . yx

Геометрическое обоснование формулы (3.3). Построим в точ- ке M(x0, y0 ) графика функции y f(x) касательную (рис. 3.9).

Ðèñ. 3.9

Из геометрического смысла производной следует, что f (x0 )tg , а производная обратной функции x f 1 (y) в соответствующей точке y0 f(x0 ) равна тангенсу наклона той же каса-

190

Замечание 2. Пусть f (x) определена в окрестности точки x0 è f (x0 ) 0. Тогда можно доказать следующее утверждение: если f (x) меняет знак в точке x0, ò. å. ïðè x x0 è ïðè x x0 производ-

íàÿ f (x) имеет значения разных знаков, то функция y f(x) не имеет обратной; если же f (x) сохраняет знак в окрестности точ- ки x0, то обратная функция существует, но в соответствующей точке y0 ее производная бесконечна.

3.1.11. Производная сложной функции — правило цепочки

Пусть функция x (t) определена в некоторой окрестности точки t0, а функция y f(x) определена в окрестности точки x0, ãäå x0 (t0 ), и имеет смысл сложная функция f( (t)).

Теорема. Если функция y f(x) имеет производную в точке x0, а функция x (t) имеет производную в точке t0, причем(t0 ) x0, то сложная функция F(t) f( (t)) имеет производную в точке t0 è

Замечание 1. Формула (3.6 ) представляется вполне естественной, если воспользоваться обозначениями Лейбница для про-

изводной и рассматривать единые символы dy è dx как отноше- dx dt

íèå dy ê dx è ê dt соответственно. В обозначениях Лейбница (3.6 ) принимает вид

Замечание 2. Правило нахождения производной сложной функции обычно называют правилом цепочки. Формула производной естественным образом обобщается на случаи более сложной зависимости. Например, пусть z f(y), ãäå y (x), а в свою очередь x (t), причем все функции имеют производные в соот-

191