Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

стороннего, так и левостороннего предела, или же эти пределы бесконечны, то говорят, что функция имеет разрыв второго рода

âточке x0. Например:

1)функция f(x)

âточке x 0 имеет разрыв второго рода, так как не существует правого и левого пределов в этой точке;

2)функция f(x) Sgn x

âточке x 0 имеет разрыв первого рода, так как f(0 0) 1, à f(0 0) 1;

x, åñëè x 0, 3) функция f(x)

1, åñëè x 0,

имеет в точке x 0 устранимый разрыв, ибо изменив функцию в точке x 0, положив f(0) 0, мы получим непрерывную функцию;

4) типичным примером функций, имеющих точки разрыва первого рода, являются так называемые ступенчатые функции, например функция

ãäå ñ1, ñ2, ñ3 — различные числа, имеет в точках x1 è x2 разрывы первого рода;

5) замечательная функция Дирихле

0, åñëè õ — рационально,

D(x)

1, åñëè õ — иррационально,

имеет разрывы второго рода в каждой точке; 6) рассмотрим еще один классический пример — функцию

Римана

132

Заметим, что, каковы бы ни были точка à и ее ограниченная окрестность и каково бы ни было число N , в этой окрест-

ности имеется конечное число рациональных чисел m / n таких, что ï N.

Уменьшая окрестность, можно, таким образом, считать, что знаменатели всех рациональных чисел, попадающих в нее (кроме, быть может, числа à, åñëè à ), уже больше чем N. Таким образом, в любой точке x из проколотой окрестности точки à

| R(x) | 1 . Следовательно, a lim R (x) 0.

N x a

Значит, функция Римана непрерывна в любой иррациональной точке. В остальных точках, т. е. в точках õ , функция

разрывна, и все рациональные точки являются точками разрыва первого типа.

Наглядное представление о различных типах разрывов дает график функции на рис. 2.6.

Ðèñ. 2.6

Стрелки на графике функции y f(x) обозначают, что концевые точки части графика, где находятся стрелки, выброшены.

Из графика функции видно, что:

в точке x1 функция имеет разрыв первого рода, так как f(x1 0) f(x1 0);

133

в точке x2 также имеем разрыв первого рода, так как

f(x2 0) f(x2 ) % f(x2 0);

в точке x3 функция имеет устранимый разрыв, так как существует lim f(x) % f(x3 );

в точке x4 имеем устранимый разрыв, ибо функция в этой

точке не определена; однако существует конечный предел lim f(x),

x.x4

приняв этот предел за значение f(x4 ), получим доопределенную функцию, непрерывную в точке x4;

в точке x5 функция имеет разрыв второго рода, так как

lim f(x) /, однако функция непрерывна в точке x5 справа;

x.x5 0

в точке x6 имеем разрыв второго рода, так как f(x6 0) /

èf(x6 0) /, в самой точке x6 функция не определена. Замечание. Термины «непрерывная функция», «разрывы

функции» порождены интуитивным представлением о непрерывности (сплошности) и разрывах (порванности) графика функции. Поэтому график функции во многих случаях наглядно показывает, где функция непрерывна и где имеет разрывы. Однако существуют такие функции, что их графическое представление либо очень затруднительно, либо вовсе невозможно. Таковы, например, рассмотренные выше функция Дирихле, а также совершающая бесконечное множество колебаний в любой сколь угод-

но малой окрестности точки x 0 функция f(x) x sin 1 (x % 0) x

è f(0) 0. Первая из указанных функций не имеет точек непре-

рывности (всюду разрывна), а вторая — непрерывна на всей оси. Таким образом, при исследовании непрерывности графики функций могут служить лишь вспомогательным средством, эффективным только для сравнительно простых функций. Введенное же выше определение непрерывности носит общий характер, не связанный с графическим представлением функций.

2.18. ЛОКАЛЬНЫЕ И ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

2.18.1. Локальные свойства непрерывных функций

Ê локальным свойствам относят те свойства функции, которые справедливы в сколь угодно малой окрестности фиксированной точки, принадлежащей области определения функции. Глобальными свойствами функции называют те свойства, которые

134

связаны со всей областью определения. Например, непрерывность функции в некоторой точке является локальным свойством этой функции, а ограниченность функции на отрезке [a, b] — ее глобальным свойством.

Приведем некоторые свойства функций, непрерывных в точ- ке, которые следуют из определения непрерывности и соответствующих свойств предела функции.

Теорема 1. Если функции f(x) è g(x) непрерывны в точке a, то функции f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) g(x), f(x) / g(x) также непрерывны в точке a (частное — при условии g(a) 0).

Теорема 2 (о стабилизации знака непрерывной функции).

Если функция f(x) непрерывна в точке а и f(a) 0 (f(a) 0), òî

существует некоторая окрестность этой точки, в которой f(x) 0 (f(x) 0).

Пусть f(a) 0. По определению непрерывности

0 ( ) 0 : õ : | õ a | | f(x) f(a) | .

Âçÿâ 1 f(a) 0, получим x (a , a ) неравенство 2

f(a) f(x) f(a) . Таким образом, для -окрестности точки a выполняется неравенство f(x) f(a) 1 f(a) 0, ÷òî è òðå-

Следствие 1. Как видно из доказательства, теорему 2 можно усилить: åñëè f(x) непрерывна в точке a и f(a) 0, то существу-

ет такое число c 0, что в некоторой окрестности точки a будет выполняться неравенство f(x) c.

Следствие 2. Из доказательства теоремы следует утверждение: åñëè f(x) непрерывна в точке a, то существует окрестность этой точки, в которой функция f(x) ограничена.

Теорема 3 (непрерывность сложной функции). Если функция y (x) непрерывна в точке a, а функция f(y) непрерывна в точ- ке b (x), то сложная функция f( (x)) непрерывна в точке a.

Доказательство следует из теоремы 4 п. 2.11.2. Заметим только, что в данной теореме не надо накладывать дополнитель-

135

ного требования (x) b ïðè x a, как в соответствующей теореме о пределе сложной функции, поскольку в определении непрерывности функции f(y) в точке b ограничение y b можно опустить, так как неравенство | f(y) f(b) | ïðè y b выполняется автоматически.

2.18.2. Глобальные свойства непрерывных функций

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a, b]. Такие функции обладают рядом замечательных свойств, которые мы сейчас рассмотрим. Сначала мы сформулируем основные теоремы, выражающие эти свойства, приведем соответствующие комментарии к ним, а затем дадим доказательства.

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т. е. существуют такие числа С1 è Ñ2, ÷òî

Ñ1 f(x) Ñ2 õ [a, b].

Важно отметить, что в теореме весьма существенным является требование непрерывности функции на отрезке [a, b]. Из непрерывности функции на интервале (à, b) не следует, вообще го-

воря, ограниченность функции. Например, функция f(x) 1 íå- x

прерывна на интервале (0, 1), но не является ограниченной на этом интервале.

Поскольку множество значений функции f(x), непрерывной

на отрезке [a, b], является ограниченным в силу теоремы 1, то можно говорить о точных верхней и нижней границах этого множества (см. аксиому Дедекинда) или, другими словами, о точных границах функции на отрезке [a, b]. Точную верхнюю (нижнюю) границу функции f(x) на отрезке [a, b] обозначают символами

Напомним определение точных границ функции на отрезке.

Число М (число m) называется точной верхней (точной нижней) границей функции на отрезке [a, b], åñëè

1)õ [a, b] f(x) Ì (f(x) m);

2)0 õ [a, b]: f(x ) M (f(x ) m ).

136

Как известно, точные границы множества могут как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать ему. Если, например, число M sup f(x) принадлежит множеству значений

a x b

функции (т. е. c [a, b] : f(c) M), то говорят, что в точке ñ функция f(x) достигает своей точной верхней границы на [a, b],

при этом число Ì называют максимальным значением функции на отрезке [a, b]. Аналогично определяют минимальное значение функции на отрезке. Максимальное (минимальное) значение функции f(x) на отрезке [a, b] обозначают следующими символами:

Возникает вопрос: всякая ли непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке максимальное и минимальное значе- ния, другими словами, достигает ли такая функция своих точ- ных границ на данном отрезке? Положительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция f(x)

непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своих точных верхней и нижней границ, ò. å.

Заметим, что утверждение теоремы 2 окажется неверным, если в ее формулировке термин «отрезок» заменить терминами «интервал» или «полуинтервал». Например, функция f(x) x

непрерывна на интервале (0, 1), существуют sup f(x) 1 è

0 x 1

inf f(x) 0, однако нет таких значений õ (0, 1), для которых

0 x 1

áû f(x) равнялась 0 или 1.

Предположение непрерывности функции также весьма существенно для справедливости утверждения теоремы 2. В самом деле, функция

137

имеет на отрезке [ 2, 2] точную верхнюю границу M 1 и точ- ную нижнюю границу m 1, однако эти границы на указанном отрезке не достигаются. Причиной этого обстоятельства является наличие разрывов у функции в точках x 1 è x 1.

Отметим также, что и функции, не являющиеся непрерывными на данном отрезке, могут достигать на этом отрезке своих точных границ. Примером может служить функция Дирихле:

0, åñëè õ — рационально,

D(x)

1, åñëè õ — иррационально.

Эта функция разрывна в каждой точке отрезка [0, 1], но, оче- видно, достигает на этом отрезке своей точной верхней границы, равной 1, и своей точной нижней границы, равной нулю.

Теорема 3 (первая теорема Больцано — Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, ò. å. f(a) f(b) 0. Тогда найдется точка c (a, b) такая, что f(c) 0.

Теорема имеет достаточно простой геометрический смысл: если непрерывная кривая (график функции y f(x)) переходит

из одной полуплоскости по отношению к оси ÎÕ на другую, то она обязательно пересечет эту ось.

Обобщением теоремы 3 является следующее утверждение.

Теорема 4 (вторая теорема Больцано — Коши). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения f(a) A è f(b) B. Тогда, каково бы ни было число С, заключенное между А и В, найдется точка c (a, b) такая, ÷òî f(c) C.

Теорему 4 часто называют теоремой о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение. Очевидно, что первая теорема Больцано — Коши следует из теоремы 4 при A B 0 è C 0.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b],

то множеством ее значений будет отрезок [m, M], ãäå m è M — точные границы функции на отрезке [a, b].

Достаточно применить теорему 4 к отрезку [x1, x2 ], ãäå x1, x2 — точки, в которых функция f(x) достигает своих точных

138

Свойство функций принимать любое промежуточное значе- ние, на первый взгляд, раскрывает суть именно непрерывных функций. Однако легко построить разрывные функции, которые также этим свойством обладают.

Перейдем теперь к доказательству приведенных теорем.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Докажем ограниченность сверху функции f(x) на отрезке [a, b] (ограниченность снизу до-

казывается аналогично). Предположим, от противного, что f(x) не ограничена сверху на отрезке [a, b]. Тогда n найдется

точка xn [a, b] такая, что f(xn) n.

Таким образом, мы получим ограниченную последовательность точек (xï) такую, что соответствующая последовательность значений функции (f(xn)) является бесконечно большой. По принципу выбора (см. п. 2.8) из последовательности (xï) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (xnk ). Пусть lim xnk c. Òàê êàê âñå xnk [a, b], òî c [a, b]. В силу непрерывности функции в точке ñ: lim f(xnk ) f(c). Но это противоречит тому, что

подпоследовательность (f(xnk )), будучи выделенной из бесконеч- но большой последовательности, сама является бесконечно большой. Полученное противоречие доказывает теорему.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2. В силу теоремы 1 функция f(x) ограничена на отрезке [a, b]. Следовательно, существуют

Остановимся на доказательстве достижимости точной верхней границы. Предположим от противного, что супремум не достигается, т. е. f(x) M x [a, b]. Рассмотрим тогда функцию

Эта функция непрерывна на [a, b] как частное двух непрерывных функций (поскольку знаменатель отличен от нуля). Следовательно, по теореме 1 F(x) ограничена на отрезке [a, b], ò. å. íàé-

x [a, b]. Из последнего неравенства следует, что x [a, b]

f(x) M 1 , а это противоречит тому, что Ì является точной C

верхней границей, т. е. является наименьшей из всех верхних границ функции f(x) на отрезке [a, b]. Теорема доказана.

139

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3. Не ограничивая общности, можно считать, что f(a) 0, f(b) 0. Разделим отрезок [a, b]

a b

комой. Если же f 0, то обозначим через [a1, b1] òó ïîëî-

2

вину отрезка [a, b], на концах которой функция имеет значения разных знаков, причем, как легко видеть, f(a1 ) 0, f(b1 ) 0. С отрезком [a1, b1] поступим точно так же: разделим его пополам.

обозначим через [a2, b2] ту половину отрезка [a1, b1], для которой f(a2 ) 0, f(b2 ) 0. Рассуждая так по индукции, мы либо наткнемся на очередном шаге на точку c (a, b), для которой f(c) 0, и тогда теорема доказана, либо получим последовательность вложенных отрезков [aï, bï] такую, что

По лемме о вложенных отрезках (см. п. 2.7) существует единственная точка c [an, bn] ï, причем lim an lim bn c.

Переходя к пределу в неравенствах (2.13), используя при этом непрерывность функции, получим, что одновременно

f(c) lim f(an) 0 è f(c) lim f(bn) 0,

следовательно, f(c) 0. Теорема доказана.

Замечания к теореме 3. 1. Доказательство теоремы доставляет простейший алгоритм отыскания корня уравнения f(x) 0 на отрезке, в концах которого непрерывная функция имеет значе- ния разных знаков.

2. Теорема 3 утверждает, что при непрерывном изменении нельзя перейти от отрицательных значений к положительным, не приняв по пути значения нуль. Пример функции

непрерывной на области своего определения, принимающей там значения разных знаков, но нигде не обращающейся в нуль, не

140

противоречит утверждению теоремы 3, поскольку область определения функции состоит из äâóõ отрезков (в общем случае это множество должно быть связным).

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4. Пусть для определенности A B. Возьмем любое число Ñ, заключенное между À è Â ( A C B) и рассмотрим функцию (x) f(x) C. Эта функция непрерывна на отрезке [a, b] (как разность непрерывных функций) и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков:

(a) f(a) C A C 0, (b) f(b) C B C 0.

Следовательно, по первой теореме Больцано — Коши существует точка c (a, b) такая, что (c) 0, ò. å. f(c) C 0, что и требовалось доказать.

2.19. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Рассмотрим предварительно один класс функций — монотонные функции.

Определение. Функция f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Х, åñëè

x1, x2 X : x1 x2 f(x1 ) f(x2 ) (f(x1 ) f(x2 )). Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) íà

множестве Х, åñëè

x1, x2 X : x1 x2 f(x1 ) f(x2 ) (f(x1 ) f(x2 )). Невозрастающие, неубывающие, а также возрастающие и

убывающие функции называются монотонными. Функции, возрастающие и убывающие, называют строго монотонными.

Определение обратной функции. Пусть функция y f(x) íå-

прерывна и монотонна на отрезке [a, b]. Положим inf f(x),

a x b

sup f(x).

a x b

Åñëè f(x) возрастает на [a, b], то, очевидно, f(a), f(b); для убывающей функции — f(a) , f(b) .

В силу непрерывности функции y f(x), переменная y ïðè-

нимает все значения, заключенные между и . Поскольку, сверх того, функция строго монотонна, то каждое значение y из отрезка [ , ] соответствует одному и только одному значению

141