Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

õ [a, b]. Поэтому переменную õ можно считать функцией переменной y, определенной на отрезке [ , ], эту функцию называют

функцией, обратной к функции y f(x), и пишут x f 1 (y), y [ , ].

Очевидно, что

f(f 1 (y)) y y [ , ]; f 1 (f(x)) x x [a, b].

Легко видеть, что если y f(x) возрастает на отрезке [a, b], то обратная функция x f 1 (y) будет тоже возрастающей на отрезке [ , ], если же y f(x) убывает, то и x f 1 (y) будет убываю-

щей функцией.

Непрерывность обратной функции. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна и строго монотон-

на на отрезке [a, b] è inf f(x), sup f(x). Тогда на отрез-

a x b a x b

êå [ , ] существует непрерывная и строго монотонная функция x f 1 (y).

О существовании и монотонности обратной функции сказано выше. Докажем непрерывность обратной функции, считая для определенности f(x) возрастающей. Пусть õ0 (à, b), а число 0

выбрано столь малым, что интервал (õ0 , õ0 ) (a, b). Положим

y0 f(x0 ), y1 f(x0 ), y2 f(x0 ), min[(ó2 ó0); (ó0 ó1)]. Тогда при | ó ó0 | справедливо неравенство | f 1 (y) f 1 (y0 ) | .

Действительно, интервал (ó0 , ó0 ) (ó1, ó2), òàê êàê

ó1 ó0 (ó0 ó1) ó0 ó0 ó0 (ó2 ó0) ó2, откуда при ó ó0 имеет место неравенство ó1 ó ó2. В силу возрастания f 1 (y) ïðè ó ó0 имеем

x0 f 1 (y1 ) f 1 (y) f 1 (y2 ) x0 , ò. å. | f 1 (y) f 1 (y0 ) | .

Это неравенство и доказывает непрерывность функции f 1 (y) в точке ó0 ( , ). Односторонняя непрерывность f 1 (y) в точках

и доказывается аналогично.

142

Замечание 1. В условиях теоремы, как видно из доказательства, вместо отрезка [a, b] можно взять интервал (a, b), полуинтервалы [a, b), (a, b], заменяя при этом [ , ] соответственно на ( , ), [ , ) или ( , ].

Замечание 2. При построении графиков взаимно обратных функций y f(x) è x f 1 (y) полезно иметь в виду, что точки плоскости с координатами (x, f(x)) (x, y) è (y, f 1 (y)) (y, x) в одной и той же координатной системе (в которой лишь указана первая и вторая оси координат, а не ось ÎÕ èëè îñü ÎY) симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла. Следовательно, графики взаимно обратных функций, изображенные в одной системе координат, оказываются симметричными относительно этой биссектрисы.

2.20. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Выше мы дали определение непрерывности функций и рассмотрели на повышенном уровне строгости свойства непрерывных функций общего вида. Теперь мы коснемся вопроса непрерывности конкретных функций, известных из курса средней школы.

Основными (простейшими) элементарными функциями обычно называют следующие функции.

1.Степенная функция y xp (ð — действительное число).

2.Показательная функция y ax (0 à 1).

3.Логарифмическая функция ó logax (0 à 1).

4. Тригонометрические функции y sin x, y cos x, y tg x, y ctg x.

5. Обратные тригонометрические функции y arcsin x, yarccos x, y arctg x, y arcctg x.

Назовем элементарной функцией такую функцию, которая может быть задана с помощью формулы y f(x), содержащей лишь конечное число арифметических операций над основными элементарными функциями и суперпозиций (функций от функции). Например, y sin (ex ln x 7x2 ) — элементарная функция.

Следует заметить, что вопрос об определении основных элементарных функций далеко не простой. Так, например, определение тригонометрических функций sin x è cos x в школьном курсе математики основывалось на наглядных геометрических

143

представлениях и не является логически безупречным. Логиче- ски безупречно эти функции можно определить как решение некоторой системы функциональных уравнений. Существуют и другие подходы в определении элементарных функций, которые реализуются в пособиях и учебниках по математическому анализу (см. список литературы). Мы ограничимся только следующим важнейшим сообщением.

Основные элементарные функции непрерывны во всех точ- ках, где они определены.

Замечание о гиперболических функциях. Функции 1 (ex e x ) 2

è1 (ex e x ) называются соответственно гиперболическим сину- 2

сом и гиперболическим косинусом и обозначаются символами sh x è ch x:

Эти функции довольно часто встречаются в приложениях, поэтому их относят к классу основных элементарных функций.

Гиперболические функции обладают рядом свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Непосредственной проверкой легко убедиться в правильности следующих формул:

ch2x sh2x 1,

sh (x y) sh x ch y ch x sh y,

ch (x y) ch x ch y sh x sh y,

sh 2x 2 sh x ch x.

Эпитет «гиперболический» связан с тем обстоятельством, что равенства x ach t, y ash t задают гиперболу (x2 y2 a2 ), подобно тому как равенства x acost, y asin t задают окружность (x2 y2 a2).

Непрерывность sh x, ch x, а также th x sh x (гиперболиче- ch x

ский тангенс), cth x ch x (гиперболический котангенс) следует sh x

из непрерывности показательной функции åõ.

144

2.21. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

Нахождение lim f(x) значительно упрощается, если функция

x x0

непрерывна в точке õ0. Тогда мы можем поменять местами символы f и lim, т. е. воспользоваться равенством

lim f(x) f( lim x).

x x0 x x0

Непрерывность элементарных функций позволяет нам найти несколько важных пределов (иногда их называют замечательными пределами, наряду с рассмотренными в п. 2.13), которые будут использованы в следующей главе.

ln(1 x) 1. x

Представим функцию 1 ln (1 x) â âèäå ln (1 x)1/x ln y, x

ãäå y (1 x)1/x. Òàê êàê lim (1 x)1/x e (ñì. ï. 2.13), à ôóíê-

x 0

(мы воспользовались теоремой о пределе сложной функции (см. п. 2.11.2), условием ax 1 ïðè õ 0 и результатом примера 1).

145

(мы сделали замену y p ln(1 x) и воспользовались результата-

ми двух предыдущих примеров). Объединив полученные результаты с результатами п. 2.13, получим следующую сводку важных для дальнейшего пределов:

1. lim sin x 1;

146

2.22. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Пусть на некотором промежутке Õ определена непрерывная функция f(x). Тогда для каждой точки x0 X по определению непрерывности имеем

0 ! 0 : õ : | x x0 | | f(x) f(x0 ) | .

Важно подчеркнуть, что фигурирующее в определении непрерывности число зависит не только от , но и от точки x0, в которой рассматривается непрерывность. При переходе от одной точки x0 к другой величина , вообще говоря, меняется (при одном и том же ). Это легко увидеть на рис. 2.7: число 1, соответствующее точке x0 x1, и число 2, соответствующее точке x0 x2, различны по величине. Число 1, пригодное на участке с пологим графиком функции, оказывается слишком большим для участка с круто поднимающимся графиком ( 2 1).

Ðèñ. 2.7

Таким образом, непрерывность функции f(x) на промежутке Õ гарантирует 0 и õ0 Õ существование «своего» положительного числа ( , x0 ) (зависящего не только от , но и от õ0), обеспечивающего справедливость неравенства

| f(x) f(x0 ) | x : | x x0 | ( , x0 ).

147

В связи с этим естественно поставить вопрос: существуют ли непрерывные на промежутке Õ функции, для которых по любому 0 находилось бы соответствующее ( ) 0, зависящее только от , т. е. одно и тоже для всех точек õ0 Õ? Очевидно, что утвердительный ответ на поставленный вопрос будет в том случае, если существует положительная точная нижняя граница указанных ( , x0 ) по всем точкам õ0 Õ (в таком случае

( ) inf ( , x0 )).

x0 X

Если бы промежуток Õ содержал лишь конечное число точек õ0, то из конечного числа соответствующих им чисел ( , x0 ) âñå-

гда можно было бы выбрать наименьшее, которое годилось бы, очевидно, для всех рассматриваемых точек õ0 одновременно. Но промежуток Õ содержит бесконечное множество точек õ0, которым при любом выбранном 0 соответствует бесконечное мно-

жество чисел ( , x0 ) 0. Может случиться, что inf ( , x0 ) 0,

x0 X

тогда указать соответствующее ( ) 0, зависящее только от ,

не представляется возможным (реальность такой ситуации будет подтверждена ниже примерами).

В зависимости от того, существует ли или не существует при любом заданном 0 такое ( ), которое годно x0 X, говорят о равномерной или неравномерной непрерывности функции на промежутке Õ. Заметим, что понятие равномерной непрерывности функции относится к наиболее трудным для усвоения понятиям математического анализа.

Определение. Функция f(x), заданная на некотором промежутке Х, называется равномерно непрерывной на этом промежутке, åñëè

0 ! ( ) 0 : õ", õ# Õ : | x" x"" |

| f(x" ) f(x"") | .

Замечание 1. Из определения следует, что если функция равномерно непрерывна на промежутке Х, то она непрерывна на этом промежутке. Действительно, взяв в сформулированном определении в качестве õ# фиксированную точку õ0 Õ, а в ка- честве õ" — любую точку этого промежутка, мы придем к определению непрерывности функции f(x) в точке õ0 ïî Êîøè.

Замечание 2. Основным в сформулированном определении равномерной непрерывности является требование, гарантирую-

148

щее 0 существование такого ( ) 0, которое обеспечивает выполнение неравенства | f(x" ) f(x"") | сразу для всех òî-

÷åê x" è õ# Õ, удовлетворяющих неравенству | x" x"" | . Ина- че говоря, равномерная непрерывность функции f(x) на промежутке Õ означает, что в любом месте этого промежутка одна и та же степень близости значений аргументов x" è õ# обеспечивает заданную (выбором ) близость соответствующих значений функции f(x" ) è f(x"").

Геометрическая иллюстрация равномерной непрерывности.

Åñëè f(x) равномерно непрерывна на [a, b], òî 0 ! ( ) 0

такое, что прямоугольник со сторонами ( ) и , параллельными осям координат, можно переместить вдоль графика так, что график будет пересекать только вертикальные стороны прямоугольника (рис. 2.8).

Ðèñ. 2.8

Отрицание определения равномерной непрерывности функции f(x) на промежутке Õ выглядит так:

! 0 : 0 ! õ", õ#Õ : | x" x"" | | f(x" ) f(x"") | . Рассмотрим теперь примеры функций как обладающих, так и не обладающих на данном промежутке свойством равномерной

непрерывности.

Пример 1. Доказать, что функция f(x) 2x 3 равномерно непрерывна на всей оси ( , ).

149

Пусть õ", õ# ( , ), тогда

| f(x" ) f(x"") | | 2x" 3 2x"" 3 | 2 | x" x"" |.

Возьмем 0 и положим / 2. Тогда õ", õ# ( , ), удовлетворяющих неравенству | õ" õ# | , выполняется неравенство

| f(x" ) f(x"") | 2 | x" x"" | 2 .

Это и означает по определению, что f(x) равномерно непре-

íî, ÷òî õ", õ# (0, 1) при любом ï и 0 найдется такое ï, ÷òî

Это и означает, что рассматриваемая функция не является равномерно непрерывной на интервале (0, 1).

150

Пример 3. Доказать, что функция f(x) x2:

1)равномерно непрерывна на интервале (0, b), ãäå b — любое фиксированное положительное число;

2)не является равномерно непрерывной на полуоси (0, ).

1. Для любых õ , õ (0, b) выполняется неравенство x x

2b. А тогда | f(x ) f(x ) | | x x | (x x ) 2b | x x |. Следовательно,

0 0 : õ , õ (0, b) : | x x |

2b

| f(x ) f(x ) | 2b | x x | 2b ,

àэто и означает по определению, что f(x) x2 равномерно непрерывна на интервале (0, b).

2.Для любых õ , õ (0, ) сумма õ õ может быть сколь угодно большой. Это обстоятельство наводит на мысль о неравномерной непрерывности функции на полуоси. Нам нужно показать, что

0 : 0 õ , õ (0, ) : | x x |

| f(x ) f(x ) | .

151