Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

Таким образом, одна и та же непрерывная функция может быть равномерно непрерывной на одном промежутке и неравномерно непрерывной на другом. Весьма замечательно, что любая функция, непрерывная на отрезке, будет равномерно непрерывной на этом отрезке. В то же время, из непрерывности на интервале не следует, вообще говоря, равномерной непрерывности функции на этом интервале (см. пример 2).

Теорема Кантора. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она и равномерно непрерывна на этом отрезке.

Допустим противное: функция f(x), будучи непрерывной, не является равномерно непрерывной на отрезке [a, b], ò. å.

0 : 0 õ , õ [a, b] : | x x |

| f(x ) f(x ) | .

Зададим последовательность ( ï) положительных чисел такую, что ï 0. В силу допущения от противного, для каждого

принципу выбора (см. п. 2.8.2) можно выделить сходящуюся подпо-

А это противоречит тому, что | f(x ) f(x ) | .Теорема доказана.

n n

2.23. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К НАХОЖДЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ

2.23.1. Бесконечно малые функции

Определение 1. Функция (x) называется бесконечно малой

ïðè x a (бесконечно малой в точке а), åñëè lim (x) 0.

x a

Примером бесконечно малой функции может служить (x)

(x a)n n .

Аналогично определяются бесконечно малые функции при

õ à 0, õ à 0, õ , õ , õ .

152

Заметим, что если lim f(x) A, то функция (x) f(x) A áó-

x a

дет бесконечно малой в точке à (верно и обратное утверждение). В тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, мы бу-

дем говорить просто «бесконечно малая функция», не указывая соответствующего значения аргумента.

Из определения бесконечно малых функций и теорем о пределах (см. п. 2.11.1) следует, что:

1)алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций является также бесконечно малой функцией;

2)åñëè (x) — бесконечно малая функция в точке à, à f(x)

ограничена в окрестности этой точки, то произведение (x)f(x) есть бесконечно малая функция при x a.

2.23.2. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть (x) è (x) — две бесконечно малые функции в точке à,

т. е. обе функции стремятся к нулю при x a. Однако характер стремления к нулю у этих функций может быть разным: одна может стремиться к нулю «быстрее» (или «медленнее»), чем другая. По «скорости» стремления к нулю и сравниваются различ- ные бесконечно малые функции. В основу сравнения бесконечно малых функций (x) è (x) кладется поведение их отношения

(x) / (x) ïðè x a, при этом предполагают, что (x) 0 â ïðî-

колотой окрестности точки à.

Логически для отношения (x) / (x) возможны следующие случаи:

1)предел отношения при x a равен нулю;

2)предел отношения равен числу k 0;

3)отношение имеет бесконечный предел;

4)предел отношения не существует.

Все перечисленные случаи реализуются в действительности. В самом деле, рассмотрим бесконечно малые при x a ôóíê-

öèè (x) x4, (x) 2x4, (x) x2, (x) x2 sin 1 . Легко ви-

ществует.

153

Определение 2. Функции (x) è (x), бесконечно малые при x a, называются бесконечно малыми одного порядка при x a (в точке а), åñëè

lim (x) k 0.

x a (x)

Определение 3. Бесконечно малые при x a функции (x) è(x) называются эквивалентными (асимптотически равными) бесконечно малыми при x a (в точке а), åñëè

lim (x) 1.

x a (x)

Для обозначения эквивалентности бесконечно малых функций используют следующую запись:

ïðè x a.

~ x ïðè x 0.

Определение 4. Åñëè (x) è (x) — бесконечно малые при x a и

lim (x) 0,

x a (x)

òî (x) называется бесконечно малой более высокого порядка при x a (в точке а), ÷åì (x), и обратно, (x) — бесконечно малой более низкого порядка, ÷åì (x).

Òîò ôàêò, ÷òî (x) является в данной точке бесконечно малой более высокого порядка, чем (x), записывают следующим образом:

o( ) ïðè x a

(читается: « равно î малое от »).

Замечание 1. Символ o( ) обозначает любую бесконечно ма-

лую в данной точке функцию, имеющую более высокий порядок, чем бесконечно малая (x). Поэтому равенства, содержащие сим-

âîë «î малое», носят условный характер. Эти равенства следует читать только слева направо.

Например, равенство x3 o(x) ïðè x 0 верно, но o(x) x3 неверно, поскольку вся совокупность функций, имеющих при

154

x 0 более высокий порядок чем õ, не сводится к одной функции x3. Таких функций бесконечно много, в частности ð 1 xp o(x) ïðè x 0. Равенства с символами «î малое» не обладают, вообще говоря, свойством транзитивности: x2 o(x) è x3 o(x) ïðè x 0, íî x2 x3.

По сути дела в данной ситуации вместо равенства o( ) нужно было писать o( ), однако запись в виде равенства предпочтительнее и удобнее на практике.

Замечание 2. Символ «î малое» используют при сравнении произвольных функций, не обязательно бесконечно малых. За-

ïèñü f o(g) ïðè x a означает, что lim f(x) 0. В частности,

x a g(x)

любую бесконечно малую при x a функцию можно обозначить символом o(1).

Определение 5. Åñëè (x) o(1) è (x) o(1) ïðè x a è

рядка относительно (x) ïðè x a.

Подведем итог. Итак, мы можем говорить о следующих типах бесконечно малых функций при x a:

а) бесконечно малые одного порядка; б) эквивалентные бесконечно малые;

в) бесконечно малые более высокого (низкого) порядка, чем данная бесконечно малая;

г) бесконечно малые ï-го порядка относительно данной бесконечно малой;

д) несравнимые бесконечно малые, когда предел их отношения не существует.

2.23.3. Бесконечно большие функции

Определение 6. Функция f(x) называется бесконечно боль-

øîé ïðè x a 0 (в точке а справа), åñëè lim f(x) .

x a 0

Аналогично определяются бесконечно большие функции при x a 0, а также при õ (соответственно при õ ).

Пусть для определенности

lim f(x) , lim g(x) .

155

Функции f(x) è g(x) называются:

à) бесконечно большими одного порядка ïðè x a 0, åñëè

lim f(x) k 0;

x a 0 g(x)

á) эквивалентными бесконечно большими ïðè x a 0, åñëè

lim f(x) 1.

x a 0 g(x)

Åñëè lim f(x) 0, то говорят, что g(x) является бесконечно

x a 0 g(x)

большой более высокого порядка ïðè x a 0, ÷åì f(x), и пишут f o(g) ïðè x a 0.

2.23.4. Свойства символа «î малое»

Укажем простейшие свойства символа «î малое», которые будут существенно использоваться при вычислении пределов функций. Перечисленные ниже равенства, содержащие данный символ, носят условный характер (см. замечание 1 п. 2.23.2).

Пусть (x) è (x) — две произвольные бесконечно малые при x a функции. Тогда имеют место следующие соотношения:

1)o( ) o( ) o( );

2)o( ) o( ) o( );

3)o(c ) o( ) c 0;

4)c o( ) o( ) c 0;

5) o( n) o( k), n 2 (n ), k 1, 2, ..., n 1;

6)(o( ))n o( n) n ;

7)n o( ) o( n 1 ) n ;

8)o( n) o( n 1 ) n ;

9)o(o( )) o( );

10)o( o( )) o( );

11) o( ), o( );

156

Все перечисленные равенства доказываются по единой схеме. Докажем, например, равенство 12. Напомним, что символ o( ), ãäå

n

!ck k, входящий в левую часть формулы, означает любую

k 1

бесконечно малую функцию в точке à более высокого порядка, чем(x). Обозначим через "(x) произвольную бесконечно малую функ-

!ck k k 1

что и требовалось доказать.

2.23.5. Асимптотические формулы

Докажем предварительно следующее простое утверждение.

Теорема 1. Для того чтобы (x) è (x) были бесконечно малы-

ми одного порядка при x a, ò. å. lim (x) c 0, необходимо и

x a (x)

достаточно, чтобы

(x) c (x) o( ) ïðè x a.

Í å î á õ î ä è ì î ñ ò ü.

символа o( ) имеем (x) c (x) o( ) ïðè x a.

Ä î ñ ò à ò î ÷ í î ñ ò ü. Åñëè (x) c (x) o( ) ïðè x a, òî

157

Следствие. Теорема позволяет каждое выражение при x a записать в виде равенства o( ).

Из сводки пределов (п. 2.21) получаем, что при x 0

x ~ sin x ~ tg x ~ ln (1 x) ~ ex 1 ~ ax 1 ~ (1 x)p 1 ~ sh x;

Формулы (2.14)—(2.22) называют асимптотическими формулами, а также асимптотическими разложениями указанных функций при x 0. Последнее слагаемое в правой части этих формул (o(x) èëè o(x2 )) называется остаточным членом àñèì-

птотической формулы.

Замечание 3. Позже для простейших элементарных функций мы получим асимптотические формулы с остаточными членами вида o(xn), ãäå ï — любое натуральное число. Например, для функции sin x имеет место следующее равенство:

Эти формулы, обобщающие соотношения (2.14)—(2.22), являются наиболее эффективным средством при отыскании пределов элементарных функций.

158

Замечание 4. Формулы (2.14)—(2.22) остаются справедливыми, если в них вместо аргумента õ подставлена бесконечно малая функция y(x) ïðè x a. Например, так как функция y(x) x 1 является бесконечно малой при x 1, то из формулы (2.17) следует равенство

ln (1 y(x)) y(x) o(y) ïðè x 1

èëè

ln (1 (x 1)) ln x x 1 o(x 1) ïðè x 1.

Аналогично из формулы (2.14) следует представление

2.23.6. Некоторые приемы нахождения пределов функций

Вычисление пределов функций является весьма сложной задачей, поскольку не существует общих методов ее решения. Каждая задача требует своего подхода. Ниже мы проиллюстрируем на конкретных примерах некоторые приемы, которые в простейших случаях успешно ведут к цели.

Если функция f(x) непрерывна в точке x a, то для нахожде-

íèÿ lim f(x) достаточно вычислить значение f(a).

x a

Например, lim(sin 2x x2 3) sin 2# #2 3 #2 3.

x #

Однако функция в точке x a может быть неопределенной, хотя предел ее в этой точке существует. С такой ситуацией стал-

киваются при вычислении предела частного lim f(x) , когда g(x)

lim f(x) lim g(x) 0, т. е. мы имеем неопределенность вида 0/0. Если числитель и знаменатель имеют общий множитель, обращающийся в нуль в предельной точке, то сокращение на него часто бывает полезным. Например,

При раскрытии неопределенностей вида 0/0 во многих случа- ях полезно пользоваться следующей теоремой.

159

Теорема 2. Пусть (x), (x), 1 (x), è 1 (x) являются беско-

если хотя бы один из этих пределов существует.

Достаточно перейти к пределу в равенстве 1 1 .

1 1

Теорема означает, что при нахождении предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить любой эквивалентной бесконечно малой и от этого предел не изменится. При удачно выбранной замене задача раскрытия неопределенности может быть значительно упрощена.

Например, так как 7 1 x ~ 1 ~ x , tg x ~ x ïðè x 0, òî

Предостережение. В предыдущей теореме доказана возможность замены всего выражения, стоящего в числителе или знаменателе дроби, на эквивалентную величину. Если же в числителе или знаменателе стоит сумма, то отдельные слагаемые нельзя заменять эквивалентными величинами, ибо такая замена может привести к неверному результату. Например, хотя sin x ~ x ïðè

x 0, íî

Легко заметить, используя формулу (2.23) при ï 2, ÷òî

Отметим, что в случаях, когда числитель или знаменатель представляют собой произведение нескольких бесконечно малых функций, то каждую из них можно заменить эквивалентной ве-

160

При практическом использовании теоремы и построении эквивалентных бесконечно малых полезно следующее очевидное утверждение, называемое принципом отбрасывания бесконечно малых высшего порядка.

Утверждение. Сумма конечного числа бесконечно малых слагаемых эквивалентна тому из них, которое имеет более низкий порядок, ÷åì âñå* остальные.

Согласно правилу отбрасывания бесконечно малых, имеем, например,

Рассмотрим в заключение несколько примеров, демонстрирующих в работе асимптотические формулы (2.14)—(2.22).

Запишем асимптотическое разложение числителя, пользуясь асимптотической формулой (2.14) и свойствами символа «o малое»:

* Необходимо, чтобы слагаемое низшего порядка было в сумме одно, а если их несколько, то они могут взаимно уничтожиться, и тогда правило неприменимо.

161