Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

Значит, последовательность (xn) сходится; пусть lim xn à. Однако найти à в данном случае, исходя из рекуррентного соотношения xn 1 xn (n 1) 2, не удается, ибо предельный пере-

ход приводит к тривиальному равенству à à 0.

n 1

Предел последовательности xn k 1 k2

пытался найти Я. Бернулли. «Если кому-либо удастся, — писал Бернулли, — найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны». Эта задача привлекла внимание Эйлера, который сначала нашел приближенное значение предела с точностью до семи знаков (1,644934), затем, неоднократно возвращаясь к этой задаче и уточняя результат, в конце концов получил, что

n 1 2

lim / 6.

n k 1 k2

2.6.2. Парадокс Перрона

Решение примеров 1 и 2, приведенных выше, состоит из двух этапов: сначала мы доказывали сходимость последовательности, а затем находили ее предел. Подчеркнем, что переход к пределу в рекуррентном соотношении можно осуществлять лишь тогда, когда доказана сходимость последовательности. В противном случае можно придти к ошибочному результату. Например, если, не исследовав факт существования предела последовательности, предположить, что lim xn a, ãäå xn ( 1)ï, то из рекур-

рентного соотношения xn 1 xn следует, что à à, ò. å. à 0. Вроде бы мы и предел вычислили, но он же не существует!

К подобному кругу вопросов относится и парадокс Перрона, состоящий в доказательстве утверждения, что наибольшим натуральным числом является 1. В самом деле, пусть N — наибольшее натуральное число. Если N 1, то мы имеем неравенство N2 N, что противоречит определению N как наибольшего. Следовательно, наибольшим натуральным числом является N 1.

Последствия этого парадокса разрушительны. Решая задачу, мы теперь уже не можем предполагать, что решение обязательно существует. Подобное допущение делалось весьма часто при решении элементарных задач алгебры — мы начинали рассужде-

102

ния с фразы: «пусть x является искомой величиной». Затем составляли уравнение и находили неизвестную величину. Такой подход был оправдан, поскольку вопрос о существовании решения не вызывал сомнений.

2.6.3. Число e как предел последовательности

Рассмотрим последовательность

xn (1 1 / ï)ï 1.

Последовательность (xn) ограничена снизу: xn 1 ï. Покажем, что (xn) убывает. Действительно,

ò. å. xn xn 1 ï.

Таким образом, последовательность (xn) убывает и ограниче- на снизу, следовательно (теорема 1), последовательность (xn) сходится. Ее предел по предложению Эйлера обозначают буквой å.

Число å является иррациональным числом и представляет собой бесконечную непериодическую дробь:

å 2,718281828... .

Подчеркнем, что предыдущими рассуждениями мы не доказывали равенство (2.6); мы доказали, что указанный предел существует, и назвали его числом å.

103

Число å играет важную роль в анализе. В частности, как мы увидим в дальнейшем, весьма удобно рассматривать логарифмы по основанию å. Такие логарифмы называют натуральными и обозначают знаком ln:

logex lnx.

Замечание 3. Мы показали, что (1 1/ n)n 1 e. В связи с этим кажется удивительным тот факт, что (1 1/ n)n e.

2.7. ЛЕММА О ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКАХ

Лемма. Пусть задана последовательность вложенных отрезков [an, bn], т. е. каждый последующий отрезок содержится в предыдущем, причем длины этих отрезков стремятся к нулю:

lim(bn an) 0. Тогда существует единственная точка с, ïðè-

n

надлежащая всем отрезкам: ñ [an, bn] ï.

Последовательность левых концов отрезков (an), очевидно, не убывает и ограничена сверху: (an b1 ï); последовательность правых концов отрезков (bn) не возрастает и ограничена снизу

(bn a1 ï).

Тогда по теореме 1 о сходимости монотонной последовательности (см. п. 2.6.1)

liman à è limbn b.

Из условия 0 lim(bn àn ) limbn limàn b a получаем, что à b. Общее значение à b обозначим через ñ.

По следствию (см. п. 2.6.1), так как an c, òî an c n; òàê êàê bn c, òî bn c n. Следовательно an c bn n. Осталось показать единственность точки ñ. Если бы существовала точка d ñ (пусть c d), принадлежащая всем отрезкам [an, bn], то отрезок

Замечание. Теорема становится неверной, если в ней вместо отрезков [an, bn] рассматривать интервалы (an, bn). Действительно, интервалы (0, 1 / ï) (ï 1, 2, 3, ...) вложены друг в друга, длины их стремятся к нулю, но нет ни одной точки, принадлежащей всем интервалам.

104

2.8. ПРИНЦИП ВЫБОРА (теорема Больцано — Вейерштрасса)

2.8.1. Подпоследовательности

Пусть задана последовательность

õ1, x2, x3, ..., xn, ... .

Выберем из нее бесконечное множество элементов с номерами ï1 ï2 ... ïk ... .

Тогда получим новую последовательность

xn1, xn2, xn3, ..., xnk ...,

которая называется подпоследовательностью исходной последовательности и обозначается (xnk ). Порядковый номер члена подпоследовательности определяется уже не числом ï, а числом k.

Очевидно, что из данной последовательности можно выделить сколько угодно подпоследовательностей. В частном случае, если ïk k, то подпоследовательность будет совпадать с исходной последовательностью.

Совершенно очевидно следующее утверждение:

если последовательность (õï) сходится и lim xn à, то любая ее подпоследовательность будет также стремиться к числу à.

Замечание 1. Нам понадобится в дальнейшем следующее обобщение приведенного утверждения: если lim xn à, à (ïk) — какая-либо последовательность натуральных чисел такая, что ïk (эта последовательность не обязательно является подпоследовательностью натурального ряда: в ней отдельные элементы могут встречаться по несколько раз, порядок следования членов может не соответствовать их расположению в натуральном ряду),

òî lim xnk a.

n

Если же последовательность (õï) не имеет предела, то из этого еще не следует, что всякая ее подпоследовательность тоже не будет иметь предела. Например, из расходящейся последовательности xn ( 1)n можно выделить две сходящиеся подпоследовательности:

1, 1, ..., 1, ... è 1, 1, ..., 1, ... .

105

2.8.2. Принцип выбора

Возникает вопрос: что надо требовать от последовательности, чтобы она содержала сходящуюся подпоследовательность? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, называемая принципом выбора.

Теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Пусть (õï) ограничена, т. е. à è b такие, что a xn b n.

Делим отрезок [a, b] пополам и обозначим через [a1, b1] ту половину, которая содержит бесконечное множество членов последовательности. С отрезком [a1, b1] поступим точно так же и обозначим через [a2, b2] половину отрезка [a1, b1], содержащую бесконечно много элементов (õï), и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [a1, b1 ] [a2, b2 ] ... [an, bn] ... .

Теперь приступим к выбору сходящейся подпоследовательности. В качестве xn1 берем любой элемент последовательности (õï),

принадлежащий отрезку [a1, b1 ]. В качестве xn2 берем любой элемент последовательности (õï), принадлежащий отрезку [a2, b2 ] è

следующий за выбранным xn1, и т. д. Такой процесс выбора возможен, поскольку каждый отрезок [an, bn] содержит бесконечно много элементов последовательности (õï). Выделенная таким об-

Замечание 2. Условие ограниченности последовательности является важным, так как существуют неограниченные последовательности, из которых нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность (например, xn n), однако это условие не

является необходимым (например, последовательность xn n( 1)n не ограничена, но содержит сходящуюся подпоследовательность (õ2ï–1)).

106

2.8.3. Частичные пределы последовательности

Определение. Число а называют частичным пределом (предельной точкой) последовательности (õï), если из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к à.

Из п. 2.8.1 и теоремы Больцано — Вейерштрасса (см. п. 2.8.2) следует, что:

1.Сходящаяся последовательность имеет только один частичный предел, совпадающий с пределом последовательности.

2.Всякая ограниченная последовательность имеет по крайней мере один частичный предел.

Замечание 3. Единственность частичного предела у сходящейся последовательности часто используется на практике для доказательства расходимости последовательности. Чтобы доказать, что данная последовательность расходится, достаточно построить две ее подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам.

Определение. Наибольший (наименьший) частичный предел ограниченной сверху (снизу) последовательности (õï) называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается lim xn (lim xn).

Таким образом, условие limxn Ì означает, что:

а) для любой сходящейся подпоследовательности (xnk ) lim xnk M; б) существует подпоследовательность (xnk ), сходящаяся к Ì.

Для ограниченной сверху последовательности (õï) определение lim xn Ì можно сформулировать также следующим образом:

для любого 0 правее М имеется лишь конечное число элементов последовательности (õï), правее же М — бесконечное множество членов последовательности.

Разницà ìежду обычным пределом (lim xn M) и верхним пределом (lim xn M) заключается в том, что в случае предела

левее M имеется не более чем конечное число точек (õï), а в случае верхнего предела левее M может быть и бесконечное множество элементов последовательности.

Аналогичные рассуждения можно привести и для нижнего предела последовательности.

Очевидно, если (õï) сходится, то lim xn lim xn lim xn. Если последовательность (õï) не ограничена сверху (снизу), то полага-

107

þò lim xn (lim xn ). В соответствии с этим можно ска-

зать, что всякая последовательность имеет по крайней мере один частичный предел (конечный или бесконечный).

Пример 1. Доказать расходимость последовательности xn ( 1)ï(2 1 / ï).

Рассмотрим две подпоследовательности этой последователь-

ности: x2k 2 1 / 2k è x2k–1 2 1 / (2k 1). Òàê êàê lim x2k 2, à lim x2k–1 2, то последовательность (xn), как имеющая различ-

ные частичные пределы, не может сходиться. Пример 2. Найти верхний и нижний пределы последователь-

ности

xn sin n .

Очевидно, что последовательность состоит только из чисел

0, sin 1 , sin 2 , ..., sin 89 , 1,

каждое из которых встречается бесконечно много раз. Поэтому все эти числа (всего их 181) будут частичными пределами (õï).

2.9. ПРИНЦИП СХОДИМОСТИ (критерий Больцано — Коши)

Пусть дана последовательность (õï). Нужно исследовать вопрос о сходимости этой последовательности, т. е. о наличии у нее конечного предела. Можно попробовать искать ответ с помощью определения предела последовательности. Но в определение сходящейся последовательности в явном виде входит сам предел, о существовании которого и ставится вопрос. Следовательно, с помощью определения предела мы можем лишь убедиться в том, является ли данное число пределом последовательности или нет. Таким образом, чтобы применить определение, нужно сначала угадать предел. Существуют ли признаки сходимости, не опирающиеся на знание предела последовательности? Возможно ли говорить о пределе последовательности на основании рассмотрения только самой последовательности, т. е. того, что дано, не имея какой-либо дополнительной информации?

Мы уже получали положительный ответ на поставленные вопросы в частном случае, когда последовательность (õï) монотон-

108

на. В общем случае поставленную задачу решает теорема, принадлежащая Больцано (1817) и Коши (1821); ее называют принципом сходимости.

Формулировке теоремы предпошлем следующее определение.

Определение. Последовательность (õï) называется фундаментальной (или удовлетворяющей условию Коши), åñëè

0 N N( ) : n N p | xn p õï | .

Суть фундаментальности последовательности заключается в том, что расстояние между любыми двумя членами последовательности с достаточно большими номерами меньше .

Легко показать, что фундаментальная последовательность будет ограниченной.

Теорема (критерий Больцано — Коши). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть (õï) сходится и lim xn à. Тогда

0 N N( ) : n N | xn à | ,

тем более,

| xn p à | p .

Следовательно,

| xn p õï | | (xn p à) (à õï) | | xn p à | | xn à | 2 ,

ò.е. выполняется условие Коши.

Äо с т а т о ч н о с т ь. Пусть (õï) — фундаментальная последовательность, следовательно, как замечено выше, (õï) ограниче- на. Тогда по принципу выбора (см. п. 2.8.2) из (xn) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (xnk ). Пусть lim xnk a.

Покажем, что к этому пределу стремится и последовательность (õï), ò. å. lim xn a.

Из фундаментальности (õï) имеем

0 N N( ) : n N p | xn p õï | , тем более

nk N | xnk õï | .

Фиксируем n (n N) в последнем неравенстве, а ïk , тогда получим | à õï | , что и требовалось доказать.

109

Пример. Доказать сходимость последовательности (õï), ãäå

n cos(k !) xn k 1 k(k 1).

В силу критерия достаточно показать фундаментальность последовательности. Для этого оценим разность | xn p õï |:

выполняется для n - 1 1. Следовательно, , - 0 N , 1 : n - N

Заключительное замечание. При исследовании последовательности на сходимость применяют следующие приемы:

а) пользуются определением предела, предварительно угадав его; б) используют арифметические свойства сходящихся последовательностей (теорема 5 п. 2.2) и теорему 4 о сжатой перемен-

ной (см. п. 2.2); в) используют известные замечательные пределы (см. пп. 2.4,

2.6.3) и приемы раскрытия неопределенностей (см. п. 2.5); г) применяют теорему о сходимости монотонной последова-

тельности (см. п. 2.6.1), если исследуемая последовательность монотонна;

д) для доказательства расходимости последовательности строят соответствующие подпоследовательности (см. замечание 3 п. 2.8.3);

е) если все перечисленные приемы не дают результата, то пробуют применить критерий Больцано — Коши. Указанный критерий применим к любой последовательности, однако практическое его использование сопряжено со значительными трудностями, ибо оценку | xn p xn| , надо получить для всех p îä-

новременно. Данное обстоятельство значительно сужает сферу применения критерия на практике, хотя в теоретических исследованиях принцип сходимости является весьма ценным.

110

2.10. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

2.10.1. Функции одной переменной

Пусть задано числовое множество Õ и каждому õ Õ по некоторому правилу ставится в соответствие число ó. Тогда говорят, что на множестве Õ определена функция, и пишут

y f(x), y (x), y g(x) è ò. ä.

Буквы f, , g и т. д. характеризуют то правило, по которому заданному õ Õ отвечает значение y. Переменная õ называется независимой переменной (или аргументом функции), множество Õ — областью определения функции, а число y, соответствующее данному значению õ, – частным значением функции в точке х. Совокупность Y всех частных значений функции называется множеством значений функции.

Если мы говорим о функции как о некотором правиле, ставящем в соответствие любому x X некоторое число y Y, то для обозначения функции достаточно использовать лишь один символ f, , g и т. д. Часто в дальнейшем символом f(x) мы будем обозначать как число, которое в силу закона f отвечает значению x X, так и саму функцию. Использование одного символа f(x)

для обозначения как самой функции, так и ее частного значения в точке не приводит к недоразумению, так как всегда из контекста ясно, о чем идет речь.

Для функций используют и другие обозначения:

f : X Y; f : x y, x X y Y; x f(x), x X.

Åñëè f : X Y, à g : Y Z, т. е. функция g определена на множестве значений функции f, то говорят о сложной функции (èëè

суперпозиции функций, или функции от функции) и пишут g(f(x)) èëè g f : X Z.

2.10.2. Два определения предела функции в точке

В определениях этого параграфа будем предполагать, не оговаривая этого особо, что функция f(x) определена в некоторой окрестности точки à, за исключением, быть может, самой точки à или, короче говоря, f(x) определена в проколотой окрестно-

ñòè точки à.

111